理想流体运动基础

理想流体运动基础1第1页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础§4-1欧拉方程

在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体来看，不计粘性力，表面力就没有切向力，仅只法向力（压力）一种，而质量力是可以有的。xyz·Pdxdydz

欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。2第2页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础假设：六面体体积：dV=dxdydz中心点坐标：x,y,z中心点速度：ux,uy,uz中心点加速度：中心点压强：p中心点密度：ρ中心点处沿三个方向的单位质量力：

fx,fy,fz微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为

x方向质量力，其他方向同理可得。xyz·Pdxdydz3第3页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础由于没有剪应力，并且其他面上的压力在x方向均无投影，从而x方向的表面力为：x方向的质量力为：根据牛顿第二定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得4第4页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础两边同除以微元体积dxdydz，令其趋于零，得同理可以写出y

和

z方向的表达：这就是笛卡尔坐标系下理想流体的运动微分方程。5第5页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础矢量形式为：该式是由欧拉在1755年首先提出的，故又称为欧拉运动微分方程。以当地加速度和迁移加速度表示式右边的加速度，则欧拉运动方程又可写为：6第6页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础或在柱坐标系中，欧拉运动微分方程为式中，fr、fθ、fz分别为单位质量力在r、θ、z坐标轴方向的分量。7第7页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础§4-2自然坐标系中的欧拉方程

以流线方向为参考定义一个正交坐标系，称为流线坐标系，或自然坐标系。

如图所示，在流线上取一点P，过P点作一个局部的正交坐标系，其三个互相垂直的坐标方向分别为沿流线方向s、垂直于流线的主法线方向n和副法线方向b，三个方向的单位矢量分别表示为、和8第8页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础沿流线方向的力平衡式为9第9页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础注意到速度沿流线方向，有V=V(s,t)将上式代入力平衡式，得沿流线的欧拉方程对于定常流动，且忽略重力影响时上式可简化为或上式表示，在理想不可压缩流动中沿流线方向速度降低伴随压强增高，而速度升高则伴随压强降低。10第10页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础流体微元沿n方向的力平衡式为式中，an是流体微元沿n方向的向心加速度，指向流线的曲率中心，gn则是重力加速度矢量在n方向的分量。对于定常流动为可得定常流动条件下沿流线法向方向的欧拉方程11第11页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础不计重力，上式可简化为

上式表示，当忽略重力影响时，在理想不可压缩流动中压强沿指向流线曲率中心的方向降低，这是由于流体质点受到压力差产生向心加速度，因此压强降落的方向与加速度方向相同；如果流线是直线，则曲率半径无限大，因此在垂直于平直流线的方向压强无变化。

副法线方向流体加速度为零，定常流动条件下沿流线副法向方向的欧拉方程为12第12页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础§4-3伯努利方程或欧拉方程不可压缩连续性微分方程13第13页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

欧拉运动微分方程与连续性微分方程合在一起，是求解理想流体运动问题的一组基本方程。当质量力和密度给定时，四个方程中只有ux、uy、uz、p，因此从理论上讲，欧拉运动微分方程封闭，是可解的。但是由于它是一个一阶非线性偏微分方程组（对流导数的三项中包含了未知函数与其偏导数的乘积），所以至今仍未找到它的通解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。

对第一式右端加上，并重新组合，可得14第14页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础于是，第一式可以写成同理或15第15页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础理想流体运动微分方程的积分式中为流体微团旋转角速度矢量。上式称为兰姆（H.Lamb）运动微分方程，与欧拉运动微分方程一样能适用于理想流体的各种流动。

兰姆运动微分方程的好处是在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。对于无旋流动，，式子右端第二项等于零，可使方程大为简化。由于数学上的困难，理想流体的运动微分方程仅在某些特定条件下才能求解。现给出两个限制条件：（1）作用在流体上的质量力是有势的，即16第16页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础（2）流体是正压体，即密度仅是压强的函数ρ=f(p)，为了便于计算，引入由下式定义的压强函数PF（x，y，z，t）对上式微分，可得

不可压缩流体（ρ=常数）和等温流动中的可压缩流体（p=ρRT0）就是正压流体，其压强函数分别为和

密度不是压强的函数的流体称为斜压流体，斜压流体的压强函数是不存在的。17第17页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础在上述两个条件下，兰姆运动微分方程式可以写成分别在无旋流动和有旋流动情况下求解上式1.欧拉积分在无旋流动时，，式子变为从数学分析可知，无旋的条件是uxdx+uydy+uzdz成为某一函数ψ（x,y,z,t）的全微分的必要充分条件。函数ψ（x,y,z,t）称为速度势函数，简称速度势。当以t为参变量时，函数ψ（x,y,z,t）的全微分可写成(4-2)(4-1)18第18页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础于是或因，故式4-2可写成将上式两端分别点乘一个任意微元线段矢量或19第19页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础这里的微元是任意取的，可见，在整个流场中

上式称为欧拉积分式，式中积分常数C（t）是时间的函数，可由边界条件确定。对于定常无旋流动，，则上式写为2.伯努利积分在定常有旋流动时，式4-1成为20第20页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

现将上式两端分别乘一个沿流线的微元线段矢量。根据矢量叉乘的性质，上式右端的矢量与矢量垂直，又据流线的定义，与的方向相同，故与垂直，因此，于是有或因为这里的微元是沿流线取的，所以沿流线

上式称为伯努利积分式。从形式上看，定常流动情况下的欧拉积分式与伯努利积分式完全相同，但前者在整个流场上成立，而后者仅沿流线成立。21第21页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

伯努利方程是能量守恒与转换定律在流体力学中的具体体现，它形式简单，意义明确，在实际工程中有着广泛的应用。理想流体的伯努利方程1.绝对运动的伯努利方程

对于质量力仅有重力的定常不可压缩流体，其力势函数分别为G=gz和pF=p/ρ，将其代入欧拉积分式和伯努利积分式，得或(4-3)22第22页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

对于整个无旋流动或者有旋流动的同一流线上的任意1、2点来说，上式可以写成(4-4)

式(4-3)及(4-4)称为定常不可压缩理想流体绝对运动的伯努利方程，即流体的固体边界对地球没有相对运动时的伯努利方程。该方程是伯努利（DanielBenoulli）于1738年首先提出的，是流体力学中十分重要的基本方程之一。23第23页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

式(4-3)的物理意义是：对于重力作用下的定常不可压缩理想流体，在整个流场中（无旋流动）或者沿流线（有旋流动），单位质量流体所具有的机械能为一常数，即机械能是守恒的。伯努利方程实质上就是物理学中能量守恒定律在流体力学上的一种表现形式，故又称其为能量方程。●伯努利方程的物理意义

从物理角度看，式(4-3)的每一项都表示单位重量流体所具有的一部分能量。第一项z和第二项p/ρg，分别表示单位重量流体所具有的位能和压能；第三项u2/2g则表示单位重量流体所具有的动能。三种能量之和称为机械能。24第24页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

式(4-3)的几何意义是：对于重力作用下的定常不可压缩理想流体，在整个流场中（无旋流动）或者沿流线（有旋流动），总水头为一常数，即总水头线（各点总水头的连线）为一水平线。●伯努利方程的几何意义

从几何角度看，式(4-3)的每一项都表示一个高度，或一种水头。第一项z和第二项p/ρg，分别表示位置水头和压强水头；第三项u2/2g则表示速度水头（或称动水头）。三种水头之和称为总水头。25第25页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础例.求如图光滑容器中小孔的出流速度V，假设小孔中心距自由面深为h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。从而：（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值，其中cv叫做速度系数，实验表明

cv＝0.97）沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。26第26页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础※2.相对运动的伯努利方程

流体在涡轮机械（如离心式水泵、风机、水轮机等）中的流动，一方面具有随叶轮旋转的牵连速度ue=rω，一方面又具有对叶片的相对速度ur。

将坐标系固结于旋转叶轮上（如图），当转速不变时，相对于转动坐标系，则流动可以认为是定常的。27第27页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

假设叶轮以等角速度ω旋转。从转动坐标系中看，流体沿叶片以速度ur流入和流出叶轮。因此，叶道中沿流线（相对运动的流线）的伯努利积分式为因流体的单位质量力为故其力势函数为代入上式，并假定流体不可压缩，有或(4-5)28第28页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

对于同一流线上任意两点，上式又可写为(4-6)

式(4-5)及(4-6)称为定常不可压缩理想流体相对运动的伯努利方程，即流体的固体边界对地球有相对运动时的伯努利方程。它常用来分析涡轮机械中的流体运动规律。

由式

(4-6)可以看出，当r2＞r1时，2点上单位重量流体的机械能大于1点。也就是说，当流体由内向外流动时，机械能是逐渐增加的，这是由于叶轮旋转而对流体作了功，离心式水泵、风机就是根据这个原理设计的；当流体由外向内流动时，机械能逐渐减小，此时流体对叶轮作工使之旋转，这就是水轮机的工作原理。29第29页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础※

3.总流的伯努利方程

将式(4-4)各项同乘以ρgdQ，得单位时间通过微元流束两过流断面的全部流体的机械能关系式为(4-4)注意到dQ=u1dA1=u2dA2，代入上式，在总流过流断面上积分，可得通过总流两过流断面的总机械能之间的关系式为30第30页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础或

上式共有两种类型的积分，现分别确定如下(1)它是单位时间内通过总流过流断面的流体位能和压能的总和。在急变断流面上，各点的不为常数，其变化规律因具体情况而已，积分困难。但在渐变断流面上，动压强近似地按静压强分布，各点的近似等于常数。将过断流面取在渐变流断面上，则(4-7)(4-8)31第31页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础(2)它是单位时间内通过总流过流断面的流体动能的总和。工程上为了计算方便，常用断面平均速度v来表示实际动能，则因用代替存在差异，故在式中引入了动能修正系数α—实际动能与按断面平均速度计算的动能之比值，即α值取决于总流断面上的速度分布，一般流动的α=1.05~1.10，但有时可达到2.0或更大，在工程计算中常取α=1.0。(4-9)32第32页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础将式(4-8)、

(4-9)代入式(4-7)，考虑到定常流动时，Q1=Q2=Q3，化简后得

这就是理想流体总流的伯努利方程。它在形式上类似式(4-4)，但是以断面平均速度v代替点速度u（相应地考虑动能修正系数）★总流的伯努利方程使用时的限制条件①流体是理想、不可压缩的；流动是定常的；质量力仅有重力。②过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。(4-10)33第33页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础③两过流断面间没有能量的输入或输出。当总流在两过流断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外地获得或失去了能量，则总流的伯努利方程应做如下修正：

式中，+H表示单位重量流体流过水泵、风机时获得的能量；-H表示单位重量流体经过水轮机所失去的能量。34第34页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础※二、粘性流体总流的伯努利方程

从式(4-10)可知，理想流体运动时，其机械能沿流程不变。但粘性流体运动时，由于流层间内摩擦阻力作功会消耗部分机械能，使之不可逆转地变成热能等能量形式而耗散掉，因此，粘性流体的机械能将沿流程减小。

设hw为总流中单位质量流体从1—1过流断面至2—2过流断面所消耗的机械能（通常称为流体的能量损失或水头损失），根据能量守恒定律，可得粘性流体总流的伯努利方程为

上式的适用条件除了流体是粘性的以外，与理想流体总流的伯努利方程完全相同。35第35页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础静压强、动压强和滞止压强

如图所示，流体绕流钝形体时，由于物体的阻挡作用，一部分流体从物体上方流过，一部分流体从物体下方流过，中间一条分流流线称为滞止流线，滞止流线终止于物面上一点，该点的速度为零，称为滞止点（驻点）。对于对称形状的物体，滞止点位于物体的正前方；对于非对称形状的物体，滞止点的位置则需依据来流方向及物面具体形状确定。36第36页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

设滞止流线上游无限远处流体速度和压强分别为p和V，沿滞止流线对上游无穷远点和滞止点列伯努利方程（忽略重力影响，或设沿流线高度不变），有由于V0=0，上式可以简化为上式称为空气动力学中的伯努利方程。

称p为静压，ρV2/2为动压强；p0为滞止压强或总压强，等于静压强与动压强之和。37第37页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

静压就是运动流体质点感受到的压强。对于如图所示的管内流动，可在流线平直区域的管壁上开静压测孔，通过与测孔相连接的液柱式测压计或其他测压传感器测量流管流动的静压。

为了准确地测量静压，静压测压孔必须光滑，孔径要小，且与管壁垂直，钻孔时形成的毛刺或缺陷可能导致测量压强大于或小于实际静压。38第38页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础●伯努利方程的应用——皮托（H.Pitot）管皮托管是广泛用于测量流场各点速度的仪器，又称为测速管。测量流场内某一点的总压使用总压测管，或称简单皮托管。测得一点的总压和静压，即可计算该点处的流动速度39第39页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础40第40页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

总压测管和静压测管也可以组合在一起，制成皮托——测压管，简称皮托管。

测压孔的位置对速度测量精度影响很大，理论计算表明，静压测量孔到头部距离应为3~8倍测管直径。由于实际流体是有粘性的，因此，上式计算速度V时需进行修正。41第41页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础总能头线与测压管线

式中各项分别表示单位重量流体所具有的重力势能、压力能和动能。方程中每一项都具有长度的量纲，z表示位置高度，称为位势头；与p/（ρg）相当的高度称为静压头，与V2/（2g）相当的高度称为速度头。

可以用总能头线（EL，energyline）和测压管水头线（HGL，hydraulicgradeline）来形象地表示伯努利方程各项沿流线的变化情况。总能头线反映伯努利方程三项和的高度，h0=z+p/（ρg）+V2/（2g），对于理想流体总能头线沿同一条流线高度保持不变。测压管水头线则表示位势头与静压头之和的高度，z+p/（ρg），即总能头与速度头之差的高度。42第42页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础43第43页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

如管道低于测压管水头线，则管中压强一定为正（高于大气压强）；管道高于测压管水头线，则管中压强为负（低于大气压强）。44第44页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础§4-4伯努利方程的应用

伯努利方程在工程实际中得到广泛应用。本节给出一些定常和非定常的不可压缩流动的实例，以说明如何运用伯努利方程处理实际流动问题。处理问题过程中，伯努利方程经常需要与一维连续方程联立求解。●孔口出流

在图示流线的①点与②点之间列伯努利方程，可得45第45页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础上式可简化为

设容器自由液面和喷管出口截面分别为A1和A2，引用一维连续方程，有由上两式解出孔口出流速度为通常A2/A1<<1，孔口出流速度于是近似表示为(4-11)46第46页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

对于水平布置的喷管，由于高度不同，中心线上的流体出流速度V2将稍高于上缘的速度V1，而略低于下缘的速度V3,。如果d<<h，则可以将出口中心线的速度视为平均速度而不会引起显著误差。

由于流体在离开孔口时不能瞬间改变流动方向，流出孔口的射流会继续收缩，直至图示的a-a截面流线才达到平直状态，称为收缩截面，其直径dj小于孔口直径dh。当dj<<h时可认为速度均匀分布。47第47页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

由于粘性影响，在收缩截面能达到的真实速度要小于式（4-11）给出的理论速度。实际速度与理论速度的比值称为速度因数，表示为cv。

计算出流流量还需要考虑截面收缩的影响，收缩截面面积Aj和孔口截面面积Ah的比值，称为面积收缩因数cc。

孔口出流体积流量则可计算为其中cd为流量因数

对于薄壁小孔口，由实验测得cc=0.63~0.64，cv=0.97~0.98，cd=0.60~0.62。(4-12)48第48页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础49第49页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础※管嘴定常出流的计算

当孔口壁厚l等于(3~4)d时，或者在孔口处外接一段长l=(3~4)d的圆管时(如图所示)，此时的出流称为管嘴出流。管嘴出流的特点是：当流体进入管嘴后，同样形成收缩，在收缩断面c—c处，流体与管壁分离，形成漩涡区，然后又逐渐扩大，在管嘴出口断面上，流体完全充满整个断面。50第50页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础

以通过管嘴中心的水平面为基准面，在容器液面1-1及管嘴出口断面2-2列伯努利方程:

因则式中称为管嘴的流速系数(4-13)51第51页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础管嘴出流流量式中称为管嘴的流量系数

由表查得管道锐缘进口局部损失系数ζn=0.5，所以。比较式(4-12)和式(4-14)可知在相同直径、相同作用水头H下，管嘴的出流流量比孔口出流量要大。究其原因，就是由于管嘴在收缩断面c—c处存在真空的作用。下面来分析c—c断面真空度的大小。

如前图所示，仍以0—0为基准面，选断面c—c及出口断面2—2列伯努利方程(4-14)52第52页，共59页，2023年，2月20日，星期一第四章理想流体运动基础则由连续性方程

将上式及式(4-13)代入式(4-15)得

由实验测得cc=0.64，cd=0.82，取αc=α=1，则管嘴的真空度(4-15)(4-16)53第53页，共59页，2023年，2月20日，星期一第