无穷级数总结

本文格式为Word版，下载可任意编辑——无穷级数总结无穷级数总结

一、概念与性质1.定义：对数列u1,u2,，?un称为无穷级数，un称为一般项；若部分和

n?1?,un数列{Sn}有极限S，即limSn?S，称级数收敛，否则称为发散.

n??2.性质

①设常数c?0，则?un与?cun有一致的敛散性；

n?1n?1

??

②设有两个级数?un与?vn，若?un?s，?vn??，则?(un?vn)?s??；

n?1n?1n?1n?1n?1?????若?un收敛，?vn发散，则?(un?vn)发散；

n?1?n?1n?1???若?un，?vn均发散，则?(un?vn)敛散性不确定；

n?1n?1n?1??③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；

④设级数?un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．

n?1?注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；

②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数?un收敛的必要条件：limun?0；

n?1?n??注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；

②若limun?0，则?un未必收敛；

n??n?1?③若?un发散，则limun?0未必成立．

n?1?n??二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法

①定义：若un?0，则?un称为正项级数.

n?1?②审敛法：（i）

充要条件：正项级数?un收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.

n?1?（ii）

比较审敛法：设?un①与?vn②都是正项级数，且un?vn(n?1,2,)，

n?1n?1??则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.

A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n?N时有un?kvn(k?0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n?N时有un?kvn(k?0)成立，则①发散；

1B.设?un为正项级数，若有p?1使得un?p(n?1,2,nn?1?)，则?un收敛；若

n?1?1un?(n?1,2,n?)，则?un发散.

n?1??C.极限形式：设?un①与?vn②都是正项级数，若limn?1n?1un?l(0?l???)，则n??vn?un?1??n与?vn有一致的敛散性.

n?1?注：常用的比较级数：①几何级数：?arn?1n?1?a???1?r?发散?r?1r?1；

②p?级数：?n?1?1?收敛?np?发散?p?1时p?1时；

③调和级数：??1?1nn?111?????发散．2n??（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设?an是正项级数，若

n?1????an?1an?1?r?1，则?r?1，则①liman收敛；②liman发散．

n???an???annn?1n?1??nan?1?1，或liman?1，推不出级数的敛散.例注：若limn???an???n?n?1????11与，虽然2nn?1n?????an?111lim?1，limnan?1，但?发散，而?2收敛.

n???n???ann?1n?1nn??（iv）根值判别法（柯西判别法）设?an是正项级数，liman??，若??1，

n?1nn???级数收敛，若??1则级数发散．

（v）极限审敛法：设un?0，且limnpun?l，则①limnpun?l?0且p?1，则级

n??n??数?un发散；②假使p?1，而limnpun?l(0?l???),则其收

n?1n????敛．（书上P317-2-（1））

注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正

项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．

2.交织级数及其审敛法

①定义：设un?0(n?1,2,)，则?(?1)n?1un称为交织级数.

n?1?②审敛法：莱布尼兹定理：对交织级数?(?1)n?1un，若un?un?1且limun?0，

n?1n???则?(?1)n?1un收敛.

n?1?注：比较un与un?1的大小的方法有三种：①比值法，即考察

un?1是否小于1；un②差值法，即考察un?un?1是否大于0；

③由un找出一个连续可导函数f(x)，使un?f(n),(n?1,2,?)考察f?(x)是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若?un绝对收敛，则?un收敛.

n?1n?1??②若用比值法或根值法判定?|un|发散，则?un必发散.

n?1n?1??三、幂级数

1.定义：?anxn称为幂级数.

n?0?2.收敛性

①阿贝尔定理：设幂级数?anxn在x0?0处收敛，则其在满足x?x0的所

n?0??有x处绝对收敛．反之，若幂级数?anxn在x1处发散，则其在满足x?x1n?0??的所有x处发散．②收敛半径

（i）定义：若幂级数在x?x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在

一个正数R，使得①当x?x0?R时，幂级数收敛；②当

x?x0?R时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.

（ii）求法：设幂级数?anxn的收敛半径为R，其系数满足条件limn?0??n???an?1?l，an或limnn???1an?l，则当0?l???时，R?；当l?0时，R???，

l当l???时，R?0．

注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更繁杂的状况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．

（iii）收敛半径的类型A.R?0，此时收敛域仅为一点；B.R???，此时收敛域为(??,??)；

C.R=某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质

①若幂级数的收敛半径R?0，则和函数S(x)??anxn在收敛区间(?R,R)内连续．

n?0????②若幂级数的收敛半径R?0，则和函数S(x)??anxn在收敛区间(?R,R)内可导，

n?0且可逐项求导，即S?(x)?(?anx)???(anx)???nanxn?1，收敛半径不变．

nnn?0n?0n?1??????③若幂级数的收敛半径R?0，则和函数S(x)??anxn在收敛区间(?R,R)内可积，

n?0??且可逐项积分，即?S(t)dt??(?ant)dt???antndt(x?(?R,R))，收敛半径不

n00n?0n?00xx????x变．

5.函数展开成幂级数

①若f(x)在含有点x0的某个区间I内有任意阶导数，f(x)在x0点的n阶泰勒公式

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)???(x?x0)?为f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!f(n?1)(?)f(n?1)(?)(n?1)(x?x0)(x?x0)(n?1)，?介于x,x0之间，则f(x)在，记Rn(x)?(n?1)!(n?1)!I内能展开成为泰勒级数的充要条件为limRn(x)?0,?x?I.

n???②初等函数的泰勒级数(x0?0)（i）e??xn?0??xn,x?(??,??)；n!??(?1)n?1x2n?1（ii）sinx??,x?(??,??)；

(2n?1)!n?1(?1)nx2n（iii）cosx?,x?(??,??)；

(2n)!n?0???(?1)nxn?1（iv）ln(1?x)??,x?(?1,1]；

n?1n?0???(??1)?(??n?1)n?（v）(1?x)?1??x,x?(?1,1),(??R)；

??n?1n!????11n（vi）?x,x?1；?(?1)nxn,x?1.

1?xn?01?xn?0??6.级数求和

①幂级数求和函数解题程序

（i）求出给定级数的收敛域；

（ii）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看

出其假设和函数s(x)与其导数s?(x)的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数