《概率统计教学资料》第6章参数点估计1-2节

第六章参数估计基本内容：一、参数的点估计:1.矩估计法

2.最大似然估计法二、判别估计量好坏的标准:

无偏性；有效性；一致性

设总体X的分布函数F(x,)的形式已知，是待估的未知参数，

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,选择一个合适的统计量，当有了一个样本值x1,x2,…,xn时，将样本值代入得到这一统计量的一个观察值以此作为的估计。

参数点估计:注：点估计常用方法：矩估计和最大似然估计法.

参数的点估计故可用样本矩来估计总体矩。这个估计方法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的基本原理：总体矩是反映总体分布的最简单的数字特征，当总体含有待估计参数时，总体矩是待估计参数的函数。样本取自总体，即样本矩在一定程度上可以逼近总体矩，一、

矩估计法其中是待估参数为来自的样本,存在,设总体的前k阶矩则样本的l阶矩(大数定律)令从中解得k个方程组即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。设总体X的分布函数为

一般地,注:

总体均值与方差的矩估计量不因的总体分布而异.有几个未知参数就要列几个方程，就要计算总体的直到几阶原点矩.……矩估计法步骤：二、最大似然估计法

最大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.基本思想:若事件发生了,则认为事件中出现的概率最大。最大似然估计

就是在一次抽样中,若得到观测值则选取若一试验有n个可能结果现做一试验,在这n个可能结果作为的估计值，使得当时,样本出现的概率最大。极大似然估计法：（1）X---离散型，已知X的分布样本取到观测值事件A独立Xi与X同分布对给定的样本值是参数的函数，称为似然函数，记做改结构：n项连乘，总体分布A已经发生，由极大似然原理，达到最大，所以的最合理估计值应满足：定义对给定的样本值，若如何求？即求的最大值点问题方法一:若为可导函数回忆：(1)单调性相同，从而最大值点相同.n项连乘,求导麻烦n项相加，求导简单方法二：从而，对数似然函数（2）连续型总体似然函数的求法设X为连续型总体，其概率密度为：

对来自总体的样本，其观测值为，作为与总体X同分布且相互独立的n维随机变量，样本的联合概率密度为:

其中未知于是，样本落入点邻域内的概率近似为，由最大似然原理，最合理的的估计值应该是使达到最大，由于是不依赖于的增量，所以我们只需求使似然函数达到最大求最大似然估计的一般步骤为：(1)求似然函数；(3)建立似然方程（对对数似然函数求导数，并令为0）解似然方程得到最大似然估计值

进而得到最大似然估计量

三、衡量估计量好坏的标准的点估计量一般是不唯一的,如何选择好的?首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准.标准:无偏性,有效性,一致性1、无偏性即取值在真值附近来回摆动证明:(1)1

^^D(

1)<D(

2)

^^

则称

1较

2有效.

都是未知参数的无偏估计量.

若2.有效性内容小结1.理解参数的点估计的概念；2.掌握矩估计法和最大似然估计法；熟练掌握常见分布的矩估计和最大似然估计，如泊松分布、均匀分布、指数分布及正态分布中参数的矩估计和最大似然估计.备用题(1)求

=1

时,未知参数的矩估计量.

其中参数

>

0,

>

1,

1.

设X的分布函数为X1,X2,…,Xn是总体的样本,

解:当=1时,X的概率密度为

令样本均值代替总体均值

解得

∴

的矩估计量为

即解(2)

=2

时,

由于L()关于的单调增函数,

且注意到须满足故的极大似然估计量为

(2)

求

=2时,未知参数的极大似然估计量.作似然函数<xi,i=1,2,…,n,2.设总体X的概率密度为X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,

解：令即得矩估计量(2)由于3.

设某种电子元件的寿命T服从指数分布今测得10个元件的失效时间为1050,1100,1080,1200,1300,1250,1340,1060,1150,1150.解：指数分布的概率密度为试求的最大似然估计值.作似然函数=

0

,

解得的最大似然估计值：

取对数似然函数：令由抽样数据易得样本均值的观测值为(2)参数的最大似然估计值；4.