信号与系统习题

例1设一个LT1离散系统的初始状态不为零，当激励为/(〃)=〃(〃)时全响应为

+1〃(〃)，当激励为f(ri)=一〃(〃)时全响应为必(〃)=

2「£|.s

(1)当系统的初始状态保持不变，且激励为人(〃)=4，，(〃)时，求系统的全响应内(“)。

(2)当系统的初始状态增加一倍，且激励为/；(〃)=4“(〃-2)时，求系统的全响应外(〃)。

(3)求该系统的单位序列响应〃(〃)。

解：设系统的初始状态保持不变，当激励为工(〃)="(〃)时系统的零输入响应和零状态响应分别为

匕5)、yf«依题意，有:

,S)="(〃)+J7(〃)+1"(")(b

根据LTI系统的性质，当激励为f2(〃)=-"(〃)时全响应为

②

联立式④、②，可解得:

同样，根据LTI系统的基本性质，不难得到:

(|)当系统的初始状态保持不变，且激励为人(〃)=4”(〃)时，系统的全响应为:

%(")=»(〃)+4〃(〃)

”(〃)+4+1”(〃)

+4〃(〃)

(2)当系统的初始状态增加一倍，且激励为/；(〃)=4〃5—2)时，系统的全响应为:

九(〃)=2”(〃)+4〃(〃-2)

(3)由于5(〃)="(〃)一〃(〃一1),所以该系统的单位序列响应为:

h(n)=yf(n)-yf(n-T)

«(«)-出++1«(«-!)

例2一个irn连续系统对激励/(/)=sintu(t)的零状态响应yf(/)如例2图所示,求该系统的冲激响

应//(，)。

解：依题意，该系统的零状态响应为：

y,(7)=sin/〃(/)*〃⑺

由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应。(/),可以从卷

积运算的性质下手，设法使激励信号中出现5(7),这样就有可能求出

八⑴。

dsintu(t)/、d~sin/w(Z)e/..z.

因为-----------=cos/"(/)----------=5Q)-sin九/Q)

dt,dr

不难发现：

.八d2sinZw(Z)

sin/«(/)+-----厂」=sin/”“)+[3(。-sinZM(/)]=b(/)

dr

从而，一方面，根据卷积分配律：

sintu(t)*h(t)+-----z—*〃(/)

dt-

2

..八t/sinZw(Z)1，/、

=[sin/w(/)H------；一-J*h(t)

dt-

=5(7)*〃(/)

=〃(/)

另•方面，根据卷积的微分性质：

...，/、/sin/”")d'yf(t)

sm%⑺*%(/)+—源--*h(t)=yf(t)+”

故系统的冲激响应为:

2

dyf(t)

〃⑺=〃(。+.

at

其波形如例2解图所示。

例3求卜.面例3图(1)所示系统中的加权系数〃(〃)，以使得该系统与例3图(2)所示的系统等效。

例3图(2)

解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列

响应。

根据例3图(2),可以得到该系统的差分方程为:

y(“)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(〃)+x(〃-1)

设该系统初始状态为零，当激励x(〃)为单位取样信号5(“)时，系统响应y(n)就是单位序列响应瓦(〃),

上述差分方程可以写为：

h0(ri)-5%(〃-1)+67?O(«-2)=S(ri)+8(n-1)

此差分方程的特征方程为：

A2-52+6=0

解之，得特征根：

4=2,4=3

由于激励是单位取样信号3(“)，方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同，即：

%(〃)=(G-2"+G

由于初始状态

%(-1)=4(-2)=0

不难根据差分方程迭代求出n>0的初始条件：

瓦(0)=1力o⑴=6

将它们代入单位序列响应，求得

%(o)=G+《2=1

%⑴=2G+3a=6

C=一3

解之，得《「x，

lG=4

故：%(〃)=(一3-2"+4-3”)”(〃)(D

对于例3图(1)所示系统的响应为：

y(〃)=〃(0)x(〃)+h(\)x(n-1)+...+h(N)x(n-N)+....

00

=>m)

m=0

—x(n)*h(ri)

因为系统的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图(1)所示系统中的各加权系数人(〃)

正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图(1)和图(2)所示的两个系统等效，则图(1)所

示系统的加权系数/7(〃)就应和式a相同，即

A(»)=(-3-2M+4-3n>(H)

从上面分析可以看出，图(1)所示系统实际上是一个卷积器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。

6.3习题精解

1.下列系统中/(・)为激励，y(・)为响应，x(0)为初始状态，试判断它们是否为线性系统。

⑴y(t)=x(0)/(Z)⑵y«)=x(0)3+5/Q)

(3)_y(w)=4x(0)-7|/(w)|(4)y(n)=af(n)+b,其中a、6为常数

解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不

是线性系统。

对于系统(4),如果直接观察y(")〜/(〃)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。但考虑到

令/(〃)=0时，系统响应为常数6,若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统

条件的，故系统(4)是线性系统。

2.下列系统中/(・)和卜/(・)分别表示激励和零状态响应，试判断它们是否为时不变系统。

(1)yf(t)=acos[/(Z)],其中。为常数⑵歹/(〃)=//(〃)，其中，为常数

解：

(1)已知/(/)»力(/)=acos[〃/)],设/；")=/(/一勿)，，>力，则其零状态响应为

yn(/)-tzcos[/；(/)]=67cos[/(/-/(/)J,显然yJA(/)=yf(/-td),故该系统是时不变系统。

(2)已知/(〃)》〃(〃)=af(〃)，设/；(〃)=八〃一〃0),〃>〃o，则其零状态响应为

〃](〃)=妨(〃)=V(〃一〃o),显然力|(〃)=力(〃一〃o),故该系统是时不变系统。

3.下列系统中/(・)和N/G)分别表示激励和零状态响应，试判断系统的因果性。

(1)yz(/)=7/(/)+3(2)〃(/)=『,/(x)dx⑶〃(〃)=3/(〃)+5/(〃一2)

〃

(4)〃(〃)=Z，(i)(5)力(〃)=/(〃+1)(6)yz(/)=/(3z)

z=-oo

解：对于(1)〜(4),由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。

而对于(5),系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。响应在先，激励在后，这在物理

系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。

(6)也是非因果的，因为如果

/(/)=0,t<tQ

则有

〃(/)="3/)=0,/<?

3

可见在区间上</</0上歹/(/)力0,即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。

4.下列系统中/(•)和分别表示激励和零状态响应，试判断系统的稳定性。

⑴〃(〃)=3/(〃)+2/(〃-1)⑵〃(/)=L/(x)dx

解：

(1)显然，无论激励/(〃)是何种形式的序列，只要它是有界的，那么丫/(〃)也是有界的，因果该系统

是稳定的。

(2)若/(/)=〃(/),显然该激励是有界的，但

yf(t)-J»(x)dx=/,/>0

它随时间/无限增长，故该系统是不稳定的。

5.已知系统方程及其对应的初始条件(。+状态)，求系统的零输入响应。

(1)y'\t)+2y\t)+2y(t)=f(t),给定:y(Q+)=Q,/(0+)=2；

⑵y'\t)+2y\t)+y(t)=f(t),给定:y(0+)=1,/(0+)=2；

解：

(1)特征方程为：A,"+2A+2=0,得特征根：Aj=—1+j,4=-1—)

因而，可设零输入响应为:yx(t)=e-'(C]cost+C2sint),/>0

代入初始条件得：

yx(0+)=/(Gcos/+。2sinz)|,=0=C(=0

-/

y/(0+)=[-e''{C}cost+C2sin/)+e(-Clsinr+C2cos/)]|,=0=-C,+C2=2

联立以上两式，解得G=0，。2=2

所以，系统的零输入响应为：片(/)=2/‘sin例⑺

(2)特征方程为：几~+2A+1=0,得特征根：4=丸2=—1

因而，可设零输入响应为：孔(。=(。]/+。2)"‘，z>0

代入初始条件得：

匕。)=©/+。2b1，丸=。2=1

汽'(0+)=[G"'—(G/+)e-1i=G—=2

联立以上两式，解得G=3，。2=1

所以，系统的零输入响应为：yx(t)=(3t+l)e~'u(t)

6.给定系统微分方程、初始状态(0一状态)以及激励信号分别为以卜.三种情况：

(1)y'(t)+2y(f)=/(/).》(0_)=0,/(/)="(/)

⑵y«)+2y(/)=3/«),y(0_)=0,/(/)=〃0)

(3)2y,(/)+3y(/)+4xo=/,(o.xo_)=by(o_)=i,/«)=〃(/)

试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对(1)(2)分别写出其M0+)值，对⑶写出M°+)和尸(°+)

值。

解：

(1)将/“)=”(/)代入方程，由于方程右边没有冲激信号6。)及其导数，所以系统在起始点(从0_

状态到0+状态)没有发生跳变。

从而可知：y(0_)=y(0_)=0

(2)将/(/)="(/)代入方程，由于/'(/)=6。)，即方程右边有冲激信号6(/),所以系统在起始点

(从0_状态到0+状态)会发生跳变。

根据奇异函数匹配法的原理，可设：/(/)=a^(r)+/?«(/),0_4/40+。(注意：这里〃(/)不

代表单位阶跃信号，只是借用它表示Q)在/=0点有一个单位的跳变量。)

从而有：y(Z)=au(t)

代入原方程可得：<?£>(/)+bu(t)+2au(t)=3bQ)

解得：(7=3,b=-6

故y(。+)=^(。一)+4=3

(3)将/(/)=〃(1)代入方程，由于/'”)=6(1),即方程右边有冲激信号6(/),所以系统在起始点

(从0_状态到0+状态)会发生跳变。

根据奇异函数匹配法的原理，可设：y(r)=aS(r)+b3(t)+cw(r),0_</<0+

从而有:y'(t)=aS(t)+bu(t),y(t)=au(t)

代入原方程可得：2a£(J)+2b3⑴+2cu(t)+3ab(/)+3b〃(t)+4m/(/)=b(/)

八L13

解得：a=0,b=—,c=—

24

,3

故：y(0+)=y(0_)+/>=-,y(0+)=y(0_)+a=l

7.给定系统微分方程"'(7)+3了(/)+2>。)=/'(，)+3/Q),若激励信号和初始状态分别为

/«)=〃(/),丁(0_)=1,/(0_)=2,试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由

响应、强迫响应各分量。

解：

(1)求零输入响应匕(/)：

由已知条件有：

匕"⑺+3”()+2匕⑺=0

,»(。+)="(0-)=2

.”(。+)=”(。一)=1

特征方程：+3/1+2=0

特征根为：4=—L九2=-2

2

故可设零输入响应(齐次解)为：yx(/)=(Cte-'+C2e-'),/>0

代入初始条件，并求解得C|=4,C2=-3

故y.x(,)=(46-'-3e~2')«(/)

(2)求零状态y/(7)：

2

依题意，可设齐次解D-+D2e~',/>0,

3

又由于/>0时，/(/)=〃(/)=1,易知5是方程的一个特解。

3

2

故零状态响应为：yf(t)=D}e~'+D2e~'+-,t>0

为了确定待定系数，将/代入原方程，有：

〃"(/)+3"⑺+2yf(?)=河)+3"(/)

根据奇异函数匹配法，当0_</《0+时，可设：夕/(/)=。3(7)+6〃(/),则：

y/(t)=au(t),yf(t)-atu{t}-0

代入方程，平衡两边相同项的系数得。=1,6=0

故为(。+)=力(0一)+。=0+1=1,%(。+)=%(0一)=0

代入表达式，可解得：D,=-2,D,=-

2

i3

2

故yf(t)=(-2e-'+-e-'

(3)全响应M，)=Xr(7)+>>(7)=(2e“一■|"2'+》"(/),其中:

零输入响应为：(4e~)〃(r)

零状态响应为:

白由响应为：(2c'—e")"(/)

2

3八

强迫响应为:TM(Z)

2

8.有系统满足:当激励为f\⑺=〃⑺时,全响应为必(Z)=；当激励为力(Z)=Z>(z)时,

全响应为%(/)=3(/)。

(1)求该系统的零输入响应yx(t｝：

(2)设系统的初始状态保持不变，求其对于激励为力(/)=-5(/)的全响应必⑺。

解：

(1)设当激励为工(/)=〃(/)时，系统的零输入响应为j\(/)、零状态响应为//■(/),则系统全响应

为：

必“)=”(/)+J7«)=2"打⑺d)

系统的初始状态保持不变，根据UTI系统的性质，当激励为人(/)=5(。时全响应为：

%(，)=八4)+〃'(/)=6。)©

联立式④、②，可得：

力(/)-〃(/)=3(/)-2/〃(/)③

又知丁/(0_)=0,用经典法解式③所示的方程，可得yf(t)=e~'u(t)

从而，系统的零输入响应为：

yx⑺=%(0-匕⑺=2e~'u(t)-"5⑺=e~'u(t)

(2)由(1)不难看出，系统的单位冲激响应酬/)=歹/(/)=5(/)—

所以，根据卷积积分法，当激励为右(/)=e-'〃(/)时，零状态响应为：

-,

y(/)=f3(t)*h(t)-"'〃(/)*[b(f)-"'"(7)]=e~'u(t)—te-'u(t)-(l-/)ew(Z)

又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为歹式/)=，

故系统的全响应为：

%⑺=K⑺+%3⑺=+(1-t)e~'u(t)=(2-t)e~'u(t)

9.某ETI系统，无初始储能，在外界激励/(/)=2e-3,w(z)作用下的响应为火/),即

y«)=7[/(/)],乂己知：?[/'(/)]=-3y(/)+e-2,w(Z),求该系统的单位冲激响应〃(7)。

解：依题意，对于初始状态为零的LTI系统，在激励/(/)=2e-3'“(/)作用下的响应为：

-="«)]=%)*〃(/)

则在激励/'(/)=一6"“"⑺+2b(/)作用下的响应为：

y(o=n/'(oi=/'(o*A(o

由于/(/)=一6e』“(/)+25")=-3/(/)+2b«),故有：

y\t)-[-3h(t)+2-(f)]*h(t)=-3A(/)*h(t)+28(t)*h(t)=-3y(Z)+2h(t)

又由已知条件：y\t)=T[/'(r)]=-3y(t)+e~2'u(t),从而得：

-3X0+e-2'u(t)=-3X0+2h⑴

故该系统的单位冲激响应为：

力⑺

10.电路如题10图所示，/<0时，开关位于“I”且已达到稳定状态，t=0时刻,开关自“I”转至“2”。

(1)试从物理概念判断i(0_)、“0_)和“0+)、z'(0+)；

(2)写出/»0+时间内描述系统的微分方程表示，求，(/)的全响应；

(3)写出一个方程式，可在时间-00</<+8内描述系统，根据此式利用奇异函数匹配法判断0一时

刻和0+时刻状态的变化，并与(1)的结果比较。

解：

(I)，=0_时刻，开关位于“1”，电路处于稳定状态，不难得到：

M

wc(0_)=10V,L(0_)=0V,z(O_)=zL(O_)=0

从而可知：i(0_)=i,(0_)=—w(0_)=0

-LL

/=0+时刻，开关自“I”转至“2"，电容电压和电感电流不会突变，故有：

uc(0+)="c(°一)=10V,z(0+)=jJO+)=九(0_)=0

而电感电压要发生变化，有KVL可知：(0+)=20—10=10(V)

1

从而可知：，(()+)=%「(。+)=£〃L(°+)=1°/

综上所述，有：

z(0_)=z'(0_)=z(0+)=0,z(0+)=10A

(2)时，由KVL可知：w(-(/)+L—/(/)+/?/(/)=20z/(Z)

dt

方程两边求导并将i")=代入，可得：

dt

+7?—z(Z)+—z(/)=203(/)

drdtC

由于L=R=C=1,且/NO.时，b(/)=0,所以系统微分方程为：

d2d

dt-dt

]A/3

其特征方程为：+4+1=0,得特征根：2

显然o是方程的一个特解，故全响应可设为：i(t)=KM22+K2e22,/

代入初始条件i(0+)=0,i(0+)=10,解得:

K_10.„_10.

K'=一忑J'忑J

代入上式，并化简，得系统的全响应为:

./、20；，.、/、

i{t}=-=e2sin(—Z>(/)

V32

(3)根据(2),不难得到,在一8</<00时间内，系统微分方程为:

10,Z<0

其中，/«)=<,这可表示为/(z)=10+10i/(z)

20,/>0

代入系统微分方程，得:

根据奇异函数匹配法的原理，可设：/(/)=ab(/)+bu(t),0_</<0+

从而有：z'(Z)=au(t),z(Z)=atu(t)=0

代入原方程可得：”b(/)+bu(t')+an⑴=10b(/)

解得：a=10,Z)=-10

故：z'(0+)=f(0_)+4/=0+10=10,z(0+)=z(0J=0

可见，与(1)的结果一致。

11.设某因果ETI系统输入、输出之间的关系可以用以下方程表示：

歹,⑺+5y(/)=£⑺

其中p⑴="勿⑺+3SQ),求该系统的单位冲激响应〃(/)和阶跃响应s(/)。

解：y'(/)+5y(/)=£/(r)-r)Jr-/(/)=p(Z)*f(?)-f(r)

为了求〃(/),将已知条件pQ)=e''u(t)+3S(t)及了求)=b⑴代入,并化简得:

力'⑺+5〃(/)=eT“⑺+23。)

易知力(0_)=0,用“经典法”可求得系统的单位冲激响应为:

।7

从而进一步可以得到系统的阶跃响应为：

s(/)=rW)"r=4/-二"")〃(/)

J-8544

12.如题12图所示电路，以/(7)为输入，“2(力为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路

的冲激响应和阶跃响应。

1Q

题12图

解：依题意，不难得到电路的微分方程为：

2"：(7)+“2(/)=u's(/)+Us(0

〃,(/)=3(/)作用于系统时，对应得到的系统亦激响应〃(/),从而有：

2”(/)+〃(/)=£(/)+&

特征方程为：22+1=0,得特征根：2=--

2

JI

可设齐次解：4⑺=Ae^(Z>0+)

初始状态：/?(0_)=0

用奇异函数匹配法，设/(/)=a£(Z)+Z?SQ)+c〃(/),0„</<0

财//(Z)-a3(t)+bu(t)

代入方程2"(7)+/?(/)=£(/)+3(/),得：

1

a--

2

<。+26=1

b+2c=0

解得：a=―,h=­,c=--

248

111

2

故A(O+)=/)+/?(OJ=-；即〃(()+)=ZeLo=-,从而有N=a

又因为冲激响应中含有b(/)分量，故所求冲激响应为：

]1

/?(Z)=-^>(Z)+-e2”⑴

进一步可得系统阶跃响应为：

fri11-r

s(7)=[h(T)dT=[[—^(r)+—e2u{r}\dr

j24

111--Z

=-M(Z)+(---e2)M(Z)

1--Z

=〃(/)-—e2〃(/)

13.题13图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统(积分器、单位延时器、倒相器)的冲激响应分

别为:用(?)="(/),2a)=b(fT)，久(。=一5(/)，试求整个系统的冲激响应力⑺。

题13图

解：根据串、并联系统的特点，不难得到整个系统的冲激响应为：

〃⑺=九(。+刈(/)*%(/)*〃3⑺

="(/)+bQ—l)*“(/)*[—6Q)]

—u(z)—u(j—1)

14.已知系统的冲激响应〃(f)=

(1)若激励信号为

=——2)]+俄。-2)

式中尸为常数，试求系统的零状态响应丫/(/)。

(2)若激励信号表示为

/(/)=X。)[〃⑺-u(t-2)]+傥(t-2)

式中x(/)为任意/函数，若要求系统在，〉2的零状态响应为零，试确定/值应等于多少？

解：

(1)依题意，可得：

2-2/

yf(/)=h(t)*/(/)=e-'u(t)*/[“(/)-u(t-2)]+eM(/)*/38[t-2)

=e~2,u(t)*u(t-2)]+/3e~2(1~2)u(t-2)

先计算：e~2'u(t)*e~'u(t)=e~2re~('~r)dr=(e~'-e-2/)w(r)

JO

由卷积积分的性质，可得：

2,2-<,-2)

e~u(t)*eT〃(f-2)=e-*u(t)*[e~-eu(r-2)]

=e-2[e-(,-2)-e-20-2)]w(r-2)

={e~'-e~2,+2)u(t-2)

故有：22,+2优”々)“。一

yf(t)=(e-'-e-'Mt)+(e-'-e-Mt-2)+2)

=(e-,-e~21)〃(/)+(e-,-e~2,+2+/3e~2,+4)u(t-2)

也可以写作：

当时，2

0<f<2yf(t)=e~'-e~'

当时，22

f>2yf(t)=e-'(/3e"+e-1)

(2)依题意，可得：

y,(/)=〃(/)*./,«)=e~2'u(t)*x(?)[w(Z)—u(t—2)]+e~2'u(t)*p8(t-2)

=fe-20~r)M(/-r)x(r)»(r)t/r-£e~2(1~T)u(t-r)x(r)w(r-1)dr

+J3e~2('~2)u(t-2)

=£e-2(,-r)x(r)i/r-»(/)-£e-2(,_r)x(r)i/r-«(/-2)+(3e1(,^u[t-2)

当/时，要即；

>2yf(t)=O,

e~2'£e1Tx(T)dr-e~2'(e2rx(r)dr+/3e~2('~2)-e-2,^£e2rx(T)(7r+4=0

故有：

0=-e~4£e2rx(r)t/r

2

15.-■个乒乓球从方米高处自由下落至地面，每次弹学■的最高高度是前一次最高高度的若以y(〃)

表示第〃次跳起的最高高度，试列出描述此过程的差分方程。若给定力=2,试解此差分方程。

2

解：依题意，可得此差分方程为：y(n)--y(n-l)=O

且y(0)=h9n>0

从而，用“经典法”不难得到方程的解形如：y(n)=C(|)M,n>0

由y(o)=力得c=A,于是有：〃〉o

所以，当人=2时，得y(«)=2(1)n,«>0

16.已知./■(〃"□〃(〃)分别表示LTI离散系统的激励和单位序列响应，试求系统的零状态响应。

(1)以n)=u(n),h(n)=3(〃)-3(〃-3)

/(〃)叫)心),摘)=〃⑺-加5)

(2)

解：

(1)利用“卷积和”求ETI离散系统的零状态响应

歹(〃)=/(〃)*/?(〃)

=u(n)*[3(n)-8(n-3)]

=u(n)*b(〃)-z/(〃)*6{n-3)

=〃(〃)_?/(〃_3)

(2)利用“卷积和”求ED离散系统的零状态响应

y(n)=f(ri)*h(n)

=/?(〃)*/(〃)

=[〃(〃)-W(M-5)1*[(g)"“(〃)]

2

“1

=x〃(吁吗尸--⑼

加=70J

nm

=〃1-£00(51)-

m=0乙m=5乙

\\_7M+1i75-7w+,

=(VK心)F"丁丁"("5)

=(2-2-")w(«)-[2-2=(〃_5)

17.题17图所示的系统由两个级联的un系统组成，它们的单位序列响应分别为〃।(〃)和〃2(〃)。已知

九(〃)=<5(〃)-3(〃-3),〃2(〃)=(。8)"〃(〃)。令/(〃)="(〃)，求y(〃)。

/（〃）——►%S）-A425）-A歹（〃）

题17图

解：

方法1：y（〃）=［］（〃）*%（〃）］*/?2（〃）

={〃(〃)*[8(h)—8(n-3)]}*[(0.8)ww(w)]

二[W(H)-u(n-3)]*[(0.8)n〃(〃)]

88

=Z(0.8),Mw(w)w(w-m)-Z(0-8),Hu[m}u{n-m-3)

/n=—oozw=-oo

nw-3

=Z()8"〃(〃)—Z08"〃(〃—3)

m=0m=0

l-(0.8)w+1,、l-0.81,-2,.、

u(n)---------u(n-3)

1-0.81-0.8

=5((1-0.8"+,)〃(〃)-(1-0.8"2)“(〃_3)]

方法2：y(n)=/(»)*[/?](n)*/t2(n)]

=u(n)*{[8(n)—8(n—3)]*(0.8)"M(H)}

=〃(〃)*[0.8""(”)-0.8"-3"(〃_3)]

0000

=Z08"〃(加)〃(〃一团)一>>二)0.8"-〃T〃(〃一团一3)

m=-<x>w=­oc

=£08""(〃)一£0.8"'"-3〃("-3)

m=0m=0

(….8，Tld^“(”3)

1-0.81-0.8-'

=5[(1-0.8川)〃(〃)-(1-OB”")〃(〃-3)]

is.已知un离散系统模拟框图如题18图所示。

/(«)

题18图

（1）列出系统的差分方程。

（2）求出它的单位序列响应和阶跃响应。

(3)已知激励/(〃)=3"〃(〃)，求该系统的零状态响应。

解：

(I)根据上图列出差分方程：

y(〃)=3y(〃-1)-2y(n-2)+f(n)+/(w-1)

整理后得到：

y(«)-3y(n-1)+2y(n-2)=f(n)+f(n-1)

(2)单位序列响应//(〃)满足

J/?(/?)-3h(n-1)+2h(n-2)=b(〃)+3(n-1)

//(—I)=/?(—2)=0

由迭代法，可得初始条件：

/?(0)=3/?(-1)-2//(-2)+J(0)+5(—1)=0-0+1+0=1

/?(1)=36(0)-2//(-1)+5(1)+J(0)=3-0+0+1=4

特征方程为：22-32+2=0

特征根为：4=1,4=2

可设单位序列响应为：h(n)-(C]+C2-2”)”(〃)

将初始条件代入，得

例o)=G+c,=1fG=—2

(12，解之，得《1

为⑴=G+2c2=4[C2=3

从而得系统的单位序列响应为

h(n)=(-2+3•2”)〃(〃)

进•步得系统的阶跃响应为

s(〃)=£〃4)=£(-2+3。2')〃4)=£(-2+32)=(-2〃+2""-1)"⑺

/=-ooj=-oo?=0

(3)激励为/(〃)=3"〃(力)，系统的零状态响应为：

yf(/)=/(〃)*h(n)—3"u(n)*(-2+3•2”)〃(〃)=(1-6•2"+6•3")〃(〃)

第七章

例1已知一个连续LTI系统可用如2+2y。)=/(/)描述，利用傅里叶变换求下列输入信号作用下的输

dt

出阿:

(1)f(t)=e~'u(t)(2)/(1)="(/)

解：对微分方程求傅里叶变换，得:

jCY(jC)+2y(./0)=F(JQ)

频率响应为:

1

Hg=Yg)

F(jC)2+加

(1)输入/(7)=e~'u(t)，其傅里叶变换为F(jC)=]+:

丫(阳)=/(/。)”(阳)=:二1

1+.102+jQ

求其反变换可得y")=(1'-e_2,)w(r)。

(2)输入/(/)=〃(/)，其傅里叶变换为/(/0)=万5(0)+二一，

jC

I1I1)11

Y(jC)=F(jC)H(jC)=痴(0)+)-7i8/?+-

,0」2+jil21_Iji2JJ22+ji2

1力

求其反变换可得=-(l-e-2/)w(/)o

例2如例2图所示的电路，若激励电压源UsQ)为单位阶跃信号〃(力，求电容电压。,的零状态响

应。

例2图

解：电路的频率响应函数为:

11

=0=正

U.gR+1图+,a+jQ

jQCRC

式中，a=—!。单位阶跃信号〃(/)的傅里叶变换为：

RC

。,(/。)=超(0)+工

jQ

可得零状态响应u//)的频谱函数为:

a乃5(。)+」-anfa

Ue(./0)=H(jQ)Us(jC)=——------3e(z12)+-----------

a+/02a+jQjC(a+jC)

考虑到冲激函数的取样性质，得:

4g=刖0)+方入

取上式的傅里叶反变换,得输出电压

4")=；+(Sgn(Z)一1"〃(/)=(1一e")〃⑺

式中，a二」一

RC

2-70〃

例3某LTI系统的频率响应为4(/0)=——--,若系统输入为/(/)=C0S(2/),求该系统的输出

2+jil

y(t)o

解：因为E(〃2)=乃E(0+2)+S(0—2)],所以系统的输出N(/)的傅里叶变换Y(J0)为:

y(/0)=H(jC)F(jC)=2一〃.乃做0+2)+3g-2)]=/1忸(0+2)+3(0-2)]

2+J0

得输出为y(/)=sinIt。

例4已知某•理想低通滤波器的频率响应为"(JQ)=G24O(0)，若输入信号为

/(/)=20COS(100/)COS2(104/),求输出y(7)。

解：对输入信号进行化简，得：

/(Z)=10cos(100/)+5cos(l00+2X104)Z+5COS(2xlO4-100)/

即输入信号包含了三个频率成分：0°=1°。，01=100+2x104以及。2=2x1O'—100。由于

系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让。0=100的频率分量通过，而。1和R无法

通过，故y(E)=lOcos(lOOf)。

例5已知系统框图如例5图所示，其中G](/)为门函数，子系统的单位冲激响应为:

.3万

sin——t

%(/)=%(/):——

n--<r>7lt

系统输入为

e(f)=cosm(-oo</<+oo)0

(1)求子系统输出的傅里叶变换;

/、1k7i

(2)证明口(f)傅里叶系数为=........-cos——；

兀(1—k~)2

(3)求系统的稳态响应。

解：(1)©(/)=[(/)・G|(7)]*九(/),

因为e(()3E(JC)=疝3(0-%)+b(0+左)],G,(/)<->

C—7T+S”改

2【2

再由时域卷积定理可得:

C—71/2+乃