信号与系统课后习题答案详细解析

信号与系统课后习题答案

1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周

期f3fW

O2r4T6TnT

题i-i图

信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

解（a）、（c）、（d）为连续信号；（b）为离散信号；（d）为周期信号；其余为非周

期信号；（a）、（b）、（c）为有始（因果）信号。

1-2给定题1-2图示信号/（,）,试画出下/(O

列信号的波形［提示：/（2t）表示将/（I）波形压缩，

/信）表示将/⑴波形展览］。

（a）2/（，-2）

（b）/（2t）

1题1-2图

T

（d）/（—+1）

解以上各函数的波形如图pl-2所示，

刖-2）

/⑵)/出)/<-*+!)

1-3如题1-3图示，R、Z、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的

简单线性系统S„,SL和S,，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达

式。

解各系统响应与输入的关系可分别表示为

“《（£）=R，i”（t）

=L-&一

"c（，）=Jic（T）dr

1-4如题1-4图示系统由加法器、

•6•

R

-o

+

o_匚-----o

+ui

一

0o

题1-3图

子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程c

题1-4图

解设加法器的输出为工(£),由于

x(t)=/(t)+(-a)y(()

且

y(i)==yO

故有

yz(0=/(t)-ay(f)

即

y，3+ay(t)=/(，)

1-5已知某系统的输入/(t)与输出义㈠)的关系为

y(0=l/(f)I

试判定该系统是否为线性时不变系统？

解设7为系统的运算子，则y(c)可以表示为

>(t)=■/(£)]=1/(i)I

不失一般性，设/(，)=£1)+人(力，则

?"(»)]=l/)(t)f=r)(0

r[/2(z)]=i/2(t)।=/2(，)

故有

r[/(f)]=I/.(O+A(«)1=)(，)

显然

+1/2(oi

即不满足可加性，故为非线性时不变系统，

1-6判断下列方程所表示的系统的性质。

(h)y"⑴+2/(，)+3«)=/'(，)+/Q-2)

(c)+2z/(r)+2y(t)=3/(0

(d)[/(,)『+义(力=/($)

解(a)线性；(b)线性时不变；(c)线性时变；(d)非线性时不变。

1-7试证明方程

/(£)+a-y(t)=f{t}

所描述的系统为线性系统。式中。为常数。

证明不失一般性，设输入有两个分量，且

则有

y；⑺+ay,(t)=/)(«)

/j(t)+ayi(t)=f2(t)

相加得

yf(t)+ayI(0+)2(t)+ay,(o=/,(<)+f1(I)

即

+y2(«)j=/)(«)+/2(t)

可见

_/；(£)+/2(，)fyi(t)十yi(£)

即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。

1-8试证明题1-7的系统满足时不变性。

证明将方程中的［换为£-%,篇为常数、即

/"(t-t0)+ay(Z-i0)=：/(/-Zo)

由链导法则，有

dy(f-“1)_dy(t-/0)t-f0)

dl-d(、£-dT-

又因t0为常数，故

・8•

d（£-狐）

-------T----=J

从而

dy（t-tQ）dy（£一琳）

…—di-=

所以有

"（［玷）+ay（z-t0）=/（/-z0）

即满足时不变性

/（t-%1y（£-%）

1-9试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。

证明设则

-Ai）（时不变性）

又因为

&2■嚼上LA"飞一。）（线性可加性）

所以

lim/⑺"二小二。）

即有

1-10若有线性时不变系统的方程为

y，（t）+ay（'）=/（£）

在非零〃t）作用下其响应y（f）=1-e—,试求方程

y，（£）+ay（f）=2/（t）+f'（l）

的响应°

解因为/a）fya）=i-e—,由线性关系，则

2/（力f2y⑴=2（1-ef

由线性系统的微分特性，有

U（t）fy⑴=e~'

故响应

2/（£）+/'（"《）=2（1-占'）+"

=2-e

2-1如题2-1图所示系统，试以此（£）为输出列出其微分方程。

解由图示，有

.Uc「duc

"=百+cGT

或

iL=///%-«c)dr

故

](%-U)Ur

C=6+3

从而得

+^CU<^（"）"白"，（"）=；ys（£）

2-2如题2-2图电路，已知uc(0.)=2V,i；.(0.)=1A,试求4(0,

uc(0+)和u,c(0.)：：

解由图可列方程

L-TT+凡0+l*c=。

即有

ducI1

77=~取与+个

di/.1Rt.

d?=-TUc~~L1'-

从而可得

咤⑴+(嬴+金鹿")+白(1+筋卬=0

因此

此(0.)=uc(0.)=2V

it(0T)=i£(0.)=1A

zzn\品(。+)“c(。*〉/.

uc(。+)=―E------R©=(1-2)V=-IV

2-3设有二阶系统方程

/(t)+4/(t)+4y(i)=0

在某起始状态下的0.起始值为

y(0+)=l,/(0t)=2

试求零输入响应。

解由特征方程

A2+4A+4=0

♦20•

得Aj=A2="2

则零输入响应形式为

2k

九($〉=(A+A2t)e'

由于

九(0,)=4=1

-2,41+小=2

所以

4?=4

故有

7„(0=(1+4t)e~2',IN。

2-4设有如下函数-t),试分别画出它们的波形.

(a)/(/)=2e(t-1)-2e(z-2)

(b)f(t)~sinxi[e(t)-E(f-6)]

解(a)和(b)的波形如图p2-4所示。

图p2-4

2-5试用阶跃函数的组合表示题2-5图所示信号。

解(a)/(4)=e(t)-2e(t-l)+e(t-2)

(b)/(«)=e(0+e(Z-T)+C(t-2T)

2-6试计算下列结果。

(a)t8(t-1)

(h)「/S(t-l)dt

解(a)^8(t—1)=3(t—1)

(B)rt6(i-l)d£8(-l)d£=1

--yj8(Z)d[

=Lcos(-T)s0)dt=i

(d),(t2+t)3(t-3)dz=0

(e)je~3r8(—/)di二「e_3x8(t)dt二「&£)dc.1

JoJoJo

2-7设有题2-7图示信号/(£),对(a)写出f气£)的表达式，对(b)写出

/”(D的表达式，并分别画出它们的波形。

(a)

题2・7图

解（a）

；，0WtW2

广⑴=-2),t=2

25(t-4),t=4

(b)f"(:)=28(t)-28(<-1)~23(t-3)+28(1-4)

图p2-7

2-8如题2-8图一阶系统，对（a）求冲激响应i和必；对（b）求冲激响应

uc和〃，并画出它们的波形。

题2-8图

解（a）由图有

us(t)—Ri

即

diR.1,、

dt+Tl=TUs0)

当与（：）=式£）,则冲激响应

=：i(£)=-^-e-r*•€(^)

则电压冲激响应

23

A(t)=U/(t)=&.=S(t)-T-'•e(t)

(b)对于RC电路，有方程

八d%.”c

C-dT=l'~~R

即

,11.

"c+RCUc=~Clt

当=3("时,则

h(t)=u(:(^)=下。祝•E(£)

同时，电流

2-9设有一阶系统方程

yz(<)+3y(x)=/'(，)+/⑴

试求其冲激响应从力和阶跃响应3(t)o

解因方程的特征根A=-3,故有

©(2)=e-5,•e(r)

当/(，)=&，)时，则冲激响应

h(t)=gi(t)*[^(f)+8(f)]

=8(t)-2e-3,e(t)

阶跃响应

s(t)=JA(r)dr=-y(1+2e*31)e(t)

2-10某LTI系统的冲激响应如图(a)所示，若输入信号/(f)如图(b)二角

波，试求零状态响应

题2-10图

解本题可用图形扫描法计算卷积，即

-24•

y(i)=h[t)*/(/)

t<0

0wiW1

IwzW2

2WCW3

3WtW4

t>4

0t<0

y。w£<1

一1+2%一#1w1二2

—I+2£-/2w£w3

g—4，+3w£於4

0t>4

2-U如图所示系统，试以此(£)为响应，分别求我(£)和$(£)。

解电路方程为

「皿uc

u(:+5itc=10is(t)

当心⑴=3⑴时，得

5,

uc(t)=h(=103(z)*e~£(I)

=10e"54•e(X)

阶跃响应

s(c)=fr)dr二(2-2e's()e(t)

Jo

2-12如图示含运算放大器的系统，试求其阶跃响应〃o(£)。

解在放大器“，”端节点处到KCL方程

口0-式£)e(x)

cdi+-R2-=~R；

・25.

+

题2-12图

化简为

鳖+康口。=愣+（直+六卜⑴

因特征根A=-嬴，故得

2-13在一阶系统中，设

y'（£）+ay（t）二

若起始状态非零，则完全响应可写为

y（£）=%（。+）€~"+/"（x（r）eordr

Jo

在图示电路中，若以i为响应，试列出其微'

分方程，并求完全响应，验证上式。

解由电路可得

，'（£）+£（£）=（C）

题2-13图

令〃，（，）=0,因〃c（。-）=10V,可得

L（。.）二VR=10A,则有零输入响应

L（£）=fOe：•E（/）A

当输入%（£）=5e（£）时，则有方程

i'（t）+i（£）=51（f）=58（/）

令起始状态为零，则零状态响应为

。（［）=e"*58（i）=e~l*5S（t）

=5e~x•e（/）A

完全响应

i(±)=l0e~x+5e-x=15e"‘♦€(£)A

・26・

注意：i.(0,)=10A,式0*)=15A

2-14试求下列卷积

(a)8(t)*2

(b)e(t+3)*e(«-5)

(c)te~**e(t)*^(i)

解(a)由B(t)的特点，故

3(f)*2=2

(b)按定义

e(t+3)*e(f-5)=Je(r+3)e(t-r-5)dr

考虑到r<-3时，Kr+3)=0;r>£-5时，e(t-T-5)=0,故

r’-s

E(t+3)*e(t-5)=Jdr=t-2,t>2

也可以利用迟延性质计算该卷积。因为

s(t)*e(t)=U(Z)

/1(i-*fi(t-tj)=f(£--tz)

故对本题，有

e(t+3)*e(«-5)=(t+3-5)e(/+3-5)=(t-2)E(l-2)

两种方法结果一致。

(c)te''e(t)*8z(t)slte'^Cr)]7

=(e-<-te~*)e(i)

2-15对图示信号，求力(c)*力(0。

解(a)先借用阶跃信号表示力(，)和/式£),即

/i(t)=2e(t)-2c(t-1)

/j(£)=e(c)—e(t—2)

故

=[2e(t)-2e(t-I)]*[t(4)-e(t-2)]

因为

e(z)*e(t)=JIdr=t)

故有

—一)*/(£)

=2te(i)-2(t-l)e(/-1)-2(t-2)e(t-2)+2(：-3)e(t-3)

读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-15(a)所示。

(b)根据&C)的特点，则

•27•

f对

⑴(1)

110

-爹A°T

(b)

题2-15图

W)

2

(b)

图p2-15

/,(t)*/：(«)=./；(/)*[8(f)+3(t-2)+S(z+2)J

=/()+/,(«-2)+/,(t+2)

结果见图p2-15(b)所示.

2-16试求下列卷积.

(a)⑴*E(I)

(b)

解(a)因为存⑴*e(t)=/(,)=3⑴，故

2,/22,

(1-e-)e(t)*S(I)*e(t)=(1-e-*)e(i)*8(i)=(1-e-)e(：)

(b)因为e-BQ)=3Q),故

e'3，e(f)*^-[e-8(:)]=e-',e(t)*^(t)

=S()-3e”‘

2-17设有二阶系统方程

■28•

/(t)+3/(。+2y⑴=4M(t)

试求零状态响应y(t)o

解囚系统的特征方程为

A3+3A+2=0

解得特征根

A)=—1,^2=-2

故特征函数

-<2<

g2(I)=e"/*e"?'=(e*e')e(t)

零状态响应

-1-2

y(t)=43"(t)*g2(t)=48"(t)*(e*e')e(i)

=(8e'2'_4e-')式彷

2-18如图系统，已知

h,(t)=8(t-1),h2(t)-e(t)

试求系统的冲激响应h(t)„

解由图关系，有

x(t)=/(t)-/(，)*阳(1)=8(f)~5(0*8(r-1)=8(t)-8(t-1)

所以冲激响应

h(.i)=y(t)=x(t)*h2(t)=[8(t)-8(t-!)]*£(t)=£(t)-e(t-1)

即该系统输出一个方波。

2-19如图系统，已知R、=%=10,1=1H,C=1F,试求冲激响应心(力。

解由KCL和KVL,可得电路方程为

题2-19图

.29•

3+慎+华k+住+给)%=.⑺+给⑴

代人数据得

Uc+2«c+2uc=8*(t)+S(t)

特征根

"z=-1±jl

故冲激响应火;(，)为

uc(t)=(e》*e3)*小⑴+Mt)]

=e'1(cost-sint),e(t)V+e-'sini•e(z)V

=e'^cost,e(t)V

2-20若二阶系统在阶跃信号作用下方程为

z

/"(«)+y(/)+a()y(t)=Z>e(t)

特征根为A,和儿，或证明阶跃响应

S(J)=­[1+i----?—(ARA''_A)eAz<)1e(£)

a°L入i一2」

证明系统的特征函数

g2(t)=3-e、')

故阶跃响应

s(£)=g2(«)*te(t)

=、b广(6『-e")*式。

=盘口+北七⑶山-九改小⑴

由于储心=故得证。

2-21设有三阶系统方程

yO，(t)+8/(i)+19/(x)+12y⑴=4/(t)+10/(t)

试求其冲激响应A(x)o

解系统的特征方程

A3+8A2+I9A+12=0

即

•30•

(A+1)(A+3)(A+4)=0

故特征根

A।工-1,42=-3,入3=-4

故特征函数

g3(£)=(e-x*e-3<*e-41)e(t)

故冲激响应

h(t)=gi(t)*14sz(t)+108(c)〕

4t

=(b+_2e-)e(l)

2-22一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入/(，)=£(£)时，全

响应yt(t)=3e・"・£(£)；当输入f(t)=-£(£)时，全响应力(l)=©-"”(£),试

求该系统的冲激响应h(t)c

解因为零状态响应

€(£)->一£(。~*一5(2)

故有

-3

九(1)=ysl(O+s(£)=3e,•£(£)

3i

力Q)=yu(t)-x(i)=e'•e(i)

从而有

7i(£)-%(£)=2sQ)=2e"，e(l)

KP(s(z)=e~3'・E(±)

故冲激响应

A(z)=s'(e)—S(i)—3e~3/•e(£)

3-1求题3-1图示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。

解(a)对于周期锯齿波信号，在周期(0,7)内可表示为

f（t）=-.（£■T）=一f+A

系数

«0=y£/（f）dt=/（-!+A）d,

=4（~fr+"I。=4/2

=0

=竿1。/（，）sinM|fdf二一爷JZsinrkdjtAl+

sinzia>{tdt

2A[cosn/^jt

A

=—

T17C

所以三角级数为

+

/⑴=41白…2

(b)由已知，三角级数的各系数为

=佃=4

T

,2A.

Acosruuytdt==0

0

.T

一.24,2

b、Asin皿/di-------t

na)tI

=—(1-COS/IK)

mt

1—,n=1,3,5,…

=<打几

I。，n=2,4,6,…

所以三角级数为

f(i)=9(sinoujt+-ysinSc^jl+…+t)

(n=1,3,5,…)

3-2求周期冲激序列信号

BT(t)=2S(e-a)

n=-oo

的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？

解冲激串信号的复系数为

T

F'=:『r3(De-g'dt=1

所以

许⑺=yE

f»=-8

因F„为常数，故无收敛性.

3-3设有周期电流

认I)=。。+儿COS皿1t

式中4,为各次谐波的有效值。试证明》(，)的有效值为

I=，a：+4；+用+…+.4：

证明因为

/(?)=aj+2(A]cos2glt+A2cos'2^!1+…+A：ros2rtt)

+2a()4|Cossif+24|Aieosa?1t•cos2<w(t+…

而根据有效值的定义，有

2

[J(c)dz=、/(Q0+£⑰八/Jt)dt

•40・

由于

=a。

2

y|Anco^nwttdt二彳4：

-yzj2a0Aicosaijtd1=0

-yj2AjAjCOsfOjt•cos2<t>jtdt=0

故有

2

/=，a；+出+&+；+An

3-4设有周期电压和电流分别为(周期相同)

B

u(£):UQ+£t/^cosC皿i£+a.)

n=I

8

i(«)=，o+X/MC0S(3/+户*)

试证明平均功率

P=U()/o+2U」“COB外

*=I

式中，a，/“分别为电压和电流的有效值，外=a"-自。

证明因为平均功率

P=弘)d.

而

*%/。丸=UJ.

Z7o/lmCOS(S|£+/?!)dt=0

■「i"Cns(3iC+ai)cos(s"+j3)d/=--Cr„/„(«-4)

1tl11

yjU„,cos(3|t+a,)-cos(2w］，+/?2)dt=0

所以

P=UV1Q+mcosyJ+^-U2Jlnco8(p2+•••

•41

=U0Ia+XU/COSR

11z1

3-5由定义直接计算下列信号的傅里叶变换(频谱函数)。

(a)/(，)=€«〃

(b)/(£)=sincu。£•€(£)(a>0)

解(a)F(jcu)=…&

(b)F'(jw)=j"/(Oe'^d:=J%-a,­-

=gj[/。‘•-e"。'•e'f”]市

1

=-2Lj[I(7Q+j.s1)_jcuq(a+j.co)+.1J

12j(c>o(t)Q

2j(a+je)'+w；(a+js)，+3：

3-6求题3-6图示信号的傅里叶变换。

解3)因为

“、[L，I”<r

/⑴=J不

0,\t\>T

为奇函数，故

尸(joi)=-j21•|~sin3tdf

.2「.

=-J—j[_sin0r—«?rc(>sa>r

re”

=iCOSCUT—Sa(a>r)]

3

或用微分定理求解亦可c

(b)/(，)为奇函数，故

F(ju»)=-j21(-1)sjncwxdz

若用微分-积分定理求解，可先求出了'(，).即

广⑴=8((+r)+8(i-r)-28(t)

所以

f'(t)-%(j&»)=e’3.+ej'-2=2cos3T-2

又因为％(0)=0,故

F{\<»)=^-F,(j<w)=.-(cuscwr-1)

jcuJ3

3-7设/d)为调制信号，其频谱F(ja)如题3-7(b)图所示，88%.为高

频载波，则广播发射的调幅信号工(。可表示为

x(t)=A[1+mf(t)]cosco0t

试求x(c)的频谱，并大致画出其图形。

x(Z)=4cos30t+mAf(t)cosa»01

故其变换

X(j<«)-rr4[8(a>—a>0)+8(tu+a)0)]+

'F[.j(u>—S。〉]+F[j(3+So)]I

式中，尸(2)为〃f)的频谱,，仪,)的频谱图如图p3-7所示。

3-8对于如题3-8图所示的三角波，试求其频谱函数。

解位于原点处的第一个三角波为偶函数，它可以表示为

•43•

题3-8图

月(1-LAI),|/|<r

/«)=，<rf

0,ItI>r

则有

K(joi)=2)4(1—Y-jcoscot<1/

=——(I-COSCOTJ

3~T

由迟延特性，则/（，）的频谱

尸（js）=居（je）+F1（j3）e*°"+F,（js）e"3r

=4岛2傍）（1+广+ef

=ArSa?((1+2cos2a>r)

3-9试求信号/(，)=1+2cost+3cos3t的傅里叶变换。

解因为

I-2芯(3)

2cos£02却6(3-1)+3(如+1)|

3cos3£13TB(3-3)+S(<u+3)]

故有

F(j3)士2KLS(w)+8(3-1)+3(s+l)]+3R6(S-3)+3(s+3)]

・44♦

3-10利用傅氏变换的性质求题3-10图示信号/式。的频谱函数。

题3-10图

解由于九C)的4=2,r=2,故其变换

Fi(jw)=ArSa。(；，)=4Sa2(a»)

根据尺度特性，有

f(•*卜-»2匕(j2s)=8Sa2(2cu)

再由调制定理,得

力⑺=/|(y)cosTTtx>F2(ja>)

F<讪)=；[8Sa2(2s-2x)+8Sa2(2a>+2x)]

=4Sa2(2cu-2K)+4Sa2(2cu+2K)

_sin'(2s)sin.(2s)

(cu-£)2+(3+7t)2

3-11求题3-】l图周期信号的傅里叶变换，并画出频谱图、

|/(0

-5-4-3-2-1012345r

题3-11图

解对于三角波信号，对一个周期内的函数人("，其r=l,从而有

—(js)=4•Sa2(y)

应用周期信号傅里叶变换的关系，得了•)的变换

F(j0>)=2穴£乙虱3一)

季i>2(竽)8(at-nui])

R=-8

8(d)-)

C=-8

如图

3-12设信号的频谱如题3-12图所示，成求其反变换/(«)o

—a*。一劭—tt?o—<WQ+/000G?o+6)|CO

题3-12图

解由反变换的定义

/⑴=3JjaMds=聂:二》•+白8b+3t

A•da»

F力

+

--_e-K«0-!)<+『30+*__

27r(jz)

=2汽(1)12jsin(+叫)]-2jsin((w0-0)，]

2A.24cojsina;,t

二—•coso/nt,Sinai,t二----•-------costdot

nt017rglc

2431c/\

=---baycu/J*cosct/At

7T।

3-13试求题3-13图示信号/")的频谱函数尸63)。

解从位于原点的门函数应用时移特性，则有

产(js)=•

2・

sinG3•e-ry2

0)

1

=汕

=7—(I-e4)

W题3-13图

或者用下法求解