《概率论与数理统计教程》第6章 参数估计

6.6区间估计一、区间估计基本概念二、正态总体均值与方差的区间估计三、小结编辑ppt

引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.编辑ppt我们希望编辑ppt一、区间估计基本概念1.

置信区间的定义编辑ppt2.

单侧置信上（下）限的定义编辑ppt关于定义的说明编辑ppt例如编辑ppt

一旦有了样本，就把估计在区间内.这里有两个要求:由定义可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)编辑ppt2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.编辑ppt3.

求置信区间的一般步骤(共3步)编辑ppt编辑ppt二、正态总体均值与方差的区间估计1.I单个总体的情况编辑ppt推导过程如下:编辑ppt编辑ppt这样的置信区间常写成其置信区间的长度为编辑ppt包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布,解例1编辑ppt编辑ppt查表得编辑ppt例6.5.4

设总体为正态分布N(,1)，为得到的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？编辑ppt推导过程如下:编辑ppt编辑ppt解有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值例2编辑ppt就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为95%.编辑ppt例6.5.5

假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）编辑ppt在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于由不等式变形可知的1-置信下限为

将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命的0.95置信下限为4.5806（万公里）。编辑ppt推导过程如下:根据2编辑ppt编辑ppt进一步可得:注意:在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).编辑ppt

(续例2)求例2中总体标准差

的置信度为0.95的置信区间.解代入公式得标准差的置信区间例5编辑ppt在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p的置信区间。3.大样本置信区间

编辑ppt

设x1,…,xn是来自b(1,p)的样本,有对给定

，，通过变形，可得到置信区间为

其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为编辑ppt例6.5.7

对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3

而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为故所求的置信区间为[0.218，0.382]编辑pptII

两个正态总体下的置信区间

设x1

,…,xm是来自N(1,12)的样本，y1

,…,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与分别是它们的样本均值，和分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。

编辑ppt一、1-2的置信区间1、

12和

22已知时的两样本u区间

2、

12=22=

2未知时的两样本t区间

编辑ppt3、

22/12=c已知时的两样本t区间

编辑ppt4、当m和n都很大时的近似置信区间

5、一般情况下的近似置信区间其中编辑ppt例6.6.9

为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种628583510554612523530615

乙品种535433398470567480498560503426

假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(=0.05）。编辑ppt解：以x1

,…,x8记甲品种的亩产量，y1,…,y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到

=569.3750，sx2=2140.5536，m=8

=487.0000，sy2=3256.2222，n=10

下面分两种情况讨论。编辑ppt(1)

若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处故1

-2的0.95置信区间为编辑ppt(2)

若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近似t区间。此处

s02=2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914，

s0=24.3555

于是1-2的0.95近似置信区间为

[31.74，134.02]编辑ppt二、

12/22的置信区间由于(m-1)sx2/12

2(m-1),(n-1)sy2/22

2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢轴量,对给定的1-，由经不等式变形即给出

12/22的如下的置信区间编辑ppt例6.6.10

某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：5.065.085.035.005.07

乙班：4.985.034.974.995.024.95

试求两班加工套筒直径的方差比甲2/

乙2的0.95置信区间。解：