信号与系统课后习题与解答第七章

5-1分别绘出以下各序列的图形

"=(/(〃)⑵x(〃)=2"(〃)

(3)珈)=(一夕心)(4)x(〃)=(-2)"小)

⑸“…⑹«)‘尸〃(〃)

解

(1)序列x(〃)的图形如图5-1(a)所示。

(2)序列x(〃)的图形如图5-1(b)所示。

(3)序列x(〃)的图形如图5-1(c)所示。

(4)序列x(〃)的图形如图5-1(d)所示。

(5)序列x(〃)的图形如图5-l(e)所示。

(6)序列x(〃)的图形如图5-1⑴所示。

4

o2

x

a^

z

(A(X

—

14

4-f

I6一1

o土

F4o1

n2

12

-2-

8

•

(c)

-<8

X7\

2

1

-

211

f-

48-

T

^3

o234

⑴

图5-

5-2分别绘出以下各序列的图形

(1)x(〃)=nu(n)(2)x(n)=-nu(-n)

(4)x(〃)=(—3)-"〃(〃)

(3)x(n)=2~nu(n)

(5)x(〃)=—(g)"〃(一〃)⑹x(”)=心"%(〃+D

解

(1)序列x(〃)的图形如图5-2(a)所示。

(2)序列x(")的图形如图5-2(b)所示。

(3)序列尤(〃)的图形如图5-2(c)所示。

(4)序列x(”)的图形如图5-2(d)所示。

(5)序列x(〃)的图形如图5-2(e)所示。

(6)序列x(〃)的图形如图5-2(f)所示。

5-3分别绘出以下各序列的图形

(1)x(")=sin(

(2)x(〃)-cos(^--—)

105

(3)M〃)=(?)"sin(竺)

解

(1)序列x(〃)的图形如图5-3(a)所示。

(2)序列x(〃)的图形如图5-3(b)所示。

(3)序列x(〃)的图形如图5-3(c)所示。

x(n)

|.8910111213141516一

023456*1IH181920

(b)

图5-3

5-4判断以下各序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。

(l)x(n)=Asin(—n-—)

78

n

(2)x(n)=eJ(一兀)

8

解

⑴因为397T=手=处1是4-有理数，所以x(”)是周期性的，且周期为14。

w3-3

T

(2)因为2二7r=?QTF=16万为无理数，所以x(〃)是非周期性的。

w£

8

5-5列出图5-4所示系统的差分方程，已知边界条件y(-l)=O。分别求以下

输入序列时的输出y(〃)，并绘出其图形(用逐次迭代方法求)。

图5-4

(1)x(〃)=b(〃)

(2)x(")=M(n)

(3)x(〃)-w(n)-u(n-5)

解：

由图5-4可写出该系统的差分方程为

),(〃)一(〃—l)=x(〃)

即y(〃)=x(〃)+；y(〃-1)

(1)当x(〃)=b(〃)时,

y(0)=5(0)+gy(―1)=1+gx0=1

y⑴=S⑴+b(O)=O+；xl=；

y(2)=b(2)+；y(l)=0+；x；=(；)2

y(〃)=演〃)+；y(〃-1)=(；)"

所以＞(〃)=')"〃(〃)

其图形如图5-5（。）所示

fX^)f兴〃)

1，

1

I，♦

0234n02n

(a)(b)

图5-5

(2)当x(n)=w(n)时，

y(0)=M(0)+ly(-l)=l+1x0=l=^

中

.43-

y⑴=履1)+9(0)=1+；

x1=—=---

32

3-上

114

y(2)=W(2)4--y(l)=14--x-=l

2

13-(1"

y(«)="⑺+-y(n-l)=―--

3-4)"

所以)，(〃)=―--〃(〃)

其图形如图5-5（份所示

(3)当x(")=”(〃)-”(〃一5)时,

3-（；）。

y(O)=〃(O)+gy(-l)=

2

3-

y(l)=M(l)+；y(O)

2

3-铲

y(2)=W(2)+1y(l)

2

3-(；尸

y(3)=〃(3)+；y(2)_____J

2

3-(1)4

y(4)=«(4)+-y(3)I=——Y—

1121121

义5)=0+]义4)=3亏一

>(6)=0+35)=121

121

y(«)(«>5)

3"

311121

所以y(«)=[---(§)"][“(〃)-«(n-5)]+—Z/(H-5)

其图形如图5-5（c）所示

5-6列出图5-6所示系统的差分方程，已知边界条件y(-1)=0并限定当〃<0

时,全部y(〃)=0,若x(〃)=b(〃),求y(n)。比较本题与5-5题相应的结果。

图5-6

解由图5-6可写出该系统的差分方程为

即y(n)=；y(n-1)+x(n-1)

若x(〃)=b(〃)，则有

y(0)=ly(-l)+^(-l)=0+0=0

XD=1y(0)+^(0)=0+1=1

y(2)=1xi)+^(D=|xl+0=1

y(3)=；y⑵+b⑵=；xg+0=(；)2

y(4)=1y⑶+b⑶=1x(l)2+0=(1)3

)，(〃)=9(〃-1)+/〃-1)=((严

所以y(〃)=(；)"T”(n-1)

与题5-5⑴比较，此题中的序列y(〃)的第一个非零值位于〃=1,而题5-5⑴

中的y(n)的第一个非零值位于〃=0o题5-5⑴中的y(〃)向右移一个单位即

可得到此题中的y(〃)。

5-7在题5-5中，若限定当〃>0时，全部)，(〃)=0,以y⑴=0为边界条件,

求当x(〃)=b(〃)时的响应)，(〃)，这时，可以得到一个左边序列，试解释为什

么会出现这种结果。

解题5-5中的差分方程为y(〃)=x(〃)+；y(〃-1)①

若限定当〃>0时，全部y(〃)=0,则迭代时分别令〃=1,0,-1,-2,...。将①改写

为y(〃-l)=3y(〃)-3x(〃)

则有

y(0)=3y(l)-3^(1)=0-0=0

y(-l)=3y(0)-33(0)=0-3=-3

y(-2)=3y(-l)-3^(-1)=-32

y(-3)=3y(—2)-36(-2)=-33

y(n)=-3-n

所以y(〃)=—3—1)

y(〃)是个左边序列。之所以得到一个左边序列，是因为限定了当〃>0

时，y(〃)=0,即y(”)的非零值只可能出现在〃<0的范围内。

5-8列出图5-7所示系统的差分方程，指出其阶次。

图5-7

解图5-7所示系统的差分方程为

%)>(〃)+ay(n-1)=4x(〃)+-1)

此为一阶差分方程。

5-9列出图5-8所示系统的差分方程，指出其阶次。

图5-8

解图5-8所示系统的差分方程为

y(〃)~6y(n-i)-b2y(〃―2)=%/⑺+qx(〃-1)

此为二阶差分方程。

5-10已知描述系统的差分方程表示式为

7

>(〃)=22无(〃一力

r=0

试绘出此离散系统的方框图。如果y(-l)=O,x(〃)=b(〃)，试求y(〃)，指出此时

y(〃)有何特点，这种特点与系统的结构有何关系。

解此离散系统的方框图如图5-9所示

若x(n)=5(〃)，则

7

y(〃)=型必〃-厂)

r=0

即义0)=%，刈=4，y⑵=%，)◎=/

y(4)=b4，y(5)=b5,y(6)=b6,y(7)=b7

图5-9%

而当n<0或〃〉7时，y(〃)=0

此时y(〃)是有限长序列，且在非零值区间内的值为2(〃=(),...,7),即正好是

各前向支路的增益。y(〃)的这一特点确决于系统在结构上只有前向支路，没有反

馈支路的特点。

5-11解差分方程

(1)y(«)-y(n-1)=o,y(0)=1

(2)y(n)-2y(n-1)=0,y(0)=g

(3)y(n)+3y(n-1)=0,y(l)=1

(4)y(n)+|y(n-l)=0,y(0)=1

解⑴特征方程为a--=0

2

求得特征根a=-

2

于是齐次解y(〃)=C・(；)"

因而y(w)=(g)"

(2)特征方程为a-2=0

求得特征根a=2

于是齐次解y(〃)=C・2"

将y(0)=」代入上式，得

22

因而y(”)=(g)・2"=2"T

(3)特征方程为a+3=0

求得特征根a=-3

于是齐次解y(n)=C*(-3)n

将y⑴=1代入上式,得。=-；

因而y(n)=-1.(-3)"=(-3)"-'

(4)特征方程为a+；=0

7

求得特征根«=--

3

于是齐次解y(〃)=C・(-|)"

将y(O)=l代入上式，得C=1

因而y(n)=

5-12解差分方程

(1)y(“)+3y(〃-1)+2y(〃-2)=0,y(-1)=2,y(-2)=1

(2)y(n)+2y(n-1)+y(n-2)=0,y(0)=y(-l)=1

⑶)，(〃)+乂〃-2)=0,)，(0)=1,刈=2

解⑴特征方程为22+3。+2=0

求得特征根%=-1,口2=-2

M

于是齐次解y(〃)=C,(-1)"+C2(-2)

将y(-1)=2,y(-2)=1代入上式，得方程组

—G-1=2

V

6+工=1

解得C,=4,C2=-12

n

因而y(n)=4(-l)-12(-2)"

(2)特征方程为a2+2a+1=0

求得特征根%，2=-1

于是齐次解y(n)=(Cin+C2)(-l)"

将y(-l)=2,y(-2)=l代入上式，得方程组

G=i

'(-G+C2)X(-D=1

解得G=2C=1

因而y(〃)=(2〃+l)(-1)"

⑶特征方程为a2+l=O

求得特征根=j,a2=-j

.〃第_•竺

n

于是齐次解y(〃)=CJ+。2(-/)"=Ge=+C2e

,〃兀、.兀、

=cos(—)+sin(—)

22

将y(O)=l,y⑴=2代入上式，得方程组

C,+g=1

[CJ_CJ=2

解得C,=l-J,C2=1+j

1j,—nn—j.—nn/-.nn-j—

因而y(〃)=/(e2+e2)-j(e2-e2)

,n兀、.,n兀、

=cos(—)+sin(—)

22

5-13解差分方程

y(ti)—ly(n-1)+16y(〃—2)—12y(n-3)=0

y⑴=-l,y(2)=-3,y(3)=-5

解特征方程为a3-7a2+16a-12=0

求得特征根(Z]=3,Q；2,3=2

于是齐次解y(〃)=G・3"+(g〃+G)・2"

将y(l)=-l,y(2)=-3,y(3)=-5代入上式，得方程组

3G+(。2+。3)X2=—1

<9G+4(2。2+G)=-3

27C,+8(3C2+C3)=-5

求得G=l，g=TC=T

因而y(〃)=3"-(〃+1)2"

5-14解差分方程)，(〃)=-5y(〃-1)+”。已知边界条件y(-1)=0。

解特征方程为a+5=0

求得特征根a=-5

于是齐次解y„(n)=C(-5)n

令特解"(")=+。2

将匕,(〃)代入原方程，有

+5[。](〃-1)+=〃

比较上式两边得D",D,=3

636

H

则全解y(n)=yh(«)+y(n)=C(-5)+2

636

将y(-1)=0代入上式，得C=3

36

因而y(〃)=_L[(—5严+6"+5]

36

5-15解差分方程y(n)+2y("-1="-2。已知y(0)=l。

解特征方程为a+2=0

求得特征根a=-2

于是齐次解力(〃)=C(-2)"

令特解力(〃)=。]〃+。2

将匕,(〃)代入原方程，有

z)in+r)2+2D1(几—1)+2Z)0=〃-2

比较上式两边得D,=-,D.=--

39

14

则全解y(n)=yh(〃)+yp(n)=C(一2)〃+-n--

B

将y(。)=1代入上式，得c=—

因而y(〃)=：口3(—2)"+3〃—4]

5-16解差分方程

y(ri)+2y(〃-1)+y(n-2)=3"

已知y(—1)=0,y(0)=0

解特征方程为a2+2a+l=0

求得特征根a,.2=-l

于是齐次解必)=3〃+。2)・(-1)"

令特解匕,(〃)="3"

将九(〃)代入原方程，有

23"+2£>13"T+。［3"-2=3"

9

比较上式两边得D,=-

16

9

wZ,

则全解y(n)=%,(〃)+yp(〃)=(G〃+C2)(-1)+—>3

将丁(-1)=0/(0)=0代入上式，得方程组

91

(―G+C^)x(—1)+—x—=0

<lo3

9

a+—=o

16

39

求得C,=4，C2=-^

4lo

39Q

因而y(n)=(-—w--)(-l)n--3H

41616

5-17解差分方程

y(n)+y(〃-2)=sinn

已知y(-l)=0,y(-2)=0o

解特征方程为a2+1=0

求得特征根%=/,。2=-_/

.nn

n；T

于是齐次解y(〃)=CJ"+C2(-j)=Ge=+C2/

jnjn

令特解yp(n)=D,e+D2e-

将匕,(〃)代入原方程，有

Dein++D,ei(n-2)+=—ein--e-jn

't2'2j2j

比较上式两边得3=—4-=--=/一-=二七

2(1+/2)2/(/+/)4C0S1

je~j

D

22(1+e”)2eJ(e-j+eJ)4cosl

.〃”.nn.j.-j

则全解y(〃)=G/方+C^-；T+二"+」^^初

4cosl4cosl

将》(—1)=0»(—2)=0代入上式，得方程组

乩+'=o

_JG+jc?+

4cosl4cosl

-je~jjej

一4一通+———+———=0

4cosl4cosl

解得Cj=C*2=—-tan1

।.nj[.丝・

y(n)=--tanl(eJy+e'J^)+-^-[ej(n+i)-e-^]

44cosl

InrrI

=——(tan1)cos(——)+--------sin(n+1)

因而222cosl

I1Y\ji

----------[sinncos1+sin1cosn]+—(tan1)cos(——)

2cosl22

1.11,n兀、

=—sin〃+—tan1•cosn+—(ztanl)cost——)

2222

5-18解差分方程y(〃)-y(〃-1)=〃，已知y(-l)=0。

(1)用迭代法逐次求出数值解，归纳一个闭式解答(对于“20)。

(2)分别求齐次解与特解，讨论此题应如何假设特解函数式。

解⑴y(〃)=y(〃-1)+〃

令〃=0,1,2,…，有

Ox1

y(O)=y(-l)+O=O+O=O=不

y⑴=),(O)+l=O+l=l='

2x3

y⑵=y⑴+2=l+2=3=

3x4

y(3)=y(2)+3=3+3=6=

4x5

y(4)=y(3)+4=6+4=10=~Y-

y(〃)=---...(〃zo)

(2)易知齐次解y„(«)=C»(l)fl=C

2

特解应设为yp(n)=D.n+D2n

将匕,(〃)代入原方程，有

+D*-2("-1)2-£),(〃-1)=〃

比较上式两边，得

2

因而y(〃)=C+g/+]

将y(-1)=0代入上式，得C=0

因而y(〃)=g"?+]〃=+1)...(n>0)

5-19如果上题5-18中的方程式改为y(〃)-y(〃-1)=〃3,重复回答上

题所问。

解齐次解依然为力,(〃)=。

432

特解设为y„(«)=£>4«+D3n+D2n+D]n

将人(八)代入原方程，有

4324323

D4n+O3n+Z)2n+D,n-D4(n-1)-D3(H-1)-D2(n-1)-D1(n-1)=»

比较上式两边，得D=-,D,=0

4424

因而全解y(/2)=C+-H4+-n3+-n2

-424

将y(-1)=0代入上式，得C=0

一111

1

3222X

+-n+-H--(«++I

y(〃)=244Z

4n

因而

42

5-20某系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如

果相应于输入为x(〃)=〃(〃)的响应为

y(〃)=[2"+3(5M)+10]w(n)

(1)若系统起始为静止的，试决定此二阶差分方程。

(2)若激励为M1)=2[“(〃)一〃(〃-10)],求响应y(〃)。

解⑴由题意可知，

y(〃)一7y(〃-1)+10y(〃-2)

=%x(〃)+b]X(n-1)+b2x(n-2)

引入算子E,有y"詈**

p

当x(n)=u(n),即x(n)=-----b(〃)时，

E-l

h£2+bE+bE

M")=—0H—t!------2-・------S(〃)

E2-7£+10E-\

%+仇+b4b+2b+b25bo+5bi+-

—2匕0x—2匕—rJb

=—4——+^3——+12---------

b(〃)

E-lE-2E-5

优+咨咨士〃+w

0+"+2”①

、一3124r

文

y(〃)=(2"+3-5"+10)w(n)②

比较式①和②，有

25%+5Z?|+b2=36

<4bo+2，+b2=—3

瓦+b]+%=40

从而b。=14,b1=-85,%=111

因此此二阶差分方程为

y(n)-7y(n-1)+1Oy(M-2)=14x(〃)-85x(〃-1)4-111X(H-2)

(2)由线性时不变系统的特性可知:当输入/(〃)=〃(〃-10)时,输出

为必(〃)=[2"-'0+3-5"-'0+10]u(n-10)

当输入工2(〃)=2“(〃)时,输出为

为(〃)=2y(〃)=2[2"+35+10]«(n)

因此当》(〃)=2[〃(”)—〃(〃-10)]时,输出为

y(n)=2{[2"+35'+—⑵…+3-5,,-10+10]w(n-10)}

5-28以下各序列是系统的单位样值响应力(〃)，试分别讨论各系统的因

果性与稳定性。

(1)b(〃)

(2)b(〃-5)

(3)b(〃+4)

(4)2M(«)

(5)a(3-n)

(6)2"M(7J)

(7)3"〃(-〃)

(8)2"5)]

(9)0.5”“(〃)

(10)0.5,,w(-n)

(11)—w(n)

n

(12)-w(n)

n\

解(1)〃(〃)=3(〃)是因果信号，且满足绝对可和条件，因此该系统既

是因果的，又是稳定的。

(2)〃(〃)=/〃-5)是因果信号，且满足绝对可和条件，因此该系统既

是因果的，又是稳定的。

(3)6(〃)=6(〃+4)是非因果信号，但满足绝对可和条件，因此该系统

非因果的，但稳定的。

(4)〃(〃)=2”(“)是因果信号，但不满足绝对可和条件，因此该系统既

是因果的，但不稳定的。

(5)以〃)=“(3-〃)是左边序列,是非因果信号，且不满足绝对可和条

件，因此该系统既非因果的，又不稳定。

(6)//(〃)=3"〃(-〃)是因果信号，但不满足绝对可和条件，因此该系统

因果，但不稳定。

(7)力(〃)=3"〃(-〃)是左边序列，是非因果信号，但满足绝对可和条件,

因此该系统非因果，但稳定。

(8)/?(〃)=2”[“(〃)-〃(〃-5)]是因果序列，又是有限长序列，有限长序

列必然满足绝对可和条件，因此该系统既是因果的，又是稳定的。

(9)%(〃)=0.5"〃(〃)是因果信号，且满足绝对可和条件,因此该系统既

是因果的，又是稳定的。

(10)")是非因果信号，且不满足绝对可和条件，因此

该系统既是非因果，又不稳定。

\81

(11)力(〃)=—"(")是因果信号，但由于不收敛，即力(")不满足绝

nwo"

对可和条件，因此该系统是因果的，但不稳定。

I»1

(12〃(〃)=—〃(〃)是因果信号，但由于£—不收敛，即无(〃)满足绝对可

n\„=o«!

和条件，因此该系统既是因果的，又是稳定的。

5-29以下每个系统x(〃)表示激励,y(力表示响应。判断每个激励与响

应的关系是否是线性的？是否是时不变的？

(1)y(〃)=2x(“)+3

(2471、

(2)y(〃)=%(〃)sm--n+—

I76；

(3)y(n)=[x(n)]2

(4)y(n)-(加)

解⑴由于♦〃)-必(〃)=2/(〃)+3

x2(n)—>y2(n)=2x2(n)+3

且左内(〃)+攵212(〃)-2加工](〃)+2212(〃)]+3W%]>](〃)+攵2y2(〃)

因此该系统是非线性的。

由于x(n-m)->y(n-m)=2x(〃-m)4-3

因此该系统是时不变的。

2万万)

x](〃)—>y](n)=2x](〃)sin~Tn+~6)

(2)由于I

’2〃71

x(n)—>y(n)=2x(«)sin——nH——

222<76

且

2冗71

k^x^n)+kx(n)-»[kx(n)+Z:JC(H)]sin—n+—

22x122=kxyx(ri)+k2y2(n)

76

因此该系统是线性的。

由于

/、/))/\/、.2"/、冗

x(n-m)tx(n-m)\-n+—Iy(n-m)=x(n-m)sm—

因此该系统是时变的。

(3)由于M(〃)-%(〃)=腐(〃)『

2

x2(n)-»y2(n)=[x2(H)]

2

kxx{(n)+k2x2(n)—>\k}x[(n)+A;2x2(n)]wk]y[(n)+k2y2(n)

因此该系统是非线性的。

由于

x(n-m)—>y(n-m)=[x(n-m)]2

因此该系统是时不变的。

/(")=⑼

(4)由于1

x2(n)y2(n)=^x2(m)

且匕尤］(〃)+攵2%2(〃)~，攵2工2(团)二女1%(〃)+、2y2(〃)因此该

m=-<c/«=-<»

系统是线性的。

由于

“一〃0

x(〃一〃o)f^x(m)=y(n-n0)

m=-<x)

因此该系统是时不变的。

5-23对于线性时不变系统：

(1)已知激励为单位阶跃信号之零状态响应(阶跃响应)是g(〃)，试

求冲激响应力(〃)；

(2)已知冲激响应力(〃)，试求阶跃响应g(〃)。

解(1)由于b(〃)="(〃)一〃(〃-1)

且有线性时不变系统特性可知

〃(〃)-g(〃)，u(n-l)g(n-l)

因此冲激响应力(〃)=g(n)~g(n-l)

00

(2)由于〃(〃)=Z3(〃一小)

"1=0

Q0

且b(〃一加)—>h{n-m),因此阶跃响应g(九)=，h(n-m)

m=0

5-31以下各序列中，x(〃)是系统的激励函数，力(〃)是线性时不变系统

的单位样值响应。分别求出各y(〃)，画出y(〃)图形(用卷积方法)。

(1)%(九),力(〃)见图5-14(a)

h(ri)h(ri)

1111

(2)M〃),力(〃)见图5-14(b)

(3)x(〃)=a",0<a<1;/?(〃)=1”(几),0<(3<1,0手a

(4)x(n)=〃(〃),//(〃)=5(n-2)-5(n—3)

解(1)由图5T4(a)知，x(〃)和力(〃)均为有限长序列，因此可采用

“对位相乘求和”的方法求卷积。

M={121}

{〃(〃)}={