高中数学必修知识点总结及题型

高中数学必修知识点总结及题型高中数学讲义必修一第一章复习

学问点一

集合的概念

1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．

2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．

3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为

.

学问点二

集合与元素的关系

1．属于：假如a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.

2．不属于：假如a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.

学问点三

集合的特性及分类

1．集合元素的特性

_______、________、________.

2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．

3．常用数集及符号表示

名称

非负整数集(自然数集)

整数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

学问点四

集合的表示方法

1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法

2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．

学问点五

集合与集合的关系

1．子集与真子集

定义

符号语言

图形语言

(Venn图)

子集

假如集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

________(或________)

真子集

假如集合A?B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集

________(或________)

2.子集的性质

(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)假如A?B，B?C，则________．(4)假如AB，BC，则________．

3．集合相等

定义

符号语言

图形图言

(Venn图)

集合相等

假如集合A是集合B的子集(A?B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等

A＝B

学问点六

集合的运算

1．交集

自然语言

符号语言

图形语言

由___________________

_____________________

组成的集合，称为A与B的交集

A∩B＝_________

2．并集

自然语言

符号语言

图形语言

由_________________

_________________组成的集合，称为A与B的并集

A∪B＝_______________

3.交集与并集的性质

交集的运算性质

并集的运算性质

A∩B＝________

A∪B＝________

A∩A＝________

A∪A＝________

A∩?＝________

A∪?＝________

A?B?A∩B＝________

A?B?A∪B＝________

4.全集

在讨论集合与集合之间的关系时，假如一个集合含有我们所讨论问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．

5．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中__________的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________

符号语言

?UA＝________________

图形语言

典例精讲

题型一

推断能否构成集合

1．在“①高一数学中的难题；②全部的正三角形；③方程*2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是

。

题型二

验证元素是否是集合的元素

1、

已知集合，推断3是不是集合A的元素。

2、集合A是由形如的数构成的，推断是不是集合A中的元素.

题型三*

求集合

1．方程组的解集是(

)

A.

B．{*，y|*＝3且y＝－7}

C．{3，－7}

D．{(*，y)|*＝3且y＝－7}

2．以下六种表示法：①{*＝－1，y＝2}；②{(*，y)|*＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(*，y)|*＝－1或y＝2}．

能表示方程组的解集的是(

)

A．①②③④⑤⑥

B．②③④⑤

C．②⑤D．②⑤⑥

题型四*

利用集合中元素的性质求参数

1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC肯定不是(

)

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

3.已知P＝{*|2＜*＜k，*∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.

4.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(

)

A．2

B．3

C．0或3

D．0或2或3

题型五*

推断集合间的关系

1、设,，则M与N的关系正确的选项是（

）

A.

M=N

B.

C.

D.以上都不对

2．推断以下集合间的关系：

(1)A＝{*|*－3＞2}，B＝{*|2*－5≥0}；

(2)A＝{*∈Z|－1≤*3}，则M∪N＝(

)

A．{*|*>－3}

B．{*|－30}，则S∩T＝(

)

A．[2,3]

B．(－∞，2]∪[3，＋∞)

C．[3，＋∞)D．(0,2]∪[3，＋∞)

5．以下关系式中，正确的个数为(

)

①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.

A．4

B．3

C．2D．1

6．

(2023·唐山一中月考试题)已知全集U＝{*|*≤4}，集合A＝{*|－2a}

{*|*≤a}

{*|*f(*2)，那么就说函数f(*)在区间D上是减函数．

2．函数的单调性：若函数f(*)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(*)的单调区间．

3．单调性的常见结论：若函数f(*)，g(*)均为增(减)函数，则f(*)＋g(*)仍为增(减)函数；若函数f(*)为增(减)函数，则－f(*)为减(增)函数；若函数f(*)为增(减)函数，且f(*)>0，则为减(增)函数．

学问点八

函数的最大值、最小值

最值

类别

最大值

最小值

条件

设函数y＝f(*)的定义域为I，假如存在实数M满意

(1)对于任意的*∈I，都有__________

(2)存在*0∈I，使得______________

(1)对于任意的*∈I，都有________

(2)存在*0∈I，使得________

结论

M是函数y＝f(*)的最大值

M是函数y＝f(*)的最小值

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．

学问点九

函数的奇偶性

1．函数奇偶性的概念

偶函数

奇函数

条件

对于函数f(*)的定义域内任意一个*，都有

f(－*)＝f(*)

f(－*)＝－f(*)

结论

函数f(*)是偶函数

函数f(*)是奇函数

2.性质

(1)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(*)=0

(2)奇函数在对称的区间上单调性一样，偶函数在对称的区间上单调性相反．

(3)在定义域的公共局部内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．

学问点十

函数的周期性

若存在非零常数T，对定义域内任意*，都有，称这样的函数为周期函数，T叫函数的一个周期。

典例精讲

题型一**

函数的定义域

1

函数f(*)＝ln(*－3)的定义域为(

)

A．{*|*>－3}

B．{*|*>0}

C．{*|*>3}D．{*|*≥3}

2．函数f(*)＝＋的定义域为(

)

A．(－3,0]

B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪(－3,0]

D．(－∞，－3)∪(－3,1]

3.函数的定义域为（

）

A．

B．

C．

D．

4.已知函数f(*)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是（

）

A.00,f(*)=*2+*,求f(*)解析式

3、

设是奇函数，是偶函数，并且，求。

题型六*

函数的值域与最值

1、函数

，的值域为

．

2、求函数

的最大值和最小值。

3、求函数

的最大值和最小值。

题型七**

函数性质的考察

1、

写出函数的单调递减区间

2、设二次函数f(*)=*2-(2a+1)*+3

(1)若函数f(*)的单调增区间为，则实数a的值__________；

(2)若函数f(*)在区间内是增函数，则实数a的范围__________。

3、定义在上的奇函数，则常数____,_____

4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．

5、函数的图像（

）

A.关于原点对称

B.关于主线对称

C

.关于轴对称

D.关于直线对称

6、函数的图象（

）

A.

关于原点对称

B.

关于直线y=*对称

C.

关于*轴对称

D.

关于y轴对称

7、定义在R上的奇函数，满意,且在区间[0,2]上是增函数,则（）

A.

B.

C.

D.

8、已知偶函数在区间单调增加，则满意＜的*

取值范围(

)

（A）（，）

B.［，）

C.（，）

D.［，）

9、定义在R上的偶函数满意：对任意的，有.则

(

)

(A)

B.

C.

D.

10、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是

(

)

A.0

B.

C.1

D.

11、已知定义在R上的奇函数，满意,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(*)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则

12、已知函数f(*)＝的图象经过点(1,3)，并且g(*)＝*f(*)是偶函数．

(1)求函数中a、b的值；

(2)推断函数g(*)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．

根本初等函数、方程的根与函数的零点

学问点一

指数函数

（1）

根式的概念：

假如，且，那么叫做的次方根．

（2）

分数指数幂的概念：

①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．

（3）

运算性质：

①

②

③

（4）指数函数

函数名称

指数函数

定义

0

1

0

1

函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化状况

变化对图象的影响

在第一象限内，越大图象越高；在其次象限内，越大图象越低．

学问点二

对数函数

（1）

对数的定义：

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：

．

（2）几个重要的对数恒等式：，，．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质

假如，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤

⑥换底公式：

（5）对数函数

函数

名称

对数函数

定义

函数且叫做对数函数

图象

0

1

0

1

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化状况

变化对图象的影响

在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．

学问点三

幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

学问点四

函数与方程

1、函数零点的定义

（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。

（2）方程有实根函数的图像与*轴有交点函数有零点。因此推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点

（3）变号零点与不变号零点

①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。

②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。

③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：假如函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法

①

代数法：函数的零点的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

有2个零点有两个不等实根；

有1个零点有两个相等实根；

无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进展确定.

1、

二分法

（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

①

确定区间,验证,给定准确度;

②求区间的中点;

③计算;

(ⅰ)若,则就是函数的零点;

(ⅱ)

若,则令(此时零点);

(ⅲ)

若,则令(此时零点);

④推断是否到达准确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.

典例精讲

题型一*

有关幂函数定义及性质

1、函数是一个反比例函数，则m=

.

2、在函数①y=*3

②y=*2

③y=*-1

④y=中，定义域和值域一样的是

.

3、

将，，按从小到大进展排列为________

题型二**

指数函数及其性质

1、函数且的图像必经过点

2、

比拟以下各组数值的大小：

（1）

；

（2）

；

3、函数的递减区间为

；值域是

4、设，求函数的最大值和最小值。

5、设都是不等于的正数，

在同一坐标系中的图像如下图，则的大小挨次是

A

B

C

D

题型三*

指数函数的运算

1、计算的结果是（）

A、B、C、—

D、—

2、等于（）

A、

B、C、

D、

3、若，则=

。

题型四*

对数运算

1、求值

；

2、已知，那么用表示是（）

A、

B、

C、

D、

3、已知，那么等于（）

A、B、C、D、

题型五**

对数函数及其性质

1、指数函数

且的反函数为

；它的值域是

2、已知，则

(

)

3、

，，，的大小关系是

4、已知＜0

，（＞0，≠1），则的取值范围是

.

5、函数

（＞0，且≠1）的图像必经过点

6、已知y=loga(2－a*)在[0，1]上是关于*的减函数，则a的取值范围是

（

）

A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．

题型六**

零点区间的推断

1、函数

f(*)＝2*＋3*的零点所在的一个区间是（

）

A、(－2，－1)

B、(－1,0)

C、(0,1)

D、(1,2)

2、函数f(*)=log2*+2*-1的零点必落在区间

（

）

A、B、C、D、(1,2)

3、设，则在以下区间中，使函数有零点的区间是（

）

A、[0,1]

B、[1,2]

4、在以下区间中，函数的零点所在的区间为

（

）

A、

B、

C、

D、

5、若是方程的解，则属于区间

（

）

A、

B、

C、

D、

题型七**

零点个数的推断

1、方程的实数解的个数为

.

2、函数的零点个数为

.

3、函数在区间[0,4]上的零点个数为

（

）

A、4

B、5C、6

D、7

4、函数在内

（

）

A、没有零点

B、有且仅有一个零点

C、有且仅有两个零点

D、有无穷多个零点

5、函数，

零点个数为

（

）

A、3

B、2

C、1

D、0

6、若函数

(且)有两个零点，则实数的取值范围是

.

7、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是（

）

A、

B、

C、

D、

题型八*

二分法求函数零点

1、以下函数中能用二分法求零点的是

（

）

2、以下函数图象与*轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是

（

）

3、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区（

）

A、

B、

C、

D、不能确定

4、用二分法讨论函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点

，其次次应计算

.

以上横线上应填的内容为

（

）

A、（0，0.5），

B、（0，1），

C、（0.5，1），

D、（0，0.5），

5、若函数的一个正数零点四周的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f

(1)

=

－2

f

(1.5)

=

0.625

f

(1.25)

=

－0.984

f

(1.375)

=

－0.260

f

(1.4375)

=

0.162

f

(1.40625)

=

－0.054

那么方程的一个近似根（准确到0.1）为（

）

A、1.2

B、1.3

C、1.4

D、1.5

19

篇2：抛物线高考数学学问点总结高考数学真题复习

9.7

抛物线

2023高考会这样考

1.考察抛物线的定义、标准方程；2.考察抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考察直线与抛物线的位置关系．

复习备考要这样做

1.娴熟把握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能依据抛物线的方程讨论抛物线的几何性质；3.把握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．

1．

抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．

抛物线的标准方程与几何性质

标准

方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

*2＝2py(p>0)

*2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴

y＝0

*＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

*＝－

*＝

y＝－

y＝

范围

*≥0，y∈R

*≤0，y∈R

y≥0，*∈R

y≤0，*∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

[难点正本

疑点清源]

1．

抛物线的定义

抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．

2．

抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题特别有益．

3．

求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．

1．

动圆过点(1,0)，且与直线*＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．

答案

y2＝4*

解析

设动圆的圆心坐标为(*，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线*＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4*.

2．

若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．

答案

解析

由于椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，

则p＝4.

3．

(2023·重庆)过抛物线y2＝2*的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|0)，则M到焦点的距离为*M＋＝2＋＝3，

∴p＝2，∴y2＝4*.∴y＝4×2＝8，

∴|OM|＝＝＝2.

5．

设抛物线y2＝8*的准线与*轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

(

)

A.

B．[－2,2]

C．[－1,1]

D．[－4,4]

答案

C

解析

Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(*＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2*2＋(4k2－8)*＋4k2＝0，

由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，

解得－1≤k≤1.

题型一

抛物线的定义及应用

例1

已知抛物线y2＝2*的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．

思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．

解

将*＝3代入抛物线方程

y2＝2*，得y＝±.

∵>2，∴A在抛物线内部，如图．

设抛物线上点P到准线l：*＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2*，得*＝2，∴点P的坐标为(2,2)．

探究提高

与抛物线有关的最值问题，一般状况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的敏捷性，因此此类问题也有肯定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

(2023·辽宁)已知F是抛物线y2＝*的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(

)

A.

B．1

C.

D.

答案

C

解析

∵|AF|＋|BF|＝*A＋*B＋＝3，

∴*A＋*B＝.

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

题型二

抛物线的标准方程和几何性质

例2

抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆*2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．

思维启迪：首先确定方程的形式，依据条件列方程确定方程中的系数．

解

由题意，抛物线方程为*2＝2ay

(a≠0)．

设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，

则|MA|＝|AN|，而|AN|＝.

∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)．

∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，

故抛物线的方程为*2＝y或*2＝－y.

抛物线*2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.

抛物线*2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.

探究提高

(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．

(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是推断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

如图，已知抛物线y2＝2px

(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．

解

设直线OA的方程为y＝k*，k≠0，则直线OB的方程为

y＝－*，

由得*＝0或*＝.

∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，

由|OA|＝1，|OB|＝8，

可得

②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.

则p2＝＝.

又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝*.

题型三

直线与抛物线的位置关系

例3

(2023·江西)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(*1，y1)，B(*2，y2)(*10时参数范围(或指出直线过曲线内一点)

第三步：建立关于所求问题的目标函数；

第四步：最值问题常结合函数单调性或根本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；

第五步：反思回忆，有无忽视特别状况．

温馨提示

解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要留意以下几点：

(1)理解数形结合思想，把握解决此类问题的一般方法；

(2)不要忽视对Δ>0的限制或验证；

(3)涉及平面对量运算时，要留意垂直、中点等几何性质的应用；

(4)最值范围问题，要确定目标函数；探究性问题要先假设存在，然后推理求解．

方法与技巧

1．

仔细区分四种形式的标准方程

(1)区分y＝a*2与y2＝2px

(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进展分类争论，标准方程有时可设为y2＝m*或*2＝my(m≠0)．

2．

抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px

(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(*1，y1)，

B(*2，y2)，则：

(1)y1y2＝－p2，*1*2＝；

(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；

(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.

失误与防范

1．

求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要推断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．

2．

留意应用抛物线的定义解决问题．

A组

专项根底训练

(时间：35分钟，总分值：57分)

一、选择题(每题5分，共20分)

1．

抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是

(

)

A．*2＝4y

B．*2＝－4y

C．y2＝－12*

D．*2＝－12y

答案

D

解析

由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为*2＝12y或*2＝－12y.

2．

已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(

)

A．18

B．24

C．36

D．48

答案

C

解析

不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为*＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为*＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.

3．

设抛物线y2＝8*的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－，那么|PF|等于

(

)

A．4

B．8

C．8

D．16

答案

B

解析

设P，则A(－2，y)，

由kAF＝－，即＝－，

得y＝4，

|PF|＝|PA|＝＋2＝8.

4．

从抛物线y2＝4*上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为

(

)

A．5

B．10

C．20

D.

答案

B

解析

由抛物线方程y2＝4*易得抛物线的准线l的方程为*＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4*，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.

二、填空题(每题5分，共15分)

5．

若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_______．

答案

*2＝12y

解析

由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为*2＝12y.

6．

已知抛物线y2＝4*上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标*＝________.

答案

解析

抛物线y2＝4*的焦点为F(1,0)，准线为*＝－1.依据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.

7．

设P是曲线y2＝4*上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线*＝－1的距离之和的最小值为______．

答案

解析

∵抛物线的顶点为O(0,0)，

p＝2，∴准线方程为*＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线*＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.

如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，

此时|BF|＝＝.

三、解答题(共22分)

8．

(10分)抛物线的顶点在原点，以*轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

解

如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px

(p>0)，

则直线方程为y＝－*＋p.

设直线交抛物线于A(*1，y1)、B(*2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝*1＋＋*2＋，

即*1＋＋*2＋＝8.①

又A(*1，y1)、B(*2，y2)是抛物线和直线的交点，

由消去y得*2－3px＋＝0.

∴*1＋*2＝3p.

将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4*.

当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4*.

综上，抛物线的方程为y2＝±4*.

9．

(12分)已知定点A(1,0)和直线*＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满意∥，∥(其中O为坐标原点)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为________．

答案

解析

由抛物线定义可知|BM|＝|BF|，又由平面几何学问得|BM|＝|BA|，所以点B为AF的中点，又B在抛物线上，所以12＝2p×，即p2＝2，又p>0，故p＝.

6．

设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px

(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与*轴正向的夹角为60°，则||＝________.

答案

p

解析

过A作AD垂直于*轴于点D，令|FD|＝m，

则|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝p.

∴||＝

＝p.

三、解答题

7．

(13分)已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和*轴上运动，并且满意·＝0，＝，

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满意·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解

(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(*，y)；

则＝(－8，b)，＝(*，y－b)，

＝(c，－b)，＝(*－c，y)．

∴·＝－8*＋b(y－b)＝0.①

由＝，得

∴b＝－y代入①得y2＝－4*.

∴动点P的轨迹方程为y2＝－4*.

(2)当直线l的斜率不存在时，*＝8与抛物线没有交点，不合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：y＝k(*－8)．

设M(*1，y1)，N(*2，y2)，

则＝(*1＋1，y1)，＝(*2＋1，y2)，

由·＝97，

得(*1＋1)(*2＋1)＋y1y2＝97.

即*1*2＋*1＋*2＋1＋k2(*1－8)(*2－8)＝97，

∴(1＋k2)*1*2＋(1－8k2)(*1＋*2)＋1＋64k2＝97.②

将y＝k(*－8)代入y2＝－4*

得k2*2＋(4－16k2)*＋64k2＝0.

∵直线l与y2＝－4*交于不同的两点，

∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2>0，

即－F外；③在某一方向上的合力为零。

动量守恒的应用：核反响过程，反冲、碰撞

应用公式留意：①设定正方向；②速度要相对同一参考系，一般都是对地的速度

③列方程：或△P1＝－△P2

17.

碰撞：

碰撞过程能否发生依据（遵循动量守恒及能量关系E前≥E后）

完全弹性碰撞：钢球m1以速度v与静止的钢球m2发生弹性正碰，

碰后速度：

碰撞过程能量损失：零

完全非弹性碰撞：

质量为m的弹丸以初速度v射入质量为M的冲击摆内穿击过程能量损失：E损＝mv2/2－（M＋m）v22/2，mv

＝

（m＋M）v2，（M＋m）v22/2＝（M＋m）

gh

碰撞过程能量损失：

非完全弹性碰撞：质量为m的弹丸射穿质量为M的冲击摆，子弹射穿前后的速度分别为和。

18.

功能关系，能量守恒

功W＝FScosα

，F:恒力（N）

S:位移（m）

α:F、S间的夹角

机械能守恒条件：只有重力（或弹簧弹力）做功，受其它力但不做功

应用公式留意：

①选取零参考平面；

②多个物体组成系统机械能守恒；

③列方程：或

摩擦力做功的特点：

①摩擦力对某一物体来说，可做正功、负功或不做功；

②f静做功机械能转移，没有内能产生；

③Q＝f滑

·Δs

（Δs为物体间相对距离）

动能定理：合力对物体做正功,物体的动能增加

方法：抓过程（分析做功状况），抓状态（分析动能转变量）

留意：在复合场中或求变力做功时用得较多

能量守恒：△E减＝△E增

（电势能、重力势能、动能、内能、弹性势能）在电磁感应现象中分析电热时，通常可用动能定理或能量守恒的方法。

19.

牛顿运动定律：运用运动和力的观点分析问题是一个根本方法。

（1）圆周运动中的应用：

a.

绳杆轨（管）管，竖直面上最“高、低”点，F向（临界条件）

b.

人造卫星、天体运动，F引＝F向（同步卫星）

c.

带电粒子在匀强磁场中，f洛＝F向

（2）处理连接体问题——隔离法、整体法

（3）超、失重，a↓失，a↑超

（只看加速度方向）

20.

库仑定律：公式：

条件：两个点电荷，在真空中

21.

电场的描述：

电场强度公式及适用条件：

①（普适式）

②（点电荷），r——点电荷Q到该点的距离

③（匀强电场），d——两点沿电场线方向上的投影距离

电场线的特点与场强的关系与电势的关系：

①电场线的某点的切线方向即是该点的电场强度的方向；

②电场线的疏密表示场强的大小，电场线密处电场强度大；

③起于正电荷，终止于负电荷，电场线不行能相交。

④沿电场线方向电势必定降低

等势面特点：

要留意点电荷等势面的特点（同心圆），以及等量同号、等量异号电荷的电场线及等势面的特点。

①在同一等势面上任意两点之间移动电荷时，电场力的功为零；

②等势面与电场线垂直，等势面密的地方（电势差相等的等势面），电场强度较强；

③沿电场线方向电势渐渐降低。

考纲新加：

22.

电容：

平行板电容打算式：（不要求定量计算）

留意：当电容与静电计相连，静电计张角的大小表示电容两板间电势差U。

考纲新加学问点：电容器有通高频阻低频的特点

或：隔直流通沟通的特点

当电容在直流电路中时，特点：

①相当于断路

②电容与谁并联，它的电压就是谁两端的电压

③当电容器两端电压发生变化，电容器会消失充放电现象，要求会推断充、放电的电流的方向，充、放电的电量多少。

23.

电场力做功特点：

①电场力做功只与始末位置有关，与路径无关

②

③正电荷沿电场线方向移动做正功，负电荷沿电场线方向移动做负功

④电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增大

24.

电场力公式：

，正电荷受力方向沿电场线方向，负电荷受力方向逆电场线方向。

25.

元电荷电量：1.6×10－19C

26.

带电粒子（重力不计）：电子、质子、α粒子、离子，除特别说明外不考虑重力，但质量考虑。

带电颗粒：液滴、尘埃、小球、油滴等一般不能忽视重力。

27.

带电粒子在电场、磁场中运动

电场中

加速——匀变速直线

偏转——类平抛运动

圆周运动

磁场中

匀速直线运动

匀圆——，，

28.

磁感应强度

公式：

定义：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线受的力与电流和导线长度乘积之比。

方向：小磁针N极指向为B方向

29.

磁通量（）：公式：

为B与夹角

公式意义：磁感应强度B与垂直于磁场方向的面积S的乘积为磁通量大小。

定义：单位面积磁感强度为1T的磁感线条数为1Wb。

单位：韦伯Wb

30.

直流电流四周磁场特点：非匀强磁场，离通电直导线越远，磁场越弱。

31.

安培力：定义：，——B与I夹角

方向：左手定则：

①当时，F＝BIL

②当时，F＝0

公式中L可以表示：有效长度

求闭合回路在匀强磁场所受合力：闭合回路各边所受合外力为零。

32.

洛仑兹力：定义：f洛＝qBv

（三垂直）

方向：如何求形成环形电流的大小（I＝q/T，T为周期）

如何定圆心？如何画轨迹？如何求粒子运动时间？（利用f洛与v方向垂直的特点，做速度垂线或轨迹弦的垂线，交点为圆心;通过圆心角求运动时间或通过运动的弧长与速度求时间）

左手定则，四指方向→正电荷运动方向。

f⊥v，f⊥B，，负电荷运动反方向

当时，v∥B，f洛＝0

当时，

，f洛＝

特点：f洛与v方向垂直，

f只转变v的方向，不转变v大小，f洛永久不做功。

33.

法拉第电磁感应定律：

方向由楞次定律推断。

留意：

（1）若面积不变，磁场变化且在B—t图中匀称变化，感应电动势平均值与瞬时值相等，电动势恒定

（2）若面积不变，磁场变化且在B—t图中非匀称变化，斜率越大，电动势越大

感应电动势瞬时值：ε＝BLv，L⊥v，α为B与v夹角，L⊥B

方向可由右手定则推断

34.

自感现象

L单位H，1μH＝10－6H

自感现象产生感生电流方向总是阻碍原线圈中电流变化

自感线圈电阻很小从时间上看滞后

K闭合现象（见上图）灯先亮，渐渐变暗一些

K断开现象（见上图）

灯比原来亮一下，渐渐熄灭（此种现象要求灯的电阻小于线圈电阻，为什么？）

考纲新增：会解释日光灯的启动发光问题及电感线圈有通低频阻高频的特点。

35.

楞次定律：

内容：感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流磁通量的变化。

理解为感应电流的效果总是抵抗（阻碍）产生感应电流缘由

①感应电流的效果阻碍相对运动

②感应电流的效果阻碍磁通量变化

③用行动阻碍磁通量变化

④a、b、c、d顺时针转动，a’、b’、c’、d’如何运动?

随之转动

电流方向：a’

b’

c’

d’

a’

36.

沟通电：从中性面起始：ε＝nBsωsinωt

从平行于磁方向：ε＝nBsωcosωt

对图中，ε＝0

对图中，ε＝nBsω

线圈每转一周，电流方向转变两次。

37.

沟通电ε是由nBsω四个量打算，与线圈的外形无关

留意：非正弦沟通电的有效值有要按发热等效的特点详细分析并计算平均值，

39.

沟通电有效值应用：

①沟通电设备所标额定电压、额定电流、额定功率

②沟通电压表、电流表测量数值U、I

③对于交变电流中，求发热、电流做功、U、I均要用有效值

40.

感应电量（q）求法：仅由回路中磁通量变化打算，与时间无关

41.

沟通电的转数是指：1秒钟内沟通发电机中线圈转动圈数n

42.

电磁波波速特点：，，是横波，传播不依靠介质。

44.

抱负变压器根本关系：

①；②；③

U1端接入直流电源，U2端有无电压：无

输入功率随着什么增加而增加：输出功率

46.

油膜法：

47.

布朗运动：布朗运动是什么的运动?

颗粒的运动

布朗运动反映的是什么？大量分子无规章运动

布朗运动明显与什么有关？①温度越高越明显；②微粒越小越明显

48.

分子力特点：下列图F为正代表斥力，F为负代表引力

①分子间同时存在引力、斥力

②当r＝r0，F引＝F斥

③当rF引表现为斥力

④当r>r0，引力、斥力均减小，F斥0表示：吸热

△E>0表示：温度上升，

分子平均动能增大

考纲新增：热力学其次定律热量不行能自发的从低温物体到高温物体。或：机械能可以完全转化为内能，但内能不能够完全变为机械能，具有方向性。或：说明其次类永动机不行以实现

考纲新加：肯定零度不能到达（0K即－273℃）

50.

分子动理论：

温度：平均动能大小的标志

物体的内能与物体的T、v物质质量有关

肯定质量的抱负气体内能由温度打算（T）

51.

计算分子质量：分子的体积：

（适合固体、液体分子，气体分子则理解为一个分子所占据的空间）

分子的直径：（球体）、（正方体）

单位体积的分子数：，总分子数除以总体积。

55.

光子的能量：E＝hν

ν——光子频率

56.

光电效应：

①光电效应瞬时性

②饱和光电流大小与入射光的强度有关

③光电子的最大初动能随入射光频率增大而增大

④对于一种金属，入射光频率大于极限频率发生光电效应

考纲新增：hν＝W逸＋Ekm

57.

电磁波谱：

说明：①各种电磁波在真空中传播速度一样，c＝3.00×108m/s

58.

光谱及光谱分析：

定义：由色散形成的色光，按频率的挨次排列而成的光带。

连续光谱：产生酷热的固体、液体、高压气体发光（钢水、白炽灯）

谱线外形：连续分布的含有从红到紫各种色光的光带

明线光谱：产生酷热的淡薄气体发光或金属蒸气发光，如：光谱管中淡薄氢气的发光。

谱线外形：在黑暗的背影上有一些不连续的亮线。

汲取光谱：产生高温物体发出的白光，通过低温气体后，某些波长的光被汲取后产生的

谱线外形：在连续光谱的背景上有不连续的暗线，太阳光谱

联系：光谱分析——利用明线光谱中的明线或汲取光谱中的暗线

①每一种原子都有其特定的明线光谱和汲取光谱，各种原子所能放射光的频率与它所能汲取的光的频率一样

②各种原子汲取光谱中每一条暗线都与该原子明线光谱中的明线相对应

③明线光谱和汲取光谱都叫原子光谱，也称原子特征谱线

59.

光子辐射和汲取：

①光子的能量值刚好等于两个能级之差，被原子汲取发生跃迁，否则不汲取。

②光子能量只需大于或等于13.6eV，被基态氢原子汲取而发生电离。

③原子处于激发态不稳定，会自发地向基态跃迁，大量受激发态原子所放射出来的光是它的全部谱线。

例如：当原子从低能态向高能态跃迁，动能、势能、总能量如何变化，汲取还是放出光子，电子动能Ek减小、势能Ep增加、原子总能量En增加、汲取光子。

60.

氢原子能级公式：，

轨道公式：，

能级图：

n＝4

－0.83eV

n＝3

－1.51eV

hν＝∣E初－E末∣

n＝2

－3.4eV

n＝1

－13.6eV

61.

半衰期：公式（不要求计算）

，T——半衰期，N——剩余量（了解）

特点：与元素所处的物理（如温度、压强）和化学状态无关

实例：铋210半衰期是5天，10g铋15天后衰变了多少克？剩多少克？（了解）

剩余：

衰变：

62.

爱因斯坦光子说公式：E＝hν

63.

爱因斯坦质能方程：