理论力学哈密顿理论在物理学中的应用

理论力学哈密顿理论在物理学中的应用第1页，共36页，2023年，2月20日，星期日第2页，共36页，2023年，2月20日，星期日第3页，共36页，2023年，2月20日，星期日第4页，共36页，2023年，2月20日，星期日第5页，共36页，2023年，2月20日，星期日第6页，共36页，2023年，2月20日，星期日§8.2电磁场的拉格朗日方程第7页，共36页，2023年，2月20日，星期日第8页，共36页，2023年，2月20日，星期日第9页，共36页，2023年，2月20日，星期日第10页，共36页，2023年，2月20日，星期日§8.3薛定谔波动力学方程的建立采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为第11页，共36页，2023年，2月20日，星期日第12页，共36页，2023年，2月20日，星期日第13页，共36页，2023年，2月20日，星期日第14页，共36页，2023年，2月20日，星期日第15页，共36页，2023年，2月20日，星期日第16页，共36页，2023年，2月20日，星期日第17页，共36页，2023年，2月20日，星期日§8.4刘维尔定理相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p。统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，但初始条件不同的许多个“样本”组成。单个粒子相空间(6维空间)：

3个坐标分量q，3个动量分量p。N个粒子构成空间(6维空间).t时刻，每个“样本”的q、p确定，因此

空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是空间中的一群代表点。第18页，共36页，2023年，2月20日，星期日这群代表点在空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。设在d1内，代表点的数目为dN1，则=dN1/d1

就代表点在d1区域中的密度。经过时间t后，原来在d1中的代表点运动到空间的d2的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，即dN1=dN2。pqd1d2第19页，共36页，2023年，2月20日，星期日刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即=dN1/d1=dN2/d2=常数。因为dN1=dN2，所以要证明上式，只要证明d1=

d2。分两步证明：1、证明一个粒子的一对正则变量q、p从t到t+dt的变化可看成是一种正则变换。证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量Q、P为Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)若取第二类正则变换母函数F2(q,P)=qP(2)则:这是全同正则变换。第20页，共36页，2023年，2月20日，星期日Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)

F2(q,P)=qP(2)比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量 dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取

F2(q,P)=qP+G(q,P,t)

(4)为无穷小量，G为任意函数。忽略二阶小量，(4)式近似为：F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)(5)式正则变换称为无穷小正则变换。第21页，共36页，2023年，2月20日，星期日F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)令=dt，G(q,p,t)

=H(q,p,t)

，代入(5)式，得F2(q,P)qP+H(q,p,t)dt(6)利用此母函数即得：上式即为(1)式，即证明了相空间体积从d1变换为d2是一种正则变换.第22页，共36页，2023年，2月20日，星期日2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即

P=…dq1…dq3Ndp1…dp3N=…dQ1…dQ3NdP1…dP3N当积分自变量从q、p变到Q、P时，体积元的变换为：…dQ1…dQsdP1…dPs=

…Ddq1…dqsdp1…dps(7)式中D为雅可比行列式：只要证明:D=1第23页，共36页，2023年，2月20日，星期日第24页，共36页，2023年，2月20日，星期日

在证得了s=1时，D=1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当s=3N时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。

综合以上所得，刘维定理成立。代表点密度为=(q、p、t)，其运动方程为第25页，共36页，2023年，2月20日，星期日§8.5经典微扰理论1、微扰论的基本思想：非线性方程中的线性部分是严格可解，而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。第26页，共36页，2023年，2月20日，星期日第27页，共36页，2023年，2月20日，星期日第28页，共36页，2023年，2月20日，星期日第29页，共36页，2023年，2月20日，星期日第30页，共36页，2023年，2月20日，星期日第31页，共36页，2023年，2月20日