信号与线性系统分析总结

总结①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。sin2t是周期信号，其角频率和周期为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。第一页，共84页。总结能量信号与功率信号

将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E（2）信号的功率P

若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0

若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞第二页，共84页。总结信号的时间变换运算

1.反转将f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如第三页，共84页。总结

2.平移

将f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(k–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如右移t→t–1左移t→t+1第四页，共84页。总结

3.尺度变换（横坐标展缩）将f

(t)→f

(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则展开。如t→2t压缩t→0.5t展开第五页，共84页。总结平移、反转、尺度变换相结合例1已知f

(t)，画出f

(–4–2t)。压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。第六页，共84页。总结若已知f

(–4–2t)，画出f

(t)。反转，得f

(2t–4)展开，得f

(t–4)左移4，得f

(t)第七页，共84页。总结阶跃函数和冲激函数f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)第八页，共84页。总结f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)δ(k)=ε(k)–ε(k–1)第九页，共84页。总结系统性质分析af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

线性性质：时不变性：f(t)→yzs(t)

f(t-td)→yzs(t-td)直观判断方法：若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。因果，稳定（见第七章）。第十页，共84页。总结第二章连续系统的时域分析系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。时域卷积：图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）第十一页，共84页。总结卷积积分的性质f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第十二页，共84页。总结常见的卷积公式第十三页，共84页。总结卷积和相关第十四页，共84页。总结第三章离散系统的时域分析差分与差分方程，时域解法，单位序列响应，阶跃响应卷积和例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)第十五页，共84页。总结3，4，0，62，1，5解:×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30例2

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1

f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1注：教材中提到的列表法与这里介绍的不进位乘法本质是一样的。第十六页，共84页。总结f(k)*ε(k)=[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)常用卷积和公式第十七页，共84页。总结第四章傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶级数的三角形式式中，A0=a0可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。

an

=Ancosn，bn

=–Ansinn，n=1,2,…第十八页，共84页。总结傅里叶级数的指数形式傅里叶系数之间关系n的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:

bn，n

第十九页，共84页。总结波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=…=b2=b4=…=04.f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0第二十页，共84页。总结周期信号的频谱

将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。第二十一页，共84页。总结周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。

如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。第二十二页，共84页。总结傅里叶变换F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)第二十三页，共84页。总结归纳记忆：1.F

变换对2.常用函数F

变换对：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|112πδ(ω)第二十四页，共84页。总结傅里叶变换的性质

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)，|F(jω)|=|F(–jω)|，(ω)=–(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)F(jt)←→2πf(–ω)f(at–b)cosω0t

←→π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]sinω0t

←→jπ[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]第二十五页，共84页。总结若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)则f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)结论:若

f(n)(t)←→Fn(jω)，

且

f(-∞)+f(∞)=0（大部分为时限函数）

则

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n第二十六页，共84页。总结若f(t)←→F(jω)则(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)第二十七页，共84页。总结能量谱和功率谱R(τ)←→E(ω)R(τ)←→P(ω)第二十八页，共84页。总结周期信号的傅里叶变换第二十九页，共84页。总结LTI系统的频域分析第三十页，共84页。总结对周期信号还可用傅里叶级数分析法：若第三十一页，共84页。总结无失真传输与滤波输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

y(t)=Kf(t–td)其频谱关系为Y(j)=Ke–jtdF(j)系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t–td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

第三十二页，共84页。总结例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)第三十三页，共84页。总结取样定理通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率；把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。例有限频带信号f1(t)的最高频率为ωm1(fm1)，f2(t)的最高频率为ωm2(fm2)，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔Ts。第三十四页，共84页。总结解：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第三十五页，共84页。总结所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第三十六页，共84页。总结所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第三十七页，共84页。总结所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第三十八页，共84页。总结所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：第三十九页，共84页。总结例解：第四十页，共84页。总结所以：第四十一页，共84页。总结序列的傅里叶分析和离散傅里叶变换令则FN(n)称为离散傅里叶系数。称为周期序列的离散傅里叶级数(DiscreteFourierSeries,DFS)。令则第四十二页，共84页。总结定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)为第四十三页，共84页。总结第五章连续系统的s域分析第四十四页，共84页。总结常见函数的拉普拉斯变换(t)←→1，>-∞(t)或1←→1/s，>0e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→t←→1/s2第四十五页，共84页。总结拉普拉斯变换性质第四十六页，共84页。总结若f(t)为因果信号，已知第四十七页，共84页。总结例1：例2：第四十八页，共84页。总结拉普拉斯逆变换单阶实数极点第四十九页，共84页。总结极点为共轭复数,共轭极点出现在

=2|K1|e-tcos(t+)(t)第五十页，共84页。总结有重根存在求K11，方法同第一种情况：第五十一页，共84页。总结复频域分析y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)第五十二页，共84页。总结求H(s)。S2X(s)SX(s)X(s)s2X(s)=F(s)+3s1X(s)+2X(s)Y(s)=s2X(s)+4X(s)微分方程为y"(t)-3y'(t)-2y(t)=f"(t)+4f(t)第五十三页，共84页。总结电路的s域模型电感第五十四页，共84页。总结电容第五十五页，共84页。总结单边拉氏变换与傅里叶变换的关系(1)0<0，F(j)=F(s)s=j（2）0=0，（3）0>0，F(j)不存在。

第五十六页，共84页。总结第六章离散系统的Z域分析称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换序列的收敛域大致有以下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；

第五十七页，共84页。总结常用序列的z变换：(k)，z>1，z<1–(–k–1)(k)←→1，整个z平面第五十八页，共84页。总结z变换的性质双边z变换的移位：单边z变换的移位：（后向移位）

前向移位：第五十九页，共84页。总结k域反转(仅适用双边z变换）

第六十页，共84页。总结第六十一页，共84页。总结逆z变换部分分式展开法

（1）F(z)均为单极点，且不为0第六十二页，共84页。总结根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z>)和F2(z)(z<)两部分第六十三页，共84页。总结(2)F(z)有共轭单极点

第六十四页，共84页。总结(3)F(z)有重极点

F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为：若z>a,对应原序列为因果序列：第六十五页，共84页。总结可这样推导记忆：两边对a求导得:再对a求导得:故:第六十六页，共84页。总结离散系统的z域分析y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)第六十七页，共84页。总结复变量s与z的关系：s域与z域的关系第六十八页，共84页。总结离散系统的频率响应：称LTI离散系统的正弦稳态响应一般情况：LTI离散系统的频率响应：若LTI因果离散系统得系统函数H(z)得收敛域包含单位圆，，则称为LTI因果离散系统的频率响应。称为系统的幅频响应；称为系统的相频响应.第六十九页，共84页。总结第七章系统函数系统的零点和极点：第七十页，共84页。总结系统函数与频域响应当且时，（H(s)极点在左半开平面）这种情况下，h(t)对应的系统称为因果稳定系统。设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：第七十一页，共84页。总