中等职业技术学校经济数学基础教案

中等职业技术学校

备

课

本

课程名称：经济数学基础

适用班级：]

授课教师：

课程表

星期一星期二星期三星期四星期五

早

读

墓

5

第

二

节

第

三

节

第

四

节

第

五

节

11春大专会计11春大专会计

第

六

节

11春大专会计11春大专会计

吸

修

晚

修

二

授课教学计划

教材分析：

经济数学基础（专科）课程是广播电视大学会计学和工商管理专业学生的一门

必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要

求的大专应用型经济管理人才服务的.通过本课程的学习，使学生获得微积分

和线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力和用定性与定量相结合的方法处

理经济问题的初步能力，并为学习财经科各专业的后继课程和今后工作需要打下必

要的数学基础。

教学目的、要求：

通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、

特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，培养辩证唯物主义观点；初步

掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并受到运用变量数学方法解决简单

实际问题的初步训练。通过本课程的学习，使学生初步熟悉线性代数的研究

方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理以及运算能力。

重点章节：

''极限、导数与微分；导数应用；不定积分;

定积分；积分应用；行列式；

矩阵；线性方程组

难点章节：

导数应用；不定积分;

积分应用；行列式；

矩阵；线性方程组

实习、实验教学项目:

学期授课进度计划表

周次课次授课内容课时备注

1第1章函数概念2

2第1章函数的基本属性2

2第1章基本初等函数2

3第1章初等函数2

3第1章常用的经济函数2

4第2章极限的概念2

4第2章极限的运算（一）2

5第2章极限的运算（二）2

5第2章函数的连续性2

6第3章导数的概念（一）2

6第3章导数的概念（二）2

7第3章求导法则（一）2

7第3章求导法则（二）2

8第3章求导法则（三）2

8第3章求导法则（四）2

9第3章微分及其在近似计算中的应用（一）2

9第3章微分及其在近似计算中的应用（二）2

10第3章导数与微分（复习）2

10第4章微分中值定理与洛必达法则2

11第4章拉格朗日中值定理及函数的单调性2

11第4章函数的极值与最值（一）2

12第4章函数的极值与最值（二）2

12第4章函数图形的描绘（一）2

13第4章函数图形的描绘（二）2

13第5章不定积分的概念及性质2

14第5章不定积分的积分方法（一）2

14第5章不定积分的积分方法（二）2

15第5章不定积分的积分方法（三）2

15第6章定积分的概念与性质2

16第6章微积分基本公式（一）2

16第6章微积分基本公式（二）2

17第6章定积分积分方法（一）2

17第6章定积分积分方法（二）2

18第6章定积分的几何应用（一）2

18第6章定积分的几何应用（二）2

19复习考试2

19复习考试2

20复习考试2

20复习考试2

记事

备课教案

第一周星期五

课题函数所需课时

理解函数的概念，掌握函数的儿何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初等

函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。

重点函数的概念，函数的儿何特性，各种基本初等函数的性态。

难点反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。

三、讲授新课

一、函数的概念：

1、函数的定义：

1)Def：设x和y是两个变量，。是给定的非空数集。若对于每一个数xe。，按照某一

确定的对应法则力变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作

y=fix),xeD„

Note：(1)x称为自变量,y称为因变量或函数；

(2)。称为定义域，记作。/,即。尸。；

(3)/称为函数的对应法则；

(4)集合｛y扭4U),xe。｝称为值域。

当自变量x在定义域内取定某确定值X。时，因变量y按照所给函数关系求出的对应值先

叫做当x=Xo时的函数值，记作y卜二%或f(X。)

例1：已知〃x)=E，求〃0)JG)J(T)J(£|J(X+1)J(X2)

1-0lzil

解："O)=,=1J=

I1+j3

l-(-x)1+x

l+(-x)-T^x

£x-l

J

1+J-XX+1

=1-(X+1)一工

/(X+1)

1+(X+1)2+x

1-x2

/(一)=

1+x2

例2：求下列函数的定义域

(1)

(2)/(x)=V9-x2

(3)/(x)=lg(4x-3)

(4)/(x)=arcsin(2x-1)

(5)/(x)=lg(4x-3)+arcsin(2x-l)

32

解：（1）在分式一一中，分母不能为零，所以5产+2%工0,解得X#-一，且XNO

5x+2x5

即定义域为1-8,-1

U

⑵在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以9--20,解得-34xV3即定义

域为[一3,3]

（3）在对数式中，真数必须大于零，所以4x—3>0,解得x>[,即定义域为+8）

（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1,所以有-lV2x-1<1,解得

0<x<l,即定义域为[0,1]

(5)该函数为(3)(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域为(3)(4)两例中定

义域的交集，即0,+8)c[0,l]=(jl

小结：定义域的求解原则：

(1)含,时，XH0

X

(2)含4时，x>0

(3)含In疝寸,x>0

(4)含arcsinx,arccosx时,\x\<1

(5)同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。

2)邻域:

设a,S为两个实数，5>0,则称满足不等式卜-a|<b即以。为中心的开区间

(a-b,a+S)为点a的S邻域。

点。为该邻域的中心，b为该邻域的半径。

四、练习：

求下列函数的定义域：

(1)"^7^

(2)/(X)-A/9-X2

⑶/(x)=lg(4x-3)

(4)/(x)=arcsin(2x-l)

(5)/(x)=lg(4x-3)+arcsin(2x-l)

五、归纳小结

本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以

后的继续学习打下良好的基础。_____________________________________________________

课后作业：

YXV0

1、求函数y=ln(l—尤2)的定义域；2、作函数/(x)=Y'的图像

2x,x>0

反思录：

备课教案

第二周星期三

课题函数所需课时2

(1)理解复合函数、分段函数的概念。

教学目的

(2)掌握函数的特性。

重点函数特性的理解。

难点函数特性的理解。

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

1、什么叫做函数？

2、求下列函数的定义域及值域。

(1)/(X)=y19-X2

(2)/(x)=lg(4x-3)

三、讲授新课

分段函数

对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。

iq将0<x<l

例/ri3o：函数尸〈

[1+xX>1

这是一个分段函数，其定义域为D=[0,l]u(O,”)=[0,+oo).

当0<¥<1时，y=2y[x；当X>1吐产1+X.

1=五；41)=2/7=2;犬3)=1+3=4.

Note：(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集。

3、显函数和隐函数

若函数中的因变量)，用自变量x的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。

一般地，若两个变量的函数关系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函数关系隐

臧在方程里，这样的函数叫做隐函数。

例如：xy-ex+y=0

有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。

二、函数的几种特性：

1、函数的有界性

设函数;(x)的定义域为。，数集XuD如果存在数描，使对任一xeX,有人x)4Ki,则称函

数段)在X上有上界，而称《为函数火x)在X上的一个上界.图形特点是y/x)的图形在直线

y=K]的下方.

如果存在数忌，使对任一xeX,有/(X)2K2,则称函数Xx)在X上有下界，而称无为函数

火外在X上的一个下界.图形特点是，函数)，4(x)的图形在直线广修的上方.

如果存在正数M使对任一xeX,\<M,则称函数Ax)在X上有界；如果这样的M

不存在，则称函数凡r)在X上无界.图形特点是，函数y^x)的图形在直线产-M和y=M的

之间.

函数1X)无界，就是说对任何M总存在使|犬外|>例.

例如

(l)/(x)=sinx在(YO,+oo)上是有界的：binx区1.

(2)函数f(x)=工在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界，无上界.

X

这是因为，对于任•-M>1,总有xi：0<为<]<1,使

M

x\

所以函数无上界.

函数/(x)=l在(1,2)内是有界的.

2、函数的单调性

设函数y=兀0的定义域为，区间/uD如果对于区间/上任意两点不及小，当冬42

时，恒有

/1)〈於2),

则称函数兀0在区间/上是单调增加的.

如果对于区间/上任意两点X,及X2,当勺，2吐恒有

於1)>以2),

则称函数凡T)在区间/上是单调减少的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

函数单调性举例：

函数)，=f在区间(-8,0]上是单调增加的，在区间[0,+8)上是单调减少的，在(-00,+00)

上不是单调的.

3、函数的奇偶性

设函数凡T)的定义域D关于原点对称(即若XeD,则T€。).

如果对于任-xe。，有犬-x)=y(x),则称犬x)为偶函数.

如果对于任一xe。，有犬T)=/x),则称式X)为奇函数.

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，

奇偶函数举例：

y=x2,y=cosx都是偶函数.y=x3,y=sinx都是奇函数,>-=sinx+cosx是非奇非偶函数.

例4：判断函数/*)=log“(x+J断+1)的奇偶性.

解函数的定义域为D=(_8,+00),又因为

f(~x)=bg0[(一X)+J(r)~+1]=log(Vx2+1一x)=log.(：+1)L

J尸+14-X

=log.(x+&+1)=-log„(x+>lx2+1)=-f(x)

2

所以函数/(x)=loga(x+Vx+1)是奇函数.

4、函数的周期性

设函数/W的定义域为D如果存在一个正数/,使得对于任一xe。有(x±/)e2且

於+。=於)

则称Ax)为周期函数，/称为/(x)的周期.

周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为/的区间上，函数的图形有相同

的形状.

例如，y=sinx,y=cosx的周期7=2笈，y=tanx,y=cotx的周期7=1，正弦型曲线函

24

数y=Asin(m+夕)的周期为T=---.

0)

四、练习

已知函数尸卜4°Wx41,求f904)和f(9)。

1+XX>1

五、归纳小结

本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解o

课后作业：

求函数/(X)=4'一的定义域及函数值/1(-1),/(0),/⑴?

1,x<0

反思录：

备课教案

第三周星期五

课M基本初等函数所需课时2

(1)理解反函数，会求一个函数的反函数。

教学目的

(2)掌握五类基本初等函数。

重点掌握五类基本初等函数。

难点理解反函数，会求一个函数的反函数。

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

J.21

1、计算:23；2°；2汽16、273；492；

2、怎样画函数的图像？

三、讲授新课

一、初等函数

1、反函数

定义1.1设函数y-f(x),xeD,yeZ.若对于任意一个yeZ,I)中都有惟一的一个

x，使得/(x)=y成立，这时x是以Z为定义域的y的函数,称它为y=/(x)的反函数，记作

x=/-'(y,),y&Z.

在函数x=/T(y)中，y是自变量，x表示函数.但按照习惯，我们需对调函数

》=广心)中的字母x,y,把它改写成y=f-'(x),xeZ.

今后凡不特别说明，函数)，=f(x)的反函数都是这种改写过的y=(x),xeZ形式.

函数y=。与y=fT(x),xeZ互为反函数,它们的定义域与值域互换.

在同一直角坐标系下，了=与y=/T(x),xeZ互为反函数的图形关于直线

y=x对称。

例如，函数y=3x-2与函数y=±E互为反函数，其图形如图1.1所示，关于直线y=x

3

对称.

函数y=2"与函数)，=10g2%互为反函数，它们的图形在同一坐标系中是关于直线

),=x对称的.如图1.2所示.

yAy=3x-2y=xyy=2xy=x

-201x01x

-2

图1.1图1.2

定理1.1(反函数存在定理)单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函

数也是单调增加(减少)的.

求反函数可以按以下步骤进行：

(1)从方程y=/(x)中解出惟一的X,并写成x=g(y)；

(2)将“g(y)中的字母X,y对调,得到函数y=g(x),这就是所求的函数y=〃x)的反

函数.

2.复合函数

定义1.2假设有两个函数)，=/(〃),〃=e(x),与x对应的a值能使y有定义，将

u=9(x)代入y=/(«)，得到函数〉=/(^(x)).这个新函数y=f"(x))就叫做是由

y=/(“)和"=(p(x)经过复合而成的复合函数,称〃为中间变量.

例如,由y=f(u)=e",u=<p(x)=cosx可以复合成复合函数y=/"*))=^cosx.

复合函数不仅可用两个函数复合而成，也可以有多个函数相继进行复合而成.如由

y=-fu,u=Inv,v=sinx可以复合成复合函数y=Jinsinx.

需要指出，不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知,只有当“=夕")的值域

与y=/(«)的定义域的交集非空时，这两个函数才能复合成复合函数.例如函数y=ln”和

“=就不能复合成一个复合函数.因为u=-%2的值域为(-oo,0]，而y=In”的定义域

为(0,+oo),显然(-oo,0]A(0,+oo)=<D,y=ln(-x2)无意义.

3.基本初等函数

我们学过的五类函数:幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基

本初等函数.

为了便于应用，下面就其图像和性质作简要的复习.参看表1-1.

表1-1基本初等函数及图像性质

序号函数图像性质

]tz<0

a>0

察函数

在第一象限，a>0时函数单增：

1

y=xaGRMLa<0时函数单减.都过点（1,1）

0X

k

0<a<Aa>l时函数单增；0<a<l时函数

指数函数

单减.

2y=ax

共性：过（0,1）点，以X釉为

(Q>0且4w1)

1渐近线

0X

J

a>l时函数单增；0<“<1时函数

对数函数

单减.

3y=bg。x

共性：过（1,0）点，以y轴为

(a>0且a*1)。/

0<d<1渐近线

J

奇函数，周期丁二24，有界

正弦函数

y=sinx卜出H<1

n7M0乃X

-1

了

偶函数，周期T=24，有界

余弦函数A__1

角

4y=cosx_K_[cos.<1

函°x

数

-1

u奇函数，周期1=乃，无界

正切函数7.■

y=tanx

_7t_

~2包乃至X

b

1

余切函数

>奇函数，周期T=»,无界

y=cotx

一"271

反正弦函数奇函数，单调

y=arcsinx

增加，有界

T

-22

A

71y

I

V

反余弦函数xw[-l,l],y£[0,;r],单调减少，有

k

y=arccosx界

反

-101X

5角卜

函...........y..一...乂...三.年

Ve（-co,+co）,ye（一会今奇函数，

数二

反正切函数h

y=arctanx单调增加，有界，）,=±]为两条

——旦水平渐近线

y一7

L

2

xe（-00,+oo）,yw（0,乃）单调减少，

反余切函数

有界，），=0,y="为两条水平渐

y-arccotx

近线

0X

四、练习

1、基本初等函数有哪几类?

2、是不是所有函数都有反函数？

五、归纳小结

这一节课我们复习了五类基本初等函数，它们的性质可以结合图像来理解和记忆。

课后作业：

指出下列函数山哪些基本初等函数(或简单函数)构成?

⑴y=ln(sinx2)

(2)》

(3)y-71+arctan2x

反思录：

备课教案

第三周星期三

课题初等函数所需课时2

理解初等函数的定义，并能把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函

教学目的

数；也能把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。

把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分

重点

成几个基本初等函数。

把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分

难点

成儿个基本初等函数。

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

填空：

1、纠正作业。

2、画出五种基本初等函数的草图。

三、讲授新课

定义1.3由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并能用一个式

子表示的函数，统称为初等函数.

【例1.4］下列函数是由哪几个简单函数复合而成的.

(1)y=Insinx(2)y=cosJx+1(3)y=e"n2"

解(1)令“=sinx,则y=In".

于是y=Insinx是由y=In”，"=sinx复合而成的.

(2)令v=x+1,u=4v)贝y=cosu.

所以y=cosJx+1是由y=cost/，u=Vv,u=x+l复合而成的.

(3)令v=2x,u=sinv,则＞=6”.

所以y=eSin2'是由y=e",“=sinv,丫=2x复合而成的.

本课程研究的函数，主要是初等函数.凡不是初等函数的函数，皆称为非初等函数.

【例1.5】将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。

(1)w=sinxy=Inu-

(2)y=cosuu=Vvv=x4-1

(3)y-eu,〃=sinu,v=2x

四、练习

将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。

(1)v=sinxy=lnv.

(2)v=x+lu=4vy=cosu

(3),w=sinvv=2xy=e”

五、归纳小结

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。

注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌

漏层。

课后作业:

2、判定下列函数的奇偶性？

(2)y="+-x

(1)y=/(x)+/(-x)e(3)y=(〃为自然数)

3、作下列函数的图像？

X2-1

(1)⑵y=(3)y=|sinx

一X-11

反思录:

备课教案

第三周屋期五

课题常用的经济函数所需课时2

1、理解几个常用的经济函数

教学目的

2、会用函数的知识解决经济问题

重点理解经济函数的含义及应用

难点运用经济函数解决经济问题

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

函数v=lnsinx是由，这两个函数复合而成的。

三、讲授新课

经济函数主要包括：

1、需求函数q(p)(p为价格)

2、成本函数C(q)

3、收入函数R(q)

4,利润函数L(q)

§1需求函数与价格函数

§1.1线性需求函数

§1.2二次曲线需求函数

§1.3指数需求函数

注：一般地，需求量随价格上一涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。

价格函数反映商品需求和价格的关系。

§2供给函数

一般地，商品供给量随商品价格的上涨而增加。因此，商品供给函数是商品价格的单调

增加函数。

§3总成本函数(单调增加函数)

注：生产成本包括固定成本和可变成本。

§4收入函数利润函数

总收入R=R(q)=qP(q)和平均收入户==P(q),其中P(q)是商品的价格函数，它

q

们均是出售商品数量的函数。

总利润L=L(q)=R(q)-C(q)和平均利润L=E(q)=%，均是产量q的函数

q

注：利润函数〃幻出现的三种情况：

⑴L(q)=R(q)-C⑷>0有盈余生产

(2)L(q)=R(q)-C(q)<0亏损生产

(3)L(q)=R(q)-C(q)=O无盈亏生产，此时的产量外称为无盈亏点(保本点)。

经济函数的应用

例1生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出

售的单价为30元，试求：

(1)生产x件该种产品的总成本和平均成本；

(2)售出x件该种产品的总收入；

(3)若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

解：(1)生产x件该种产品的总成本为：

C(x)=10000+20%

平均成本为祗)=^^=幽^+20

xx

(2)售出x件该种产品的总收入为

R(x)-3Ox

(3)生产x件该种产品的利润为

L(x)=/?(%)-C(x)=30x—(10000+20x)

=10x-10000

四、练习

生产某种产品的固定成本为3万元，每生产一个该产品所需费用为10元，若该产品出

售的单价为50元，试求：

1、生产x件该种产品的总成本和平均成本；

2、售出x件该种产品的总收入；

3、若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

五、归纳小结

本次课的重要性在于引导学生，在经济分析中使用数学方法往往能够简化实际问题，能

够更方便快捷的解决实际问题。

课后作业：

1、生产某种产品的固定成本为5万元，每生产一个该产品所需费用为10元，若该产品

出售的单价为30元，试求：

(4)生产x件该种产品的总成本和平均成本；

(5)售出x件该种产品的总收入；

若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

2、预习第二章“极限”

反思录:

备课教案

第四周屋期二

课题极限的概念所需课时2

—1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念。

2.熟练掌握Xf8和x-与时f(x)的极限存在的充要条件

教学目的3.理解无穷大、无穷小的概念，

4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限

重点函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.

T.L函数极限的定义

率息|2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用

教学过程：

一、组织教学

点名、组织课堂纪律

二、复习引入

一、导入新课

1.写出下列函数的复合过程

(1)y=ylx3-2x2+5(2)y=sin2x

思考：若y=i+—L,当x无限的靠近1时，y值怎样变化？

X-1

二、讲授新课

(-)函数的极限

(1)定义函数y=f(x),当自变量X无限接近于某个目标时(一个数X。，或+8或一8),

因变量y无限接近于一个确定的常数A,则称函数f(X)以A为极限。

规定：1°x从X。的左右两侧无限接近于X。，记xfx0

2°x从X。的左两侧无限接近于X。，记xfx°-

3°x从X。的右两侧无限接近于x0,记xfx0+

4°x无限增大时，用记号xf+oo

5°x无限减小时，用记号xT—0

6°N无限增大时，用记号Xf8

(2)点x的3邻域

N(x,S)=(x—x+S),其中很小的正数，

X的去心S邻域N(£,J)=(x0-3,x0)U(x0,x0+5).

1、xfx0时函数的极限

举例说明：xT1时，函数无限接近于多少？

观察：当：x-1时，f(x)=x+l,无限接近2

x2—1

当：x-1时-，g(x)=--无限接近2

X-1

f(x)在x=l有定义，g(x)在X=1处无定义

定义1如果当XTX。时，函数/(x)无限趋近于一个确定的常数4,则称A为函数

/(X)当xTX。时的极限，记作limf(x)=A或A(当xfx0时).此时也称

Xf0

lim/(x)存在。如果当xTX。时，函数/(x)不趋近于任何一个确定的常数，则称

Xf0

lim/(x)不存在。

0

2

x-l

如：lim(x+1)=2,又如lim-----=2

XTlXT1X—1

r2_i2_i

注意：f(x)=^_^在、=:处无定义，但当*Tl时，函数f(x)=^―无限趋近于一

X—1X—1

x2-l

个确定的常数2,所以lim---=2o

XT】X-1

结论：函数/(X)当XfX。时的极限是否存在，与/(X)在点与处是否有定义无关.

X2-1.Y2-1

如上举例f(x)=^_^在工=1处无定义，但lim-~-=2.

X-1*5X-1

定义2右极限当xfx0+,有lim/(x)=A

定义3左极限当xfx。-,有lim/(x)=A

Xf而

函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

定理1［极限存在的充分必要条件］

函数/(X)当x->x0时的极限存在的充分必要条件是，/(X)当XfX。时的左右极限都存

在并且相等.即lim/(x)=Aolimf(x)=lim/(x)=A

XfX；

x->xoX->XQ

注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相

等。

例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限

sinx9x<0

x+l,x>2

x，x<2(当x—2时)

limy=2,limy=3limywlimy

解:(1)xf2-x-2+,x->2-x->2+

・・・函数在指定点的极限不存在。

limy=sin0=0,limy=—x0=0limy=limy

(2),/x-0-x->0+3,XT。-x->0+

・・・函数在指定点的极限limy=0

x->0

定理2limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A

(二)数列的极限

定义4对于数列｛〃〃｝,如果当n无限增大时，通项/无限接近于某个确定的常数A,

则称A为数列〃”的极限，或称数列｛%｝收敛于A,记为lim〃〃=A或孙fA(n->8)

定理3匚单调数列极限存在定理］

单调增加(上升)数列：项W々W/<…W尤”Wxn+i<-

单调减少(下降)数列：王》々》X32…2X.2xn+i>-

单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。

［单调有界原理］:单调有界数列必有极限。

(=)极限的性质

1、唯一性若lim/&)=A,lim/(x)=B,则A=8

2、有界性若lim/(x)=A,则存在与的某一去心邻域N(£°,b),在N(f0,5)内

函数/(X)有界.

3、保号性若lim/(x)=A且4>0(或4<0),则存在某个去心邻域心耳，3),在

Xf0

N晨0,b)内f(x)>0(或(/(x)<0).

4、夹逼准则

设在与的某邻域内(可不包括点X。)有g(x)W/(x)W/z(x)

且limg(x)=limh(x)=A,则lim/(x)存在且limf(x)=A

x—>xox—>xoXT*0X—>XQ

这个定理称为夹逼定理，它同样适用于Xf8的情况

在这个公式里X趋近于哪个数是非常重要的，X趋近于不同的数,极限是不同的。

(四)关于极限的几点说明

1.一个变量前加上记号“lim”后，是个确定值。

例：正n边形面积％,lims“=圆面积

n—>oc

2.关于“xfXo”的理解：只要求在X。的充分小邻域有定义。与在点X。和远离/