由递推公式求通项的9种方法经典总结

由递推公式求通项的9种方法经典总结用时可以删除种方法n＋1n把原递推公式转化为a－a＝f(n＋1n相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．111111[解]由条件，知an＋1－an＝n2＋n＝nn＋1＝n－n＋1，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a41所以an－a1＝1－n.11131n＋1nn＋1nan把原递推公式转化为＋1＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)n2nnan[解]由an＋1＝n＋1an，得1＝n＋1，aaan－1n－2122n＋1nn＋1n2a＝n3n.pq(p－1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公qqn＋1n＋1[解]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则tan＋3＝2(an＋3)．ba＋3nn令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＋1＝＋3＝2.nnn＋1nn＋1napaqn＋1qqn(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得qn＋1qqnaa1(q(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得pp＋p|p|51(1[例4]已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝3an＋2n＋1，求an.1(12[解]法一：在an＋1＝3an＋2n＋1两边乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝3(2nan)＋1.22根据待定系数法，得bn＋1－3＝3(bn－3)．54所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×6－3＝－3为首项，23以为公比的等比数列．3(2)4(2)4b33n－1，即bn＝3－2()(1)n＝(1)n＝3()2n－2()n2n23(1(1)3an＋()2n＋1两边乘以3an＋()3n＋1a3n＋1an＋1＝3nan＋()2(3)2(3)所以bn－bn－1＝()所以bn－bn－1＝()(3)b2－b1＝(2)2.(3)(3)(3)(3)2n2n－1＋()232＝32＝1＋5＝6又b1＝3a＝6(3)((3)(3)(3)2n－1＋()2n－1＋()n2n＋1(3)＝2(n＋1(3)＝2()21·L1－()」＝n＋1－2，＝22n＋1－2.n＋1－2.2即bn＝2()(1)n＝(1)n＝3()b32n－3n＋1nn＋1nn＋1这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1nnn而转化为{a＋xn＋y}是公比为p的等比数列．n[解]设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，化简后与原递推式比较，得〈|(2A＝2，|l2B－3A＝－1，解得|B＝1.an·3n－n－1.n＋1nnn＋1nn这种类型一般是等式两边取对数后转化为n＋1nn＋1n1anaaaan1[解]对an＋1＝a·a的两边取对数，1得lgan＋1＝2lgan＋lga.1lga1(11由此得bn＋1＋lga＝2bn＋lga，记cn＝bn＋lga，则cn＋1＝2cn，11所以数列{cn}是以c1＝b1＋lga＝lga为首项，2为公比的等比数列．1111所以bn＝cn－lga＝2n－1·lga－lga「(1]Aa7．an＋1＝BaC(A，B，C为常数)型n对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关33ananann3a121nn＋1nnn＋1n11(1∴a－1＝3a－1.n＋1n2又1212a33n－nn3nnan1n+1nnn+1nnaafn)aafn)将