信号频域与时域分析

通信系统基本问题服务质量信噪比/误码率性能抗干扰能力抵御/补偿线性/非线性失真能力纠错能力传输带宽带宽资源带宽利用率色散与非线性效应的抑制能力传输距离传输损耗高发射功率高接收灵敏度性价比系统实现复杂度系统单位比特成本通信原理主要研究对象第一页，共57页。关于通信系统的研究通信系统要求足够的带宽足够的功率带宽与功率资源的充分利用理论研究方法研究信息的表达与度量研究通信信号的时域和频域特征研究信号与噪声的功率（能量）研究随机信号的时域和频域特征研究信道的特征第二页，共57页。大

纲基本概念信号频域特性信号时域特性第三页，共57页。基本概念1/2确知信号与随机信号确知信号：定义：能以确定的时间函数表示的信号，在定义域内任意时刻都有确定的函数值示例：电路中的正弦信号和各种形状的周期信号随机信号：定义：不能用精确的数学关系式来描述，不能预测其未来任何时刻的准确值；具有统计规律性，可用概率统计方法来描述示例：半导体载流子随机运动所产生的噪声，雷达信号，所有的实际信号周期信号与非周期信号周期信号：非周期信号第四页，共57页。基本概念2/2信号功率与能量信号功率：电流在单位电阻（1）上消耗的功率，即信号能量：信号平均功率：能量信号定义：能量为有限值的信号推论：能量信号的平均功率为零示例：数字信号中的单个码元为能量信号功率信号定义：平均功率为有限值的信号推论：功率信号的能量为无穷大示例：广播信号近似认为持续无限长时间，为功率信号适用于确知信号/随机信号第五页，共57页。大

纲基本概念信号频域特性信号时域特性第六页，共57页。能量信号频谱密度与能量谱密度1/3能量信号频谱密度能量信号及其频谱：能量信号频谱特点S(f)为连续谱：能量信号能量有限，平均功率为零，频谱连续分布于频率轴实能量信号频谱对称性：正负频谱振幅偶对称、相位奇对称傅里叶变换对第七页，共57页。能量信号频谱密度与能量谱密度2/3能量信号频谱密度示例单位冲激函数频谱密度单位阶跃函数的频谱密度？第八页，共57页。能量信号频谱密度与能量谱密度3/3能量信号能量谱密度能量谱定义：实能量信号能量谱密度：第九页，共57页。功率信号频谱与功率谱密度1/4周期性功率信号频谱信号频谱信号频谱特点频谱函数Cn为离散值双边谱，双边谱中负频谱仅有数学意义，物理上不存在负频率实信号（物理可实现）：正负频谱振幅偶对称，相位奇对称周期性函数傅里叶级数展开第十页，共57页。功率信号频谱与功率谱密度2/4周期性功率信号频谱示例周期性方波信号非周期性功率信号：作为思考题？-T0T0实偶信号的频谱为实函数第十一页，共57页。功率信号频谱与功率谱密度3/4功率信号功率谱密度功率谱密度定义：功率信号能量无穷大，能量谱密度不存在。功率信号功率谱密度存在，需采用功率信号的截短信号计算。第十二页，共57页。功率信号频谱与功率谱密度4/4功率信号功率谱密度（续）周期性功率信号功率：周期性功率信号功率谱密度：离散谱表式连续谱表式第十三页，共57页。大

纲基本概念信号频域特性信号时域特性第十四页，共57页。自相关函数与互相关函数自相关函数数学定义：数学含义：s(t)及其时延后的相关程度对称性：互相关函数数学定义：数学含义：s1(t)和s2(t)时延后的相关程度对称性：第十五页，共57页。能量信号自相关函数与互相关函数1/2能量信号自相关函数定义：信号能量：自相关函数与能量谱密度的关系：第十六页，共57页。能量信号自相关函数与互相关函数2/2能量信号互相关函数定义：互相关函数与互能量谱密度的关系：互能量谱密度：第十七页，共57页。功率信号自相关函数与互相关函数1/2功率信号自相关函数定义：信号平均功率：周期性功率信号自相关函数与功率谱密度的关系：第十八页，共57页。功率信号自相关函数与互相关函数2/2功率信号互相关函数定义：周期性功率信号互相关函数与互功率谱密度的关系：互功率谱密度：第十九页，共57页。例题求单位冲激序列

的傅里叶变换解：若s(t)是周期为T的周期函数，则其可以作傅里叶变换：为周期函数，因此：单位冲激序列的傅里叶变换为：第二十页，共57页。小结信号类型：确知信号与随机信号能量信号与功率信号能量信号：采用傅里叶变换分析方法。能量信号：采用截短函数傅里叶变换分析方法。信号频域特性能量信号频谱密度与能量谱密度功率信号频谱与功率谱密度能量信号频谱密度与周期性功率信号频谱的比较能量信号连续谱：能量有限，平均功率为零，频谱连续分布功率信号离散谱：功率有限，能量无限，频谱离散分布信号时域特性能量信号自相关函数与互相关函数功率信号自相关函数与互相关函数第二十一页，共57页。第一章概论与基础知识

随机过程基础（1）何永琪北京大学电子学系Tel：62756700；Mobile：Email：通信原理第二十二页，共57页。通信系统基本问题服务质量信噪比/误码率性能抗干扰能力抵御/补偿线性/非线性失真能力纠错能力传输带宽带宽资源带宽利用率色散与非线性效应的抑制能力传输距离传输损耗高发射功率高接收灵敏度性价比系统实现复杂度系统单位比特成本第二十三页，共57页。大

纲问题的提出随机过程基本概念高斯随机过程随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声第二十四页，共57页。问题提出：如何处理噪声1/342.8Gbit/s1200km光纤传输系统测试眼图（NRZ码型，电吸收调制）噪声？信噪比？误码率？第二十五页，共57页。问题提出：如何处理噪声2/3带噪声的信号波形示例1第二十六页，共57页。问题提出：如何处理噪声3/3带噪声的信号波形示例2有无规律可寻?第二十七页，共57页。通信系统中的随机信号通信系统中传输的信号基本是随机信号系统的噪声（热噪声、干扰噪声、辐射噪声、等等）均为随机的随机信号的分析方法对确定信号行之有效的分析方法（如：信号与系统的分析方法）不一定能够直接应用于随机信号分析研究随机信号统计特性所采用的主要数学工具是随机过程第二十八页，共57页。大

纲问题的提出随机过程基本概念高斯随机过程随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声第二十九页，共57页。基本概念1/3随机变量定义：将观察结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，该变量称为随机变量分类：离散随机变量，连续随机变量描述方法：随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述样本函数定义：样本函数即为观察结果的每次记录（即一个确定的时间函数xi(t)）含义：样本函数具有确定性随机变量的每次观察结果出现哪个样本函数是不可预知的第三十页，共57页。基本概念2/3随机过程定义：通俗定义：随机过程为全体样本函数的集合xi(t),i=1,2,…,n数学定义：对给定概率空间(Ω,F,P)和一个参数集TR，若对每一个tT，均有定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量X(,t)（Ω）与之对应，称依赖于参数t的随机变量族X(,t)为随机过程。Ω：全体可能组成的集合F：全体可观测事件组成的事件族P：F上定义的一个取值于[0，1]区间的函数含义通信理论中的随机过程通常是时间t的函数，记为(t)，

即(t)=xi(t),i=1,2,…,n在任意给定的时刻t1∈T，随机过程ξ(t)的取值ξ(t1)是一个一维随机变量随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述第三十一页，共57页。基本概念3/3随机过程（续）示例：x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Snx(t)tk第三十二页，共57页。随机过程的统计特性1/3随机过程一维分布函数定义：局限性：随机过程的一维函数仅能

描述随机过程在各个孤立时刻的统

计特性，而不能描述随机过程在不

同时刻取值之间的内在联系第三十三页，共57页。随机过程的统计特性2/3随机过程n维分布函数定义：关于分布函数的维数：维数n越大，随机过程统计特性的描述越充分维数n越大，数学描述与分析方法越复杂实际应用中需在维数和分析复杂性之间找平衡第三十四页，共57页。随机过程的统计特性3/3随机过程与随机变量的对比随机变量随机过程概率分布函数概率密度函数第三十五页，共57页。数字特征1/3均值（数学期望）方差相关函数两时刻所得随机变量的统计相关性

第三十六页，共57页。数字特征2/3协方差协方差与相关函数的关系互相关函数互协方差第三十七页，共57页。数字特征3/3随机过程（噪声、信号）相关函数数学期望方差统计、观测、计算目标：获得某时刻的平均值、某时刻偏离平均值的程度、两时刻间的相关程度第三十八页，共57页。随机过程的平稳性1/3平稳随机过程应用广泛，对通信研究意义重大第三十九页，共57页。随机过程的平稳性2/3狭义平稳随机过程定义：即为任何n维概率密度函数与时间起点无关含义：平稳随机过程统计特性与时间推移无关，从而随机过程分析大大地简化特例：一维情况：一维分布函数与时间无关二维情况：二维分布函数只与时间间隔=t2-t1有关第四十页，共57页。随机过程的平稳性3/3广义平稳随机过程（弱平稳、宽平稳过程）平稳随机过程的数字特征均值与时间无关，即为常数自相关函数只与时间间隔有关，即定义：满足上述两个条件的随机过程即为广义平稳随机过程理解：狭义平稳随机过程必是广义平稳随机过程，反之不一定成立适用性：通信系统中的信号与噪声通常可视为平稳随机过程第四十一页，共57页。随机过程的各态历经性1/4问题的提出随机过程的分析是基于其所有样本函数的统计平均，但大量样本的公测实际上很难实现能否从一次观测所得样本函数确定随机过程数字特征第四十二页，共57页。随机过程的各态历经性2/4概念：各态历经性过程的数字特征完全可由任一实现的时间平均值确定条件：假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现（样本）,其时间均值和时间相关函数分别为若平稳随机过程使下式成立，则其具有各态历经性第四十三页，共57页。随机过程的各态历经性3/4物理意义：从随机过程得到任一实现，均经历了随机过程的所有可能状态只须作一次考察就可求时间平均，无需作无限多次考察来求统计平均具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的适用性：确定随机过程是否各态历经通常很困难。实际上，可以通过直觉来判断时间平均和集总平均可不可以互换在分析没有暂态效应的大多数通信信号时，可以假设随机波形的均值和自相关函数为各态历经通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件第四十四页，共57页。随机过程的各态历经性示例4/4随机过程各态历经性的应用：随机信号的平均功率问题得以解决第四十五页，共57页。数字特征相关函数R（t，t+）随机过程ξ(t)（噪声、信号）数学期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]统计、观测、计算如果平稳与时间起点无关E[ξ(t)]=aD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各态历经用时间平均代替集平均通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态历经条件*第四十六页，共57页。相关函数性质1/4这里利用了当T→∞时，ξ(t)与ξ(t+T)没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量时域性质第四十七页，共57页。相关函数性质2/4时域性质（续）思考：相关是一个广泛的概念，不仅可以用于随机信号，也可以用于确知信号，对于确知信号，可以认为是某一样本以概率为1出现的“特殊”的随机过程，此时，样本统计已经没有意义，同时，该随机过程也非平稳随机过程。因此，对于确知信号，相关函数是指时间上的统计平均第四十八页，共57页。相关函数性质3/4时域分析：随机信号的平均值、偏离平均值的程度（方差）归一化的直流交流功率，统计相关程度，都已经清晰的描述频域分析：对通信系统理论分析至关重要还差什么？频率特性！*第四十九页，共57页。相关函数性质4/4频域性质：维纳-欣钦（Wiener-khintchine）定理

若随机过程是广义平稳的，可用自相关函数的傅立叶变换得到其功率谱密度

对于非平稳过程，用时间平均的代替R(),该定理同样成立

第五十页，共57页。数字特征相关函数R（t，t+）随机过程ξ(t)（噪声、信号）数学期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]统计、观测、计算如果平稳与时间起点无关E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各态历经用时