初中数学 平方差公式教学设计 省赛一等奖

21.2.1《平方差公式》一、内容和内容解析1．内容平方差公式2．内容解析某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式.当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果.平方差公式是多项式的乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用.平方差公式的符号表示和语言表述提示了公式的结构特征.公式（a+b）(a-b）=a2-b2中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式.平方差公式的得出,以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般到特殊的思想方法,探索平方差公式的过程，从具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，确定本节课的教学重点：平方差公式二、目标和目标解析1．目标（1）理解平方差公式，能运用公式进行计算；（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算.达成目标（2）的标志是：学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好地发现公式、体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想.三、教学问题诊断分析由于公式（a+b）(a-b）=a2-b2，中的a，b本身可能为负数，而且a，b可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难.作为平方差公式中的应用，教科书引入对两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度.解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来.四、教学支持条件分析为了利用图形面积验证公式，可用课件显示割补情形.五、教学过程设计（一）教学目标：1．知识与技能体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算.2．过程与方法让学生经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合能力.3．情感态度价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心.（二）重点1．对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述（学生自己的语言）、几何解释.2、会运用公式进行简单的计算.（三）难点1．平方差公式的结构特征及其应用.2．平方差公式的变式运用.（四）教学环节1．复习回顾——探究平方差公式问题`1：利用多项式乘法法则计算，看谁算得又对又快.(1)(a＋b)(m＋n)=(2)(2x＋1)(x−1)=(3)(m＋2)(m−2)=(4)(x＋y)(x−y)=(5)(−x＋2)(−x−2)=师生活动：学生在练习本上进行计算，五位学生汇报自己的计算结果，师生共同分析所得的结果.设计意图：回顾多相式乘法，为本节内容的引入作铺垫，让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式的乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系：“一般——特殊”.问题（1）观察这几个结果，那个更简单呢？问题（2）这几个算式的结果为什么会简单呢？师生活动：学生观察，独立思考，通过对几个结果的对比，发现后三道题得出的结果非常简单，它们的结果只有两项.设计意图：让学生从形式上体会到平方差公式的特殊性，激发学生对学习特殊形式的多相项相乘的学习兴趣.2.尝试发现——得出平方差公式(3)(m＋2)(m−2)=m2−2m+2m−4=m2−4(4)(x＋y)(x−y)=x2−xy+xy−y2=x2−y2(5)(−x＋2)(−x−2)=x2+2x−2x−4=x2−4问题（1）你能用数学表达式表述式子中反应的规律吗？问题（2）你还能举出符合这种特点的多项式相乘的式子吗？师生活动：学生先独立观察、思考，然后进行小组内交流，发现相乘的两个多项均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差.用一般的式子可以表示为(a+b)(a−b)=，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式.设计意图：三个特殊的算式具有代表性和层次性，通过计算让学生经历具体——抽象的过程，即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象”问题(3)同学们所得的式子（a+b)(a−b)=，称为平方差公式，你能把平方差公式用文字语言叙述出来吗？师生活动：学生回答问题，相互补充，教师板书.设计意图：学生尝试将符号语言转化为几何语言，发展学生的数学语言表达能力，学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解.3.公式再探——验证平方差公式问题1：前面我们得出了平方差公式，你能用所学的知识验证它是正确的吗？师生活动：学生利将（a+b）(a−b)=从左到右用多项式乘以多项式，展开后有四项，其中有两项是互为相反项，可以抵消，剩下两项正好是右面的式子.还有的学生利用特殊值：如51x49=2499,而（50+1）（50-1）=2499说明公式是正确的.几何验证由教师看学生的回答情况决定，如果没有学生利用几何图形的面积来验证时，教师给出这种方法.如左下图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.4.典例分析——巩固平方差公式练习1下列各式能否用平方差公式计算？(1)(3x＋1)(3x−1)(2)(−a＋b)(a−b)(3)(2n＋m)(m−2n)(4)(−m＋2n)(−m−2n)(5)(2x＋3)(x−3)(6)102×98师生活动：学生独立思考，并说明答案，能用平方差公式的式子，找出公式中的a和b，不能用平方差公式的式子说明原因.设计意图：通过对式子能否用公式进行辨析，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算.例1运用平方差公式计算：（1）(3x＋1)(3x−1)（2）(2n＋m)(m−2n)（3）(−m＋2n)(−m−2n)（4）102×98师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书其他3道题，在解答（1）的过程中，教师引导学生要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果；在学生解答其他三道题的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法.设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行计算.问题1：从练习1和例1中，你认为运用平方差公式解决问题时该注意什么呢？师生活动：学生回答问题，并相互补充.可以总结出以下经验：（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反；（4）公式中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式右边的“平方”.设计意图：引导学生深分析平方差公式的结构特征，明确a，b的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键——找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，通过此过程，突破本节课的难点.例2计算：(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)师生活动：师生共同分析，得出前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式.设计意图：新旧知识的综合运用，此题要让学生深入分析平方差公式的结构特征，明白只有符合结构特征的乘法，才能运用公式简化运算.练习2下列各式能用平方差公式计算吗？若能指出公式中的a和b.(1)(4x＋3y)(4x－3y)(2)(a＋b＋c)(a＋b－c)(3)师生活动：学生独立思考后，3名学生口答，其他学生对其答案做出判断.设计意图：帮助学生更好地理解平方差公式，明确公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式，以至于今后要学习的分式，只要符合公式的结构特征就可以运用这一公式.练习3一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长是多少？师生活动：学生在练习本上完成，教师巡视，找出逆运用平方差公式解题的学生上黑板上板书，师生交流.设计意图：通过逆运用平方差公式解决实际问题，让学生明白平方差公式不但可以从左到右进行计算，而且可以从右到左进行运算.5．反思提升——梳理平方差公式学生反思本节课学习的主要内