定积分的概念及性质演示文稿

定积分的概念及性质演示文稿现在是1页\一共有79页\编辑于星期日定积分的概念及性质现在是2页\一共有79页\编辑于星期日第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质

第五章现在是3页\一共有79页\编辑于星期日教学目的与要求：理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点：定积分的概念现在是4页\一共有79页\编辑于星期日一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积现在是5页\一共有79页\编辑于星期日abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）现在是6页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放现在是7页\一共有79页\编辑于星期日曲边梯形如图所示，现在是8页\一共有79页\编辑于星期日曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为现在是9页\一共有79页\编辑于星期日解决步骤小结:1)

分割(大化小)：在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

以直代曲：(常代变)在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得现在是10页\一共有79页\编辑于星期日3)求和(近似和)：.4)取极限.令则曲边梯形面积现在是11页\一共有79页\编辑于星期日元素法1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值

曲边梯形的面积f(i).现在是12页\一共有79页\编辑于星期日元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积.f(i)现在是13页\一共有79页\编辑于星期日元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细..分法越细，越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形的面积f(i)Sab...S

=..现在是14页\一共有79页\编辑于星期日2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．现在是15页\一共有79页\编辑于星期日解决步骤:1)分割(大化小).将它分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变).得n

个小段过的路程为现在是16页\一共有79页\编辑于星期日3)求和(近似和).4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割(大化小),以直代曲(常代变),

求和(近似和),

取极限

”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限现在是17页\一共有79页\编辑于星期日二、定积分的定义1.定义现在是18页\一共有79页\编辑于星期日被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和现在是19页\一共有79页\编辑于星期日注意：现在是20页\一共有79页\编辑于星期日定理1定理22.可积的充分条件:现在是21页\一共有79页\编辑于星期日曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值3、定积分的几何意义各部分面积的代数和现在是22页\一共有79页\编辑于星期日几何意义：现在是23页\一共有79页\编辑于星期日例1利用定义计算定积分解现在是24页\一共有79页\编辑于星期日现在是25页\一共有79页\编辑于星期日[注]

利用得两端分别相加,得即现在是26页\一共有79页\编辑于星期日例2利用定义计算定积分解现在是27页\一共有79页\编辑于星期日现在是28页\一共有79页\编辑于星期日例3.

用定积分表示下列极限:解:现在是29页\一共有79页\编辑于星期日说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)现在是30页\一共有79页\编辑于星期日(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.现在是31页\一共有79页\编辑于星期日证明利用对数的性质得现在是32页\一共有79页\编辑于星期日极限运算与对数运算换序得现在是33页\一共有79页\编辑于星期日故现在是34页\一共有79页\编辑于星期日对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．1、基本内容三、定积分的性质现在是35页\一共有79页\编辑于星期日证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1现在是36页\一共有79页\编辑于星期日证性质2现在是37页\一共有79页\编辑于星期日补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若性质3（定积分对于积分区间具有可加性）则现在是38页\一共有79页\编辑于星期日证性质4性质5现在是39页\一共有79页\编辑于星期日解令于是现在是40页\一共有79页\编辑于星期日性质5的推论：证（1）现在是41页\一共有79页\编辑于星期日证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）现在是42页\一共有79页\编辑于星期日证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6现在是43页\一共有79页\编辑于星期日解现在是44页\一共有79页\编辑于星期日解现在是45页\一共有79页\编辑于星期日现在是46页\一共有79页\编辑于星期日例4.

试证:证:

设则在上,有即故即现在是47页\一共有79页\编辑于星期日证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式现在是48页\一共有79页\编辑于星期日使即积分中值公式的几何解释：现在是49页\一共有79页\编辑于星期日说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因现在是50页\一共有79页\编辑于星期日例5.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度现在是51页\一共有79页\编辑于星期日解由积分中值定理知有使现在是52页\一共有79页\编辑于星期日五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限现在是53页\一共有79页\编辑于星期日3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．现在是54页\一共有79页\编辑于星期日思考题1将和式极限：表示成定积分.现在是55页\一共有79页\编辑于星期日思考题1解答原式现在是56页\一共有79页\编辑于星期日思考题2现在是57页\一共有79页\编辑于星期日思考题2解答例现在是58页\一共有79页\编辑于星期日3.P233题34.P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即现在是59页\一共有79页\编辑于星期日练习题1现在是60页\一共有79页\编辑于星期日现在是61页\一共有79页\编辑于星期日练习题1答案现在是62页\一共有79页\编辑于星期日练习题2现在是63页\一共有79页\编辑于星期日现在是64页\一共有79页\编辑于星期日现在是65页\一共有79页\编辑于星期日练习题2答案现在是66页\一共有79页\编辑于星期日现在是67页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是68页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是69页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是70页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是71页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是72页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是73页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是74页\一共有79页\编辑于星期日观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．现在是75页\一共有79页\编辑于星期日