电工基础第六章

电工基础第六章第1页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感一、互感1.互感现象我们先观察下面这个实验。图6−1所示的实验电路中，线圈2两端接一灵敏检流计。当开关S闭合瞬间，可以观察到检流计指针偏转一下之后又回到零位。发生这种现象的原因是由于开关S闭合的瞬间，线圈1产生变化的磁通Φ11，其中的一部分磁通Φ12与线圈2交链，使线圈2产生感应电动势，因而产生感应电流使检流计指针偏转。S闭合后，线圈1的电流不再发生变化，虽然仍有磁通与线圈2交链，但该磁通是不变化的，所以不产生感应电动势，没有电流流过检流计，因而检流计的指针回到零位。下一页返回第2页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感这种某一线圈电流产生的磁通不仅与本线圈交链，同时还与邻近的线圈交链的现象称之为磁耦合现象。存在磁耦合的线圈称之为耦合线圈或互感线圈，其电路模型为耦合电感元件。在一般情况下，耦合电路由多个线圈组成。耦合电感是一种动态元件，在本教材中只讨论一对线圈相耦合的情况。2.互感系数如图6−2所示为两个有耦合的线圈。线圈1的匝数为N1，线圈2的匝数为N2。各线圈选取电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则，电压和电流为关联参考方向。线圈1的电流i1产生的磁通为Φ11，在穿越自身的线圈时所产生的磁通链为Ψ11（Ψ11=N1Φ11），该磁通链称为自感上一页下一页返回第3页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感磁通链；Φ11中的一部分或者全部交链线圈2时产生的磁通链为Ψ21（Ψ21=N2Φ21），称之为互感磁通链。所以，图6−2的耦合线圈1的电流i1在自身线圈中产生自感磁通链，而且在与之耦合的线圈中产生互感磁通链。同理，线圈2的电流i2也产生自感磁通链Ψ22和互感磁通链Ψ12（图中未画出）。因此，由于磁场的耦合作用，每个线圈的磁通链不仅与线圈本身的电流有关，也和与之耦合线圈的电流有关。当线圈周围媒质为非铁磁物质时磁通链是电流的线性函数。即有自感磁通链与电流的关系为

（6−1）上一页下一页返回第4页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感自感磁通链是线圈本身电流所产生的磁通链。互感磁通链与电流的关系为 （6−2）互感磁通链是与之耦合线圈的电流在本线圈中产生的磁通链，即Ψ21为线圈1的电流在线圈2中产生的磁通链。式（6−2）也可以写为 （6−3）上一页下一页返回第5页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感M12和M21称为互感系数，简称互感，单位为亨（H）。可以证明，在线圈周围不存在铁磁物质或虽有铁磁物质但磁路未饱和时，互感M21与M12是相等的，所以可以略去M的下标，即M12=M21=M，统一用M来表示。互感M的大小不仅与两线圈的匝数、形状、尺寸及周围介质的磁导率有关，而且还和两线圈的相对位置有关。如果两线圈使其轴线平行放置，则相距越近时互感便越大。和自感一样，互感既有利也有弊。在工农业生产中具有广泛用途的各种变压器、电动机都是利用互感原理工作的，这是有利的一面。但在电子电路中，若线圈的位置安放不当，各线圈产生的磁场就会互相干扰，严重时会使整个电路无法工作。上一页下一页返回第6页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感此时，为减少两线圈的耦合（或者说使互感变小），应该使两线圈远离。但较好的办法是使两线圈轴线相互垂直并且在对称位置上，如图6−3所示，在这种情况下，线圈1产生的磁力线不与线圈2交链，互感磁通链为零，所以互感系数M为零。仪器仪表为减少元件之间磁的联系，常采用这种布置方式。在线性条件下，当两线圈都有电流时，线圈1和线圈2的总磁通链可以看作是i1和i2单独作用时磁通链的叠加。取各线圈的电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则；电压和电流为关联参考方向，则两个耦合线圈的磁通链可表示为 （6−4）上一页下一页返回第7页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感由式（6−4）可知，磁耦合中，互感作用有两种可能，当自感磁通链和互感磁通链参考方向一致时，线圈的磁通链是增强的，M前面取的是“+”号；当自感磁通链和互感磁通链参考方向相反时，线圈的磁通链是减弱的，M前面取的是“−”号。在线圈电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则，电压和电流为关联参考方向的约定下，耦合线圈的磁通链是增强还是减弱，取决于线圈的绕向。因此，在已知线圈绕向的情况下，可根据两个线圈的实际绕向判断磁通链是增强还是减弱，但这是很不方便的。在实际当中，线圈往往是密封的，不能看到线圈的绕向，而且要在电路图中表示出线圈的绕向也很不方便。如何来解决这一问题呢？下面我们专门讨论解决这个问题的办法。上一页下一页返回第8页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感二、同名端1.同名端的定义在耦合线圈中，为了便于反映线圈磁通链的“增加”或“减弱”作用，以及简化图形表示，我们引入小圆点“·

”或是星号“*”作为线圈绕向的标记，即采用同名端标记法。对耦合的两个线圈各取一个端子，以“·

”或“*”符号标记，这对端子称为同名端。同名端标注的原则是：当线圈电流同时流入（或流出）同名端时，耦合电感的自感磁通链和互感磁通链方向是一致，即线圈的磁通链是增强的。如图6−4（a）所示，端子1、3（或2、4）为同名端。如果电流i1从端子1流进，电流i2从端子3流进，则自感磁通链和互感磁通链的方向是一致，线圈的磁通链是增强的；而电上一页下一页返回第9页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感流i1从端子1流进，电流i2从端子4流进，则自感磁通链和互感磁通链的方向是相反的，线圈的磁通链是减弱的。2.同名端的判断在已知线圈绕向和相对位置的情况下，可以根据同名端的性质来判断同名端。如图6−5（a）中，设电流分别从端钮1和端钮3流入，根据右手螺旋法则，它们产生的磁通是相互增强的，所以端钮1和端钮3是同名端。对于图6−5（b）也可用同样的方法来判断出端钮2和端钮3是同名端。设备中的线圈被封装起来（如变压器）时，可以通过实验测定两互感线圈的同名端。具体的判断步骤为上一页下一页返回第10页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感（1）首先用万用表的电阻挡确定哪两个接头是属于同一个线圈；（2）将任意一个线圈通过开关与干电池相连，将检流计或直流电流表接在另一线圈两端，如图6−6所示；（3）开关合上瞬间，电流i1从初级线圈的一端（和正极连接的一端）流入，且正在增大，若检流计的指针正向偏转，则干电池正极连接的一端（自感电压为高电位）与检流计正极连接的一端（互感电压为高电位）为同名端；若检流计的指针反向偏转，则干电池正极连接的一端与检流计正极连接的一端（互感电压为低电位）为异名端。上一页下一页返回第11页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感说明：①同名端只与互感线圈的绕向和相对位置有关，与线圈上是否有电流没有关系。②同名端是指在同一磁通下感应出自感电压与互感电压实际极性始终相同的端钮，同组的同名端要用同一个标记。例6−1判断图6−7所示互感线圈的同名端。解根据同名端的定义和电磁感应定律判断。图（a）中端钮1、4为同名端，2、3为同名端；图（b）中端钮1、4为同名端，2、3为同名端。思考题：将图中的端钮1和端钮2的线圈反向绕制，再判断同名端。上一页下一页返回第12页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感三、耦合电感的伏安关系如果线圈的电压、电流采用关联参考方向，电流和磁通链的参考方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，由式（6−4）可得 （6−5）这就是耦合线圈的伏安关系。表明u1不仅与i1有关，也与i2有关。同样，u2也如此。这两式体现了线圈之间的耦合作用。所以耦合电感应该用三个参数L1、L2和M来表征。式中自感磁通链产生的电压称之为自感电压，即上一页下一页返回第13页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感上一页下一页返回第14页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感 式中，u12是i2在L1中产生的互感电压；u21是i1在L2中产生的互感电压。互感电压说明电磁能量可以通过电磁感应及磁的联系从一个线圈传递到另一个线圈。耦合电感的电压是自感电压和互感电压的叠加。互感电压取“+”或“−”号是写出耦合电感伏安关系的关键。根据同名端的定义，可知电流在自身线圈中产生的自感电压和在与之耦合线圈中产生的互感电压，与同名端的极性是一致的。因此电压和电流为关联参考方向时，当相互耦合线圈的电流均从同名端流进（或流出）时，互感电压前取正号，反之取负号。例6−2图6−4（b）中，i1=8A，i2=6cos(6t)A，L1=4H，L2=3H，M=2H，试求两耦合电感的端电压u1，u2。上一页下一页返回第15页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感解由图6−4（b）可知通过计算可知，电压u1中只含有互感电压u12，电压u2中只含有自感电压u22，说明i1电流（不变化）虽产生自感和互感磁通链，但不产生自感和互感电压。故耦合电感在直流电路稳态中相当于短路。思考题：如果取i1的方向为流出同名端，重解该题。上一页下一页返回第16页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感在同频正弦稳态电路中，耦合电感的伏安关系可以用相量形式表示，式（6−5）可表示为 （6−8）例6−3电路如图6−8所示，已知R1=1Ω，L1=L2=1H，M=0.5H，uS=10sin4t。试求u2。解由题意得上一页下一页返回第17页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感回路Ⅰ的KVL方程为所以上一页下一页返回第18页，共81页，2023年，2月20日，星期一第一节耦合电感思考题：如果将L2的同名端改在上端，u2的表达式一样么？工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧疏程序，定义了耦合系数K。 （6−9）K的大小与两个线圈的结构、相互位置及周围磁介质有关。K的最大值为1，而最小值为零。K=1时称为全耦合，此时线圈电流产生的磁通全部与耦合线圈交链Mmax= ；K近于1时称为紧耦合；K值较小时称为松耦合；K=0称为无耦合。上一页返回第19页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互感电压叠加而成的。根据电压、电流的参考方向及耦合电感的同名端确定互感电压的方向是互感电路分析计算的难点。由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之有耦合支路的电流有关，列写节点电压方程较困难，所以互感电路的分析计算一般采用支路电流法（网孔法）。一、耦合电感的串联与两个一般电感不同，耦合电感的串联有两种方式：反向串联和顺向串联。下一页返回第20页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路1.耦合电感的顺向串联耦合电感的顺向串联是异名端相接，如图6−10（a）所示。电流是从两电感的同名端流入（或流出），其线圈磁通链是增强的。按图示参考方向，KVL方程为

（6−10）上一页下一页返回第21页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路其中L=L1+L2+2M因此，顺向串联的耦合电感可以用一个等效电感L来代替。根据u1、u2的方程可以给出一个无互感等效电路，如图6−10（b）所示。去耦等效电路的分析计算同前面相同，但要注意电路中各点的对应关系。2.耦合电感的反向串联耦合电感的反向串联是同名端相接，如图6−11（a）所示。电流是从一个线圈的同名端流入（或流出），从另一个线圈的同名端流出（或流入），其线圈的磁通链是减弱的。上一页下一页返回第22页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路按图示的参考方向，KVL方程为

（6−11）反向串联的耦合电感也可以用一个等效电感L来代替。根据u1、u2的方程可以给出一个无互感等效电路，如图6−11（b）所示。“去耦”后，耦合电感支路等效为（L1−M）和上一页下一页返回第23页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路（L2−M），这两者其中之一有可能为负值。但其耦合等效电感L不可能为负（L1+L2>2M）。在正弦稳态时，式（6−10）、式（6−11）用相量形式表示为故顺向串联时上一页下一页返回第24页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路反向串联时因此，在正弦稳态分析中，两个串联电感的等效阻抗，并不是两电感阻抗直接相加。在顺向串联时，由于互感作用使线圈的磁通链增强，故其阻抗比无互感时大；反向串联时，互感作用使线圈的磁通链减弱，其阻抗比无互感时小。上一页下一页返回第25页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路二、耦合电感的并联耦合电感的并联也有两种方式：同侧并联和异侧并联。1.耦合电感的同侧并联耦合电感的同侧并联是两个同名端连接在同一个节点，如图6−12（a）所示。在正弦稳态情况下，按图示的参考方向有 （6−12）可将式（6−12）转化为上一页下一页返回第26页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路

（6−13）由节点A的KCL方程可得 （6−14） （6−15）上一页下一页返回第27页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路由式（6−14）、式（6−15）可得去耦等效电路，如图6−12（b）所示。注意去耦等效之后原电路中的节点A的对应点为图（b）中的A点而非A＇点。2.耦合电感的异侧并联耦合电感的异侧并联是两个异名端连接在同一节点上，如图6−13（a）所示。由图6−13（a）可知 （6−16） （6−17）上一页下一页返回第28页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路同样可将式（6−16）、式（6−17）转化为 （6−18） （6−19）由式（6−18）、式（6−19）可得耦合电感异侧并联的去耦等效电路，如图6−13（b）所示。3.耦合电感只有一个公共端的连接对于只有一个公共端连接的耦合电感如图6−14（a）所示。由图6−14（a）可知 （6−20） （6−21）上一页下一页返回第29页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路式（6−20）、式（6−21）两式可化为由式（6−22）、式（6−23）两式可得去耦等效电路如图6−14（b）所示。如果改变图6−14（a）中耦合线圈同名端的位置，如图6−15（a）所示，同样可推导其去耦等效电路如图6−15（b）。例6−4已知图6−16中，L1=1H，L2=2H，M=0.5H，R1=R2=1kΩ，uS=100sin(200πt)V，上一页下一页返回第30页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路试求电流i及耦合系数K。解uS的相量为支路的阻抗为所以有上一页下一页返回第31页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路上一页下一页返回第32页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路例6−5电路如图6−17所示，已知U1=10∠0°，12R=R=3Ω，12ωL=ωL=4Ω，ωM=2Ω，求开路电压U。解一由题意可知根据图示的参考方向可得上一页下一页返回第33页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路可得解二原电路的去耦等效电路如图6−17（b）所示。因为所以上一页下一页返回第34页，共81页，2023年，2月20日，星期一第二节有耦合电感的正弦电路思考题：如果要求电感L2两端的电压能否直接采用去耦方式来求解？上一页返回第35页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器变压器是电工电子技术中常用的电器设备，它是由两个耦合线圈绕在一个共同的芯子上制成，其中一个线圈接电源，称为初级线圈，另一个线圈接负载，称为次级线圈。通过两个线圈的磁耦合将能量从电源传送给负载。如果变压器的线圈绕在铁磁性物质制成的铁心上，则叫铁心变压器，如果绕在非铁磁性物质制成的心子上，则叫空心变压器。空心变压器的耦合系数虽然不如铁心变压器那样高，但它不会产生铁心引起的能量损耗，所以被广泛应用于测量仪器及高频电路中，本节将讨论其在正弦稳态中的分析方法。下一页返回第36页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器空心变压器的电路模型如图6−20所示。其中一线圈接电源1U，称为空心变压器的一次侧，对应的线圈称为一次线圈或一次绕组。另一线圈接负载ZL，称为空心变压器的二次侧，该线圈称为二次线圈或二次绕组。R1、L1和R2、L2分别为一次侧、二次侧的电阻和电感，M为两绕组的互感。负载ZL=RL+jXL。根据图示电压、电流参考方向以及标注的同名端，可列写一次侧、二次侧的KVL方程上一页下一页返回第37页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器令Zll=R1+jωL1，称为一次侧的自阻抗，

称为二次侧自阻抗。XM=ωM称为互感电抗，则有 （6−24） （6−25）由式（6−25）可得 （6−26）上一页下一页返回第38页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器将式（6−26）代入式（6−24）中得 （6−27）从式（6−26）、（6−27）可以看出，空心变压器的两个线圈间虽然没有电的直接联系，但由于互感的作用，使闭合的二次侧产生了电流。这个电流由于互感的作用又反过来影响了一次侧，这个影响可以看作是一次侧回路中增加了一个复阻抗Z′，其值为 （6−28）上一页下一页返回第39页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器式中，Z′称为反射阻抗，将式（6−28）整理可得反射阻抗的实部和虚部分别为

（6−29） （6−30）式中，R1′称为反射电阻；X1′称为反射电抗。R1′吸收的有功功率即为一次侧通过互感作用传给二次侧的功率，证明如下上一页下一页返回第40页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器I12R′即为R′在一次侧吸收的有功功率。从式（6−30）可知X1′与X22符号相反，说明反射电抗与二次侧回路电抗的性质是相反的，即若二次侧回路电抗X22是容性时，反射到一次侧是感性的；若二次侧回路电抗X22是感性时，反射到一次侧是容性的。二次侧为开路时，电路出现断路，I2值为零，二次侧对一次侧没有影响。利用反射阻抗的概念，根据式（6−26）、式（6−27）就可以得到空心变压器的去耦等效电路，如图6−21所示。这样，利用等效电路可以大大地简化正弦稳态电路的分析。图中，jXMI1的极性要根据一次侧电流参考方向和同名端的位置来确定。上一页下一页返回第41页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器例6−6如图6−22所示，已知U1=100∠0V，R1=10Ω，L1=0.5H，R2=100Ω，L2=4.8H，XM=30Ω，频率ω=50rad/s，（1）求二次侧开路时一次侧电流I1；（2）二次侧接入负载RL=80Ω时负载上的电压2U及一、二次侧电流I1和I2。解（1）二次侧开路，RL=∞上一页下一页返回第42页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器（2）二次侧接入负载RL时。反射阻抗为一次侧的总阻抗为上一页下一页返回第43页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器一次侧电流为由式（6−26）得二次侧电流为负载上的电压为上一页下一页返回第44页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器例6−7如图6−23所示电路中，已知：电源电压US

=300∠0°，R0=3Ω，RL=6Ω，一次侧线圈感抗XL1=20Ω，二次侧线圈感抗XL2

=8Ω，XM

=100Ω，求：电压U2及电阻RL消耗的功率。解一次侧自阻抗为Z11

=R0+jXL1

=(3+j20)Ω二次侧自阻抗为反射阻抗为上一页下一页返回第45页，共81页，2023年，2月20日，星期一第三节空心变压器一次侧的总阻抗为一次侧电流为负载上的电压为电阻RL消耗的功率为上一页返回第46页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器耦合电感和理想变压器是构成实际变压器电路模型必不可少的元件。我们前面介绍了耦合电感。本节将讨论理想变压器。一、理想变压器的端口特性理想变压器是从实际变压器抽象出来的一种耦合元件。理想变压器的电路模型如图6−25所示，N1和N2为原边和副边的匝数。在图示的参考方向下，原、副边电压和电流关系为 （6−31）下一页返回第47页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器式中n=N1/N2（常量），称为理想变压器的变比。n是描述理想变压的唯一参数。理想变压的电压、电流方程是代数方程，因此理想变压器是静态元件，无记忆性，无动态过程。将（6−31）两式相乘后可得

（6−32）即在任一时刻，输入到理想变压器的瞬时功率为零，理想变压器是无损器件，既不消耗能量，也不贮存能量。从原边输入的能量全部经副边到负载。因此理想变压器是一个变换信号和传输能量的元件。上一页下一页返回第48页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器二、理想变压器的阻抗变换理想变压器对电压、电流按匝数变换，同时也有阻抗变换的作用。如图6−26（a）所示，理想变压器副边接有负载阻抗ZL，则变压器原边的Z12为即理想变压器起着阻抗大小变换的作用，将副边的负载阻抗ZL

折合到原边后变成为n2ZL

。如图6−26（b）所示。例6−8图6−27（a）所示理想变压器的数比为1:10，已经R1＝1Ω，R2＝50Ω，uS=10cos(10t)V，求u2。上一页下一页返回第49页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器解一回路法，根据图6−27（a）可得理想变压器的电压、电流关系方程为上一页下一页返回第50页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器解二阻抗变换法，等效的原边电路如图6−27（b）所示。所以u2=−33.3cos(10t)V思考题：试求负载R2上消耗的功率。上一页下一页返回第51页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器例6−9如图6−28所示，已知信号电压的有效值U1=50V，信号内阻RS=100Ω，负载为扬声器，其等效电阻RL=8Ω。（1）将负载直接接到信号源上如图6−28（a）所示，试求负载的输出功率。（2）将负载通过变压器接到信号源上，已知变比n=N1/N2=3.5:1，再求负载的输出功率，可以得出什么结论？解（1）将负载直接接到信号源上，得到的输出功率为上一页下一页返回第52页，共81页，2023年，2月20日，星期一第四节理想变压器（2）将负载通过变压器接到信号源上，则输出功率为结论：由此例可见加入变压器以后，输出功率提高了很多。原因是满足了电路中获得最大输出的条件（信号源内、外阻抗大致相等）。上一页返回第53页，共81页，2023年，2月20日，星期一图6−1互感实验返回第54页，共81页，2023年，