选修一《双曲线的简单几何性质》复习与同步训练（含答案解析）

«3.2.2双曲线的简单几何性质》考点复习

【思维导图】

1.求双曲线离心率的常见方法：

(1)依据条件求出占，C利用e=-

a

离心率(2)利用e=

(3)依据条件，建立关于a,6,c的齐次关系式，

消去b,转化为离心率e的方程求解.

2.求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a皮c的不等关系

把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为类一元二次方程

(1)在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.

①△》()时，直线与双曲线有两个不同的交点；

②△=()时，直线与双曲线只有一个公共点；

③AVO时，直线与双曲线没有公共点

(2)当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线

与双曲线有一个公共点

注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件

直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，

可用直线的率与渐近的率比较.

bb

对于实轴在*轴上的双曲线，若因＞,则交在同一支上；若因＜-，

aa

则交在两支上.

若直线过焦点，则可考虑用双曲线的定义.

求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长

联立方程、整理一元二次方程、韦达定理、代入弦长公式

弦长=J1+无/J(a+*2六4芍*2力+>2>・4兄%

【常见考点】

a

A.屈或皂1B.6或逅C.&5D.1或10

3333

【一隅三反】

22

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（46，0）到双曲线C：1一匕=1的一条渐近线的

a29

距离为6,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.4C.72D.百

22

2.己知丹、尸2为双曲线c：=一与=1（。＞0/＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右

ab.

支上一点，IP81=1大8I,/。后❷=30。，则双曲线。的离心率为（）

A.y/2B.V2+1c.避上1D.V3+1

2

3.已知丹，入为双曲线£：二一二=1的焦点，尸为V+y2=c2与双由线6的交点,

ab

且有tan/Pf；K=；，则该双曲线的离心率为（）

A底R"c扪［）0

A.--------D.u•"1J.72

523

x2y2

4.若双曲线二=1（。＞0，匕＞0）的一条渐近线经过点（1,一2）,则该双曲线的离

a-

心率为（）

A.73B.@C.V5D.2

2

考点二直线与双曲线的位置关系

【例2】已知双曲线X?一?=1，问当直线1的斜率k为何值时，过点P（l,1）的直线1与双

曲线只有一个公共点.

【一隅三反】

1.若直线y=kx+2与双曲线X?-y2=6的右支交于不同的两点，则左的取值范围是（

)

2.直线/：丁=去+1与双曲线C：/一,2=2的右支交于不同的两点，则斜率%的取值

范围是（）

渔

2,当B.（-1.1）

A.(-

C渔

(-，一1）D.（_曰,_1）51,当

2

3.直线1：kx-y-2k=0与双曲线x?-y2=2仅有一个公共点，则实数k的值为

A.-1或1B.-1

C.1D.1,-1,0

4.过双曲线2x2—y2=2的右焦点作直线1交双曲线于A,B两点，若|AB|=4,则这样的直

线1的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

考点三弦长

【例3】过双曲线工—匕=1的右焦点R,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点，0

36

为坐标原点，Fi为左焦点.

⑴求|AB|；

（2）求AAOB的面积.

【一隅三反】

2

1.已知直线丫=1«+1与双曲线x2—q_=i交于A,B两点，且|AB!=8j，，则实数k的

值为（）

A.+V7B.土也或土亚IC.D.±31

33

2

2.求双曲线犬―21=1被直线y=x+l截得的弦长

4

22

3.已知双曲线C：0-4=1（。>0/>0）的离心率为百，点（百,0）是双曲线的一个顶点.

a"b"

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点展作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A,B,求

园.

4.已知曲线C：x2-y2=l及直线/：y=«-L

（1）若/与C左支交于两个不同的交点，求实数&的取值范围；

（2）若/与C交于48两点，。是坐标原点，且A4O3的面积为0,求实数上的值.

考点四点差法

22

【例4】（1）已知双曲线C：鼻—亲_=1（。>（）,/,>0）,斜率为2的直线与双曲线C相交

于点A、B,且弦中点坐标为（1』），则双曲线。的离心率为（）

A.2B.x/3C.0D.3

(2)直线/经过P(4,2)且与双曲线5-产=1交于M，N两点，如果点P是线段MN的

中点，那么直线/的方程为()

A.x-j-2=0B.x+y—6=0

C.2x—3y—2=0D.不存在

2

(3)已知双曲线二-丁=1与不过原点。且不平行于坐标轴的直线/相交于M,N两点，

2

线段MN的中点为尸，设直线/的斜率为用，直线OP的斜率为抬，则人人=

11

A.-B.--C.2D.—2

22

【一隅三反】

22

1.已知倾斜角为四的直线与双曲线C：二—与=1(a>0,/?>0)相交于A,B两点,

4a2b2

M(4,2)是弦A3的中点，则双曲线的离心率为()

A.76B.C.-D.—

22

2

2.已知4,8分别为双曲线「：/-21=1实轴的左右两个端点，过双曲线r的左焦点尸作

3

直线PQ交双曲线于p,Q两点(点p,Q异于A,B),则直线AP,BQ的斜率之比kAP:kBQ=

()

1c23

332

3.点P(8,l)平分双曲线》2一4.丫2=4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是.

《3.2.2双曲线的简单几何性质》考点复习答案解析

考点一双曲线的离心率

【例1】若实数数列：1,a,81成等比数列，则圆锥曲线/+二=1的离心率是（）

a

B-&或半2百1一

A.M或巫D.一或10

3亍3

【答案】A

2

【解析】由1,。，81成等比数列有：a=81.所以a=±9.

当。=9时，方程为/+汇=1,表示焦点在y轴的椭圆，

9

其中4=3,（?|=,9—1=2\/2»故离心率e——=―――；

q3

当a=—9时，方程为d—汇=1,表示焦点在x轴的双曲线，

9

其中的=1，c2=VT+9=V10，故离心率e=2=屈，故选择A.

a2

■

I常见有两种方法：①求出“，c,代入公式e=£;②只需要根据一个条件得到关于a,6,c

ja

：的齐次式，转化为心。的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）,

!即可得e（e的取值范围）.

【一隅三反】

22

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（4百，0）到双曲线C：三一二=1的一条渐近线的

a29

距离为6,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.4C.72D.6

【答案】A

22I

【解析】双曲线C：「—&=1的一条渐近线为3无一殴=（）,则-.=6,解得a=6,

/9V9W

6=工=^^=2.故选：A.

aV3

2.已知6、K为双曲线c：=一1=1（a>0,A>0）的左、右焦点，点P为双曲线C右

a~b

支上一点，IPg1=1耳入I，NP6K=30”，则双曲线。的离心率为（）

A.近B.0+1C.避土!■D.V3+1

2

【答案】C

【解析】根据题意作图如下:

设忻用=同=况

•；NP耳工=30。

.•.|*=2病

..•由双曲线焦半径公式知||=£Xp+a=2>/3c,|PF21=exp-a=2c

・•・2。=2限-2c

史土!•故选c.

2

3.已知"，尸2为双曲线£：3■-卞*=1的焦点，尸为/+/=c2与双由线G的交点,

且有tanZP£E=；，则该双曲线的离心率为（）

A.3B.见C.D,五

523

【答案】C

【解析】由题意知N《PK=90°,

在心△片P鸟中，tan/P片与=；,可设则尸£=4根,

由勾股定理得，£6=J17〃2=2C,

又由|产盟一|尸图=2a得2a=3加，所以e=£=姮.

a3

故选：C

2-)

4.若双曲线与J=1a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,—2),则该双曲线的离

ab2

心率为()

A.百B.公C.75D.2

2

【答案】C

22

【解析】•.•双曲线「-马=1(。>0力>0)的一条渐近线经过点(1,-2),

ab

二点(1,—2)在直线y=上，

a

a

则该双曲线的离心率为e

故选：C.

考点二直线与双曲线的位置关系

2

【例2】已知双曲线X?—?=1,问当直线1的斜率k为何值时，过点P(l,1)的直线1与双

曲线只有一个公共点.

【答案】见解析

【解析】①当直线1的斜率不存在时，直线1：x=l与双曲线相切，符合题意.

②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x—1)+1,

代入双曲线方程，得(4一〜4一⑵一2k2”-1?+21<—5=0.

当4—1?=0,即1<=±2时，直线1与双曲线的渐近线平行，直线1与双曲线只有一个公共

点.当4-1?r0时，令△=(),得k=/

综上可知，当1<=j或1<=±2或直线1的斜率不存在时，过点P的直线1与双曲线都只有一

个公共点.

直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，I

■

可用直线睇4率与渐近线斜率匕曲.|

_bb

对于实轴在x轴上的双曲线，若出＞一，则交在同一支上；若四〈一，

aa・

则交在两支上.

若直线过焦点,则可考虑用双曲线的定义.

【一隅三反】

1.若直线y=kx+2与双曲线x2—y2=6的右支交于不同的两点，则％的取值范围是(

)

【答案】D

【解析】把丫=1«+2代入x—y2=6,得xZ—(kx+2)2=6,

i2Ho

A>0,

化简得(l-ldx?-4kx-10=0,由题意知J玉+X2>0,

%1•x2>0,

16公+40(1-％2)〉o,

4k/ic

即1--7>0,解得一YL±<kv-i.

l-k一3

答案：D.

2.直线/：y="+l与双曲线C：尤2—y2=2的右支交于不同的两点，则斜率%的取值

范围是()

渔

2B.（一1，1）

A.(-

C通

(-

2，-1）

【答案】C

22

【解析】由＜x-y,^2可得，（1—女2）f_2丘—3=0,因为直线/:y=Ax+l与双曲

y=辰+1

4^+i2（l-h）〉0

密＞0解得一半＜上（一1

线丁=2交于不同的两点，所以,

所以斜率&的取值范围是（一更，-1],故选C.

2

3.直线1：kx—y—2k=0与双曲线/一/=2仅有一个公共点，则实数k的值为

A.-1或1B.一1

C.1D.1,-1,0

【答案】A

【解析】因为直线1：kx—y—2k=0过定点（2,0）,而直线1：kx—y—2k=0与双曲线（一/

=2仅有一个公共点，所以直线1：kx-y-2k=0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为一

1或1,选A.

4.过双曲线2d—y2=2的右焦点作直线1交双曲线于A,B两点，若|AB|=4,则这样的直

线1的条数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

I

【解析】设A（X，M）,B（x2,y2）

当直线/与x轴垂直时，|AB卜4,满足题意

当直线/与x轴不垂直时，设直线/：y=Z（x—G卜

V

联立直线与双曲线方程得：《，整理得：(2-/»2+26人2》一3公一2=0,

-丁=2

3^+226k2

所以为工2玉+々又|AB\=J]+'2J（X]+9）2_4X1%2

k2-2心-2

=(季］_4义华^=4，解得：k=±显,

\k2-2k2-22

综上：满足这样的直线1的条数为3条

考点三弦长

【例3】过双曲线工—±=1的右焦点艮，倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点，0

36

为坐标原点，B为左焦点.

⑴求|AB|；

(2)求aAOB的面积.

【答案】(1)—y/3；(2)—\/3.

【解析】(1)由双曲线的方程得。=6，〃=c，:•C^a2+及=3,R(—3,0),&(3,

0).

直线AB的方程为'=¥(%-3).

［0个

y=—(x-3)

设A(x”yi),B(X2)y2),由，消去y得5x?+6x—27=0.

工-二=1

I36

627

山却/“图［(…)-3==我

⑵直线AB的方程变形为任一3y-3G=0.

,|-36|3

•••原点0到直线AB的距离为d==，-=-.

7（73）2+（-3）22

SVAOB=；lAB|.d=H6x^|=二G

【一隅三反】

2

1.已知直线丫=1«+1与双曲线光2-2L=i交于A,B两点，且1AB|=80,则实数k的

4

值为()

A.±V7B.土百或土叵

3

C.±也D.土典

3

【答案】B

【解析】由直线与双曲线交于AB两点，得左。±2,将y=^+l代入丁―2L=i得

4

(4一公)尤2一2d一5=0,则A=4A：2+4(4—％2)x5〉。，即女2<5.

2k5

设A。，％),B(x2,y2),则%+々=；；―k，=--一~6.

4-K-4-K"

2

J\AB\=Jl+公.J(^2)+=8夜

V4-k4-k-

k-±^3或Z=±.故选B.

3

2

2.求双曲线Y一上=1被直线y=x+l截得的弦长

4

【答案】-V2

3

V上=12

【解析】由J4，得4x2—(x+l)--4=0,即3/一2%一5=0.(*)

〔y=x+l

25

设方程(*)的解为再，%，则有玉+%2=§，%入2二一§，

故1=_X2|=V^J（X1+工2）2_4%12=^2•

3.已知双曲线C：三-卷=1(4>0/>0)的离心率为百，点(8,0)是双曲线的一个顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线右焦点忤作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A,B,求

网

【答案】⑴}”⑵印

【解析】(1)因为双曲线C：］-4=1(。>0力>0)的离心率为百，点(6,0)是双曲线的一

ab

22

£=百厂y

个顶点，所以解得c=3/=后，所以双曲线的方程为土X■—匕=1

a=636

22

(2)双曲线q—卷=1的右焦点为6(3,0)

所以经过双曲线右焦点展且倾斜角为30°的直线的方程为丁=¥。-3).

得5/+6%—27=0.

627

设A(玉，则西+工2

=--,xtx2T

所以MM

4.已知曲线C：f-y2=1及直线/：y=履一1.

(1)若/与。左支交于两个不同的交点，求实数Z的取值范围:

(2)若/与C交于4B两点，。是坐标原点，且AAOB的面积为夜，求实数Z的值.

【答案】⑴卜3,-1)(2)k=。或k=±旦

2

x2-y2=1

【解析】(1)由《消去y,得(1—K)元2+2辰—2=0.

y=kx-\

・・・/与C左支交于两个不同的交点

1-k2。02kl2\

.一△=4公+8（—2）〉。且〜+彳一可=一可卜

；.女的取值范围为卜夜,一1）

2k2

（2）设A（%，x）、3（%,%），由⑴得与+%2=--------诲，叱2=------y.

又/过点0（0,-1）,SAOAB=5卜_电|=夜.

.".(X,-X)2=(2V2)2.即2k丫8

2---T----T=8.

\-k2)l-k2

；.%=0或％=±.

2

考点四点差法

22

【例4】（1）已知双曲线C：二—二=1（。＞0,/,＞（））,斜率为2的直线与双曲线C相交

ab-

于点A、B,且弦A8中点坐标为（1,1），则双曲线C的离心率为（）

A.2B.6C.72D.3

2

（2）直线/经过P（4,2）且与双曲线;-y2=i交于M,N两点，如果点P是线段的

中点，那么直线/的方程为（）

A.x-y-2=0B.x+y-6=0

C.2x-3y-2=0D,不存在

2

（3）已知双曲线三-丁=1与不过原点0且不平行于坐标轴的直线/相交于M,N两点，

2

线段MN的中点为P,设直线/的斜率为用，直线OP的斜率为42,则%他=

【答案】(1)B(2)A(3)A

2222

【解析】⑴设A®,y)、B(x2,y2),则与—与=1,与一与=i,

abah

所以岑=白£,所以皿=4xq,

arb~-x2a~+x2

又弦AB中点坐标为（LI），所以玉+%=2,y+%=2,又上1=2,

王一x2

所以2=！x2,即”=2,所以双曲线的离心率

a22a2

故选：B.

（2）当斜率不存在时，显然不符合题意;

当斜率存在时，设NG2,%），

因为点P是线段MN的中点，所以玉+々=8,%+%=4,

2

汇

■y-y2=1

代入双曲线方程得《、，两式相减得片一¥=2（弁—£）,

,y,-yx,+x,

则上=」~2_、2=1,又直线过点p,所以直线方程为y=x-2,

玉一九22（乂+%）

2

.x2

------V—1

联立《2)，得到8x+10=0,经检验/>0,方程有解,

y^x-2

所以直线y=x-2满足题意.故选：A

（3）设直线1的方程为，=氏押+匕，代入双曲线方程二—V=]

2

2ktb

得到^-2bk,x-b--\^Q,得到

21

y

*

设”(为温玉+)),刈入2，匕尤2+。)，则N',"l("+”

、227

,,2b11

则—再+屋2心故占能方故选A-

【一隅三反】

22

1.已知倾斜角为N的直线与双曲线C：「―3=1(a>0b>0）相交于A,B两点,

4a2b2

M(4,2)是弦A3的中点，则双曲线的离心率为()

D.逅

A.>/6B.5/3C.—

2

【答案】D

22

【解析】因为倾斜角为N的直线与双曲线C:「一4=1(6>0,b>Q）相交于A,B

4a2b2

两点，

所以直线的斜率攵=tan&=l,

4

设4(石，。)，3(孙必)，

92

则名一斗=1①

a2b2

22

当•-乌=1②

a2h2

由①一②得(…)(…)=()，f心+%)

a2b1

则

%%a-y+%

因为"(4,2)是弦AB的中点,

/.无]+々=8,X+%=4

因为直线的斜率为1

.,628

1_,,--

"a14

即”=J_,/=_L/

a222

所以=/+〃=(i+g)/

23

.・.夕=一,

2

则6=",

2

故选：D

2

2.已知48分别为双曲线=：/—±v=1实轴的左右两个端点，过双曲线「的左焦点尸作

3

直线PQ交双曲线于尸,。两点(点P,Q异于AB),则直线AP,BQ的斜率之比kAP:kKQ=

()

1c2

A.——B.-3C.——

33

【答案】B

【解析】由已知得双曲线r：a=l,b=\[3<c=2.

故F(一2,0),A(—1,0),8(1,0).

设直线PQ：x=»?y-2,且尸(为，%),Q(X2,y2).

x=my-2

由＜2y2消去工整理得(3M-1)V—12机)，+9=0,

3

\2m9

・7+必=病?'=藐三'

两式相比得胆=①，

4,必

.k.k_/><X2-1_x（⑺2-3）-"XX-3y

KKX

••AP•BQ-,T-z［、-4，

玉+iy2%（,到「1）阳）2一%

3

/—+>2）-3%3（V-3V）

将①代入②得：上式=4----------------=?~—=-3.

3乂+%）一%3y「必

故^AP'^BQ-3.

故选：B.

3.点P（8,l）平分双曲线f一4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是—

【答案】2x-y-15=0

【解析】设弦的两端点分别为A（玉，X），B（X2,y2），QAB的中点是

P（8,l）,;.玉+w=16,乂+乂=2,把双不X），5（x2,当）代入双曲线

%；-44=4

厂9一4y2=4,得<

*-4货=4

（玉+/）（X_工2）-4（/_%）（M+%）=0，,16（%_工2）-8（必_%）=0,

运=2,

%-x2

这条弦所在的直线方程是2x-＞'-15=0.

故答案为2x—y-15=0..

《3.2.2双曲线的简单几何性质》同步练习

【题组一双曲线的离心率】

r2v2

1.已知双曲线C：0-与=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为冗，F2,直线/：x=2。与

a'b'

。交于M，N两点、.若MF］上NF2,则双曲线。的离心率为（）

30-2B26-1r"

D.

-2---2-2

r2*52

2.设居是双曲线C：「一v斗=1（。>0乃>0）的右焦点，0为坐标原点，过B的直线交双曲

a~b

线的右支于点P,N,直线P0交双曲线C于另一点M,若|5|=3户闾，且NMF?=60°,

则双曲线C的离心率为（）

A.3B.2C.立D.—

22

222

3.已知双曲线三一一匚=1与椭圆工+丁=1的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）

aa-25

A2百R4「30n„

332

22

4.设双曲线二-马=l（a>0,6>0）的左、右两焦点分别为耳，工，P是双曲线右支上一点,

ab-

且三角形。PK为正三角形（0为坐标原点），则双曲线的离心率是（）

G+i

B.V3+1D.芈

2

2

5.已知双曲线——3=1S>（））的一条渐近线方程为y=2x,那么该双曲线的离心率是

（）

A.BB.—C.@D.y/5

552

22

6.设F是双曲线=-4=l（a>0,6>0）的右焦点.过点F作斜率为-3的直线1与双曲线左、

a"b~

右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）

A.(1,710)B.(1,遥)C.(V10,+oo)D.(75,+00)

22

xy

8.斜率为由的直线与双曲线=i恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是

()

A.[2,+oo)B.(2,+00)C.(1,73)D.(疯+8)

【题组二直线与双曲线的位置关系】

02

1.已知双曲线2-<=1的左焦点为过£的直线/交双曲线左支于A、B两点，则1

169

斜率的取值范围为()

A.(T'g)B・(一,-()U((,+°o)

C・(一(，*|)D・(~°o,—^)U(^+°o)

2

2.已知双曲线/一六=i的离心率等于G，直线丁=丘+2与双曲线的左右两支各有一

个交点，则Z的取值范围是()

A.(一8,一1)U(L”)B.(-1,1)

C.(-oo,-V2)U(V2,+oo)D.(-V2,V2)

3.若直线/过点(3,0)与双曲线4/-9>2=36只有一个公共点，则这样的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.直线/:y=丘与双曲线C:/—产=2交于不同的两点，则斜率左的取值范围是()

A.(0,1)B.(-V2,V2)C.(-1,1)D.[-1,1]

【题组三弦长】

1.已知双曲线C:[一4=l(a〉0,。>0)的实轴长为2百，一个焦点的坐标为(-75,0).

ab-

(1)求双曲线的方程；

(2)若斜率为2的直线/交双曲线。交于A8两点，且|AB|=4,求直线/的方程.

2.过双曲线为2—y2=i的右焦点F作倾斜角为60。的直线/,交双曲线于A、B两点，

(1)求双曲线的离心率和渐近线；

(2)求|AB|.

22

3.已知双曲线C：=—当=1的一条渐近线方程为J5x—y=0,点(百,0)是双曲线的一

a~b~

个顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线的右焦点尸2作倾斜角为30°的直线1,且与双曲线交于A,B两点求AB的

长.

4.已知双曲线C的离心率为且过（6,0）点，过双曲线C的右焦点鸟，做倾斜角为

的直线交双曲线于A,B两点，0为坐标原点，月为左焦点.

（1）求双曲线的标准方程;

（2）求AAOB的面积.

【题组四点差法】

1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为产（近,0）,直线y=x-l与其相交于M,N两

2

点，中点横坐标为-一，则此双曲线的方程是_____.

3

r2

2.点尸（1,2）是曲线C：t一丁=1的弦⑷？的中点.则直线45的方程为（）

A.x-8y+15=0B.x+8y-17=0

C.3x+6y-15=0D.3x-6y+15=0

V-2v>27[

3.已知椭圆土+二=1,倾斜角为一的直线1与椭圆分别相交于A