中考试卷-数学(江苏镇江卷)

2010年中考试卷——数学(江苏镇江卷)

一、填空题

1.-的倒数是________；--的相反数是_________.

32

【解析】求一个数的倒数是把原数的分子分母的位置交换一下，求一个数的相反是在这

个数的前面加一个负号，然后化简.

【答案】3,工

2

2.计算：-3+2=；(—3)X2=.

【解析】第一空的异号的两个数相加，取绝对值较大的符号，所以取负号，结果是一1；

第二空是异号相乘得负，并把他们的绝对值相乘.

【答案】一1,-6

3.化简：a54-a2-；(“2)2=.

【解析】同底数塞的除法，底数不变，指数相减；塞的乘方，底数不变，指数相乘.

【答案】a\a4

4.计算：78x72=：78-72=.

【解析】①先将二次根式的积转化为积的二次根式再开方：

②将JR化为J5,然后合并同类二次根式

【答案】4,V2

5.分解因式：a2-3a=；化简：(x+1)2--x2=.

【解析】第一空提公因式。，第二小问用因式分解或用全平方公式展开再合并同类项均

可.

【答案】a(a-3),2x+l

6.一组数据按从小到大顺序排列为：3,5,7,8,8,则这组数据的中位数是,众数

是.

【解析】这组数据有五个，已经按大小排列了，那么第三个数7便是中位数，8出现了

两次，其它的都只出现一次，所以众数是8.

【答案】7,8

7.如图，RfZXABC中，NAC8=90°,DE过点C,且DE7/43,若乙48=50°,则NA

=,NB=.

DCE

【解析】由两直线平行，内错角相等得/A=/ACD=50°,ZB=90°—NA=50°

【答案】50°,40°

8.函数y=中的自变量x的取值范围是,当x=2时，函数值y=.

【解析】函数表达式是一个二次根式，根据被开方数为非负数可转化为解不等式x-1

20;求函数值，只要把x=2代入表达式即可求出y=l

【答案】1

〃一1

9.反比例函数y=——的图象在第二、四象限，则”的取值范围为,A（2,>■,）.8（3,

X

力）为图象上两点，则％_____力（用“〈”或填空）

【解析】反比例图象在第二、四象限，则n—1<0,得n<l.第二空：2<3,48均在

第四象限，根据反比例函数图象在第四象限时，y随x的增大而增大，填小于号.

【答案】n<l,<

A172

10.如图,在平行四边形ABCQ中，CQ=10,F是A8边上一点,。F交AC于点E,且一=

EC5

用DAEV的面积

,BF=

'DC。硒面积

Aro

【解析】由已知条件易得△AFEs/\SE,空=士为相似比，所以面积比为相似比

EC5

4AFAF7

的平方，即」由比例式"=生=*易得，AF=4,所以BF=6.

25DCEC5

4

【答案】—>6

11.如图，AB是。。的直径，弦CDJ_A8,垂足为E,若AB=10,CD=8,则线段OE的

长为.

【解析】连结。C,则OC=5,由垂径定理可得CE=4,在RtZXOCE中，可得。E=3.

【答案】3

12.已知实数x,y满足f+3x+y-3=0,则x+y的最大值为.

【解析】将函数方程x2+3x+y-3=0代入x+y,把x+y表示成关于x的函数，根据二次函

数的性质求得最大值.x+y=-f—2x+3=—（x+1尸+4,所以当x=-1时，x+y最大值

为4

【答案】4

二、选择题

13.下面几何体的俯视图是（)

【解析】：从上面看，这个几何体只有一层，且有3个小正方形.

【答案】A

14.已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积等于（）

A.3兀B.9"C.10万D.11"

【解析】由圆锥的侧面积公式：S网阳=

【答案】A

15.有A,B两只不透明口袋，每只品袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了

“细”、“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“心”的字样，从每只口袋里

各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（）

【解析】由列表法或画树状图法可知有以下四种等可能：“细信”、“细心”、“致信”、“致

心”，显然“细心”只出现一次.所以它的概率为四分之一.

【答案】B

16.两直线hy=2x—1,k：y=x+l的交点坐标为（）

A.（—2,3）B.（2,—3）C.（—2,一3）D.（2,3）

【解析】方法一：联立起来解方程组可求得交点为（2,3）,方法二：把点的坐标分别代

入两直线的解析式，都成立的便是它们的交点.

【答案】D

17.小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下：小明看了说明

书后，和爸爸讨论：小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是（）

爸爸：“安全行驶路为11千公里或9千公里”

是指轮胎每年行驶1千公里相当于损耗

3它的，或

1.本轮胎如安装在前

119

轮，安全行驶路程为

小明：太可惜了，自行车行驶9千公里后，后

11千公里；如安装在胎报废，而前胎还可继续使用.

后轮，安全行驶路程

爸爸：你能动动脑筋，不换成其它轮胎，怎样

为千公里.

9使这对轮胎行驶路程最长？

2.请在安全行驶路程范小明（沉思）：自行车行驶一段路程后，可以把

围内报废轮胎.

前后轮胎调换使用，最后一起报废，就

能使这对轮胎行驶最长路程.

爸爸（含笑）：明明真聪明！……

小明看了说明后，和爸爸讨论:

A.9.5千公里B.3河千公里C.9.9千公里D.10千公里

【解析】可设走了X公里后前后轮调换使用，最长路程为y公里，依题意可列方程组:

产+==1①

共11此两方程相加得上+2=2,化简得y=9.9.

上+==1②119

tn9

【答案】c

三、解答题

18.计算化简

(1)(V5)2-(COS60O)0+|-4|;

【解析】分成三部分依次计算即可.

【答案】(1)原式=5-1+4=8

⑵3+工

x~—9x+3

【解析】第一个分式的分母可以因式分解为(x-3)(x+3),然后通分.

【答案】(2)原式二-------------1-----

(x+3)(九-3)x+3

6+x-3

(x+3)(x-3)

_x+3

(x+3)(%-3)

1

一

19.运算求解

解方程或不等式组；

2尤-1>1,

【解析】分别求出两个不等式的解集，然后取两个解集的公共部分，即是不等式组的解集;

【答案】(1)由①得，%>1；由②得，xW3

原不等式组的解集为1GW3

【解析】左右两边各一个分式，可应用比例的性质解，交叉相乘可化简成一个一元二次方

程，解这个一元二次方程，然后验根.

【答案】3x-2=x2,

x2—3x+2=0,

(x-2)(x-l)=0,

X\=2>%2=1

经检验，制=2,刈=1是原方程的解.

20.推理证明

如图，在△ABC和△4£>七中，点E在BC边上，ZBAC=ZDAE,ZB=ZD,AB=AD.

(1)求证：

(2)如果/AEC=75°,将△4OE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋

转角的大小.

【解析】(1)由NBAC=ND4E,AB=AD,NB=ND可得△ABDWAADE.

(2)由△AB。也知AE=AC,所以/C4E是旋转角只要在等腰△AEC中求出/C4E

即可.

【答案】(1),：NBAC=NDAE,AB=A£>,ZB=ZD,

二

(2)♦:△ABC丝△AQE,

；.AC与AE是一组对应边，：.AE=AC,

AZCAE是旋转角，

'：AE=AC,NAEC=75°,

...NACE=/AEC=75°,

/.ZCAE=180°—75°—75°=30°.

21.动手操作

在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直

的两边所在直线建立直角坐标系.

(1)作出aABC关于)，轴对称的△A|B|G，其中A,B,C分别和4”场,G对应；

(2)平移△ABC,使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为AA282c2，

作出平移后的其中分别和对应；

△&B2c2，4,B,CA2，B2,C2

(3)填空：在(2)中，设原△ABC的外心为M,4A282c2的外心为此，则M与私

之间的距离为

【解析】（1）根据轴对称的作图方法，便可作出AABC关于y轴对称的△ASG，（2）

点8向左平移1格便可到），轴上，点A只要向下平移4格能到x轴上，所以整个图形向左

平移1格，再向下平移4格就能使点4到x轴上，点8到y轴上.（3）它们的外心，即三

边垂直平分线的交点，外心平移的距离与AABC上任意一点平移的距离相等，所以MM2=

22

BB2=Vl+4=V17

【答案】（1）如下图；

（2）如下图；

（3）外心也是向下移动了4个单位，向左移动了1个单位.所以MM2=B&=

JF+42=V17

22.运算求解

在直角坐标系xOy中，直线/过（1,3）和（3,1）两点，且与x轴，），轴分别交于A,

B两点.

（1）求直线/的函数关系式：

（2）求△AO3的面积.

【解析】(1)知道直线经过两点，可设出解析式为y=kx+h,用代定系数法求函数关

系式.(2)求出A,B两点的坐标为(4,0)和(0,4),便可知OA=OB=4的长，代入

三角形面积公式就可以求出△AOB的面积.

【答案】(1)设直线/的函数关系式为+〃(A#0),①

3k+b—1

把(3,1),(1,3)代入①得《一

k+h=3,

k=-1,

解方程组得《

b=4.

...直线/的函数关系式为y=-x+4②

(2)在②中，令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,A>4(4,0)

11

-AO•BO=—X4X4=8

22

23.已知二次函数y=d+2x+w的图象G与x轴有且只有一个公共点.

(1)求Ci的顶点坐标；

(2)将G向下平移若干个单位后，得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(—3,

0),求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

(3)若尸(〃，)，|),2(2,)，2)是G上的两点，且求实数〃的取值范围.

【解析】(1)G与x轴有且只有一个公共点，说明顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标

为0,把关系式配方成顶点式即可求出m的值，也就可以求出顶点的坐标.

(2)设的函数关系式为y=(x+1/+%，把A(—3,0)代入上式得(-3+1)2+%=0,

可求得k.

(3)由于图象Ci的对称轴为x=-1,所以知道当XN-1时，y随x的增大而增大，然后讨论

n>-1和n<-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围.

【答案】(1)y=X2+2x+m=(x+i)i+m-l,对称轴为*=-1

•••与x轴有且只有一个公共点，.•.顶点的纵坐标为0.

...G的顶点坐标为(一1,0)

(2)设C2的函数关系式为y=(x+l)2+Z

把A(—3,0)代入上式得(-3+iy+&=0得&=—4

2

：.C2的函数关系式为y=(x+1)-4

•.•抛物线的对称轴为x=-l,与x轴的一个交点为A(—3,0),由对称性可知，它与

x轴的另一个交点坐标为(1,0).

(3)当x》一l时，y随x的增大而增大，

当〃》一1时，Vyi>y2>•'-n>2.

当xV-l时，y随x的增大而减小，当〃〈一1时，

2(2.”)的对称点的坐标为(-彳，*)，

；»〉丫2

'.n<—4.

综上所述：〃>2或〃<一4

24.有200名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门的招聘，到各部门报名的人数百分比

见图表1,该企业各部门的录取率见图表2.(部门录取率=粤空¥4粤xioo%)

部门报名人数

(1)到乙部门报名的人数有人，乙部门的录取人数是人,该企业的录取率为—;

(2)如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的

情况下，该企业的录取率将恰好增加15%,问有多少人从甲部门改到丙部门报名？

部门甲乙内

录取率20%50%80%

图表2

【解析】(1)由图表1,到乙部门报名的人数：200x(1-35%-25%)=80人,

乙部门的录取人数：80'50%=40人，

企业的录取率：(200X35%X20%+200X25%X80%+40)+200=47%；

(2)只要设有x人从甲部门改到丙部门报名，根据题意可列出方程：(200x35%-x)X

20%+40+(200*25%+%)X80%=200(47%+15%),可以求解出X.

【答案】(1)80,40,47%；

(2)设有x人从甲部门改到丙部门报名，

则：(200x35%-x)X20%+40+(200x25%+x)X80%=200(47%+15%)

化简得：0.6x=30,

x=50

答：有50人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加15%的录取率.

25.描述证明

海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

a,b表示两个正数，并分别作为分

子、分母，得到两个分式，如果这两个

分式的和比这两个正数的积小2,那么这

两个正数的和等于这两个正数的积.

现象描述

已知a>0,b>0,

如果________,

那么.

(1)请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；

(2)请你证明海宝发现的这个有趣现象.

【解析】(1)把文字叙述改写在数学符号语言，即如果@+2+2=。"那么"+6=而.(2)

ba

对条件中的式子两边同乘以ab可得/+层+2而=(")2,再对这个式子变形就能得到本题的

结论.

【答案】(1)—+—+2=ab,a+b—ab

ba

,、…0ab、,a2+b2+2ab,

(2)证明：,/—I---F2=ab,-------------=ab,

baab

：.a2+b2+2ab=(ab)2,

.•.(a+b)2=(a6)2,

•；a>0,b>0,a-\-b>0,ab>09

•二两边开方得：a+b=ab

26.推理证明

如图，已知△45C中，AB=BC,以4B为直径的。。交AC于点£>,过。作

垂足为E,连结。£,CD=BNACB=30°.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)分别求4B,OE的长;

(3)填空：如果以点E为圆心，，为半径的圆上总存在不同的两点到点。的距离为1,

则r的取值范围为.

c

【解析】(1)AB是G)0的直径，所以N4)B=90°又AB=BC,由三线合一可知。

是AC的中点，又O是AB的中点，由中位线定理可得OO〃BC,因为OEJ_BC,所以0。

IDE,所以OE是。。的切线.(2)在中，已知8=百，NACB=30°,可求

出BC=2,DE=——所以AB=2,00=1,再在R/AODE中利用勾股定理求0E=

2

币

V.(3)由第二问可知0E的长，所以只要以E为圆心的圆与。。相交，这

两个交点到点0的距离为1,这样就保证了存在不同的两点到点0的距离为1.所以r+l>

解得』1-1<r〈也+1.

OE,r-\<OE,

22

【答案】(案—是直径，.../4。8=90。

又YA"/,：.AD=CD

又,：AO=BO,：.OD//BC

,/DELBC

J.ODLDE,是。。的切线.

(2)在RfZ\CB。中，CD=VJ,NACB=30°,

BC=-CD=理=2,.\AB=2.

cos30°V3

2

在口△(?£>£'中，CO=G，NACB=30°

⑶等T<"f+L

27.探索发现

如图，在直角坐标系xOy中，R/ZiOAB和R/Z\OC£>的直角顶点A,C始终在x轴

的正半轴上，B,。在第一象限内，点B在直线0。上方，OC=C£),00=2,M为0D

的中点，A3与00相交于E,当点B位置变化时，RfZXOAB的面积恒为工.

试解决下列问题：

(1)填空：点。坐标为；

(2)设点8横坐标为r,请把8。长表示成关于，的函数关系式，并化简；

(3)等式80=8。能否成立？为什么？

(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形B寸，判断四边形BQCF的形状，并

证明你的结论.

0ACx

【解析】(1)由0C=CQ知△0。是等腰直角三角形，。。=2,根据勾股定理求得

0C=CD=y/2,所以点。的坐标为(、历，血)；

(2)由R/Z\0A8的面积为万，得8(3-),再在直角梯形ACDB中，可以根据勾股

定理BD2=AC!+(AB—CO)”得到关系式

BD2=(/-V2)2+(1.V2)2=r2+4-2及(什1)+4

化简即可;

(3)可先假设成立，常见有以下两种方法：方法一，可由(2)中求出了B。的长(用

含t的式子表示的)，我们再用，表示出0B,得到关于t的方程，若该方程有解，则存在，

反之则不成立；方法二，若0B=BD,则B在C。的垂直平分线MC上，又三角形OAB的

面积不变，所以8在双曲线上，所以只要求出CM的函数关系式，与联立，

便可得到一个方程，同样若方程有解，则。8=8£>,反之不等.

(4)在显然NBED=45°,所以只能是另外两个角为90°,分NBDE或NDBE

为90°两种情况进行讨论即可.

【答案】⑴(V2,V2)；

(2)由的面积为:，得B(t,；).

'：BD2=AC!+(AB-CD)2

/.BD2=«=物2+(；—扬2=产+《一2国+；)+4

=(r+-)2-2V2(r+-)+2=(/+--V2)2.(3分)

ttt

BD^t+--y/2\=t+--j2.

tt

(3)［方法一］若02=80,则OB2=B£>2.

在中，

Rt/XOAB082=042+4^2=r2+_L

由①得产+-y=f'+~y—2>/2(/+-)+4,

得r+-=y/2

t

：.t2-"+1=0

VD=(V2)2-4=-2<0

二此方程无解.

［方法二］若OB=BD,则8点在0。的中垂线CM上.

C(5/2,0)>在等腰RMiOCM中，可求得M(7-，，2)，

,直线CM的函数关系式为^=—》+a,

由RfZ\0A8的面积为L，得B点坐标满足函数关系式y=-@

2x

联立③，④得：X2-V2X+1=0,

VD=(V2)2-4=-2<0

二此方程无解.

；.0BWBD

［方法三］若0B=8。，则B点在0。的中垂线CM上，如图27-1

过点3作BG，y轴于G,CM交y轴于

SAOBG=SAOAB=~，而SAOM//-SAMOC=­S&ooc~xV2x-S/T.X——一,显

22222

然与SA«MO>SAOGB矛盾

：.OB^BD

(4)如果ABOE为直角三角形，因为ZBEZ)=45°,

①当NEB£>=90°时，此时F,E,/三点重合，如下图

；BF_Lx轴，DCJ_x轴，C.BF//DC.

.••此时四边形BOCF为直角梯形.

②当NEDB=90°时，如下图

'JCFLOD,C.BD//CF,

又AB_Lx轴，OCJ_x轴，：.BF//DC.

,此时四边形80c尸为平行四边形.

下面证平行四边形BDCF为菱形：

［方法一］在Rt/\BDO中，

.•.产+A=4+/+1-2y/2(t+-)+4,/.r+-=2V2,

/产tt

［方法①］产-2扬+1=0,vBD^OD上方

.解得f=血-1,1=后+1或1=0+1,-=V2-

(舍去)

tt

得8(后-1,拒+1),

［方法②］由②得：BD=z+--V2=2V2-V2=V2.

t

此时BD=CD=®

此时四边形BOb为菱形

［方法二］在等腰RfZXOAE与等腰RfZ\EB£)中，O4=AE=r,0E=42t,则£D=BD=

2—y/2t,

：.AB=AE+BE=t+V2(2-x/2t),

A2V2以下解法同［方法一］

t

此时BD=CD=y/2

,此时四边形BDCF为菱形.

28.深化理解

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为

即：当〃为非负整数时，如果〃-,<工<〃+,,则4>="

22

如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,・••

试解决下列问题：

(1)填空：①<兀>=(冗为圆周率)；

②如果<2冗一1>=3,则实数x的取值范围为；

(2)①当x20,加为非负整数时,求证:<%+根〉=〃2+<工〉；

②举例说明<九+y>=<x>+<y>不恒成立；

(3)求满足vx>=二工的所有非负实数x的值；

3

(4)设〃为常数，且为正整数，函数—x+1•的自变量x在〃范围内取

4

值时，函数值y为整数的个数记为①满足<〃>=〃的所有整数&的个数记为