熊伟 运筹学 参考 答案 练习 习题 第 版 武汉理工大学

本文格式为Word版，下载可任意编辑——熊伟运筹学参考答案练习习题第版武汉理工大学第8章动态规划

8.1在设备负荷分派问题中，n=10，a=0.7，b=0.85，g=15，h=10，期初有设备1000台。试利用公式(8.7)确定10期的设备最优负荷方案。

n?tg?h由公式?a???ai得

g(b?a)i?0i?0in?t?1(g-h)/g(b-a)＝0.2222，a0＋a1＋a2＝1+0.7＋0.49＝2.19＜2.222＜a0+a1＋a2＋a3＝2.533，n－t

－1＝2，t=7，则1~6年低负荷运行，7~10年为高负荷运行。各年年初投入设备数如下表。

12345678910年份

设备台数1000850723614522444377264184.81298.2如图8－4，求A到F的最短路线及最短距离。A到F的最短距离为13；最短路线A→B2→C3→D2→E2→F及A→C2→D2→E2→F

8.3求解以下非线性规划

22minZ?x1?x2?x3maxZ?x1x2x3???xj?0,j?1,2,3maxZ?x1x2x3???xj?0,j?1,2,3maxZ?x21?x32?x23（3）?x1?x2?x3?10(1)??x1?x2?x3?C(2)?x1?x2?x3?C??x1,x2,x3?0maxZ?x1x2x3??x1,x2,x3?02maxZ?x12?2x1?2x2?x3??x1,x2,x3?0

(4)??x1?4x2?2x3?10(5)??2x1?4x2?x3?10（6）?x1?x2?x3?8???xj?0,j?1,2,3（1）设s3=x3,s3+x2=s2，s2+x1=s1=C

则有x3=s3，0≤x2≤s2，0≤x1≤s1=C用逆推法，从后向前依次有

k＝3，f3(s3)?max(x3)?s3及最优解x3*=s3

x3?s3k＝2，f2(s2)?max[x2f3(x3)?max[x2(s2?x2)]?maxh2(s2,x2)

0?x2?s20?x2?s20?x2?s2由

?h21?s2?2x2?0,则x2＝s2?x221?2h2x?s2为极大值点。故＝－20,故x=222?x212*1因而有f2(s2)?s2,x2?s2

2212?(s?k＝1时，f1(s1)?min[x11x)1?minh(s1,x1)0?x1?s10?x?1s121?h*由1?1?s1?x1?0知x1?s1?1,f1(s1)?s1?

2?x1得到最优解

11X?(C?1,1/2,1/2)T;z?C?

2(3)设s3=x3,s3+x2=s2，s2+x1=s1=10则有x3=s3，0≤x2≤s2，0≤x1≤s1=10用逆推法，从后向前依次有

k＝3时，f3(s3)?max(x3)?s3及最优解x3=s3

x3?s32k＝2时，f2(s2)?max[3x2?(s2?x2)]?maxh2(s2,x2)

0?x2?s20?x2?s22?h23?3?2s2?2x2?0时x2???s2?x22?2h23而?2?0,故x???s2不是一个极大值点。22?x222探讨端点：当x2=0时f2(s2)＝s2,x2=s2时f2(s2)?3s2

假使s2>3

2时,f2(s2)?s2

20?x1?s10?x1?s1k＝1时，f1(s1)?max[2x1?(s1?x1)]?maxh1(s1,x1)

?h1?2?2s1?2x1?0时x1??1?s1?x1?2h1?2?0,故x1??1?s2不是一个极大值点?x12同理有,x1=0,f1（s1）=s12=100，x1=s1,f1（s1）=2s1=20(舍去)得到最优解

X?(0,0,10);z?100(4)设s3=x3,2s3+4x2=s2，s2+x1=s1=10则有x3=s3，0≤x2≤s2/4，0≤x1≤s1=10用逆推法，从后向前依次有k＝1，

f3(s3)?max(x3)?s3及最优解x3*=s3

x3?s31maxx[2(s2?0?x2?s242?h11由2=s2-4x2=0,则x2=s2

8?x22k＝2，f2(s2)?x22?)0?x2?s24mahx2,2s2(x)1?2h2x?s2为极大值点。,故??4?0228?x22s2则f2(s2)?及最优解x2*=s2/8

321x1(s1?x1)2]?maxh1(s1,x1)k＝1，f1(s1)?max[0?x1?s1320?x1?s113?h12*1f(s)?s11?，故(s1?4s1x1?3x2)?0,x?s11111216?x1323得到最优解

X?(10/3,5/6,5/3)T;z?125/27

(5)按问题中变量的个数分为三个阶段s1，s2，s3，且s3≤10，x1，x2，x3为各阶段

的决策变量，各阶段指标函数相乘。

设s1=2x1,s1+4x2=s2，s2+x3=s3≤10，则有x1=s1/2，0≤x2≤s2/4，0≤x3≤s3=10用顺推法，从前向后依次有k＝1，f1(s1)?max(x1)?x1?s1/2s1及最优化解x1*=s1/22x42?)0?x2?s2/4k＝2，f2(s2)?1max[x2s(?20?x2?s2/42mahx2s2(x2,)由

1?h21*?s2?s2?4x2?0,则x28?x22113?2h2x?sf(s)?s2,故为极大值点。则??4?022222832?x21x3(s3?x3)2]?maxh3(s3,x3)k＝3，f3(s3)?max[0?x3?s3320?x3?s3?h1212*由3?(s3?4s3x3?3x3)?0,x3?s3?x332313s3，由于s3≤10，则s3=10时取最大值，x3＝10/3，s2=s3－x3＝20/3，x2故f3(s3)?216＝5/6，s1=s2－4x2＝10/3，x1＝5/3

得到最优解

X?(5/3,5/6,10/3)T;z?125/27

（6）设s1=x1,s1+x2=s2，s2+x3=s3=8

k＝1，f1(s1)?max(x1?2x1)?s1?2s1及最优化解x1*=s1

x1?s12222k＝2，f2(s2)?max[2x2?(s2?x2)?2(s2?x2)]?maxh2(s2,x2)

0?x2?s20?x2?s2?h2?2h2?6x2?2s2?2,?6?02?x2?x2x2*=0时，f2（s2）=s22+2s2,x2*=s2时，f2（s2）=2s22

22故f2(s2)?max{s2?2s2,2s2}

k＝3，

①当x2*=0时，f3(s3)?max[x3?(s3?x3)?2(s3?x3)]?maxh3(s3,x3)同样得x3*=0时

x3*=s3时，f3（s3）=s3所以，f3（s3）=s32+2s3=80

②当x2*=s2时，f3（s3）=max[x3+2（s3-x3）2]同样得x3*=0时

x3*=s3时，f3（s3）=s3=8所以，f3（s3）=2s32=128最优解为

0?x3?s3，f3（s3）=2s32=1280?x3?s3，f3（s3）=s32+2s3

0?x3?s32

X?(0,8,0);z?128

8.4用动态规划求解以下线性规划问题。

maxZ?2x1?4x2?2x1?x2?6?x?2?1??x2?4??x1,x2?0设s2=x2,s2+2x1=s1≤6

则有0≤x2=s2≤4，0≤x1≤s1/2用逆推法，从后向前依次有f2(s2)?4s2及最优解x2*=s2

f1(s1)?0?x1?s1/2max[x21?f2s(2?)]0?x1?s1/2maxs1?[4x16]0?x1?s1/2由s2=s1－2x1≤4，s1≤6，取s1＝6，

又1≤x1≤2，取x1＝1，最优解

f1(s1)?max[24?6x1]

f1(s1)?18

X?(1,4)T;z?18

8.510吨集装箱最多只能装9吨，现有3种货物供装载，每种货物的单位重量及相应单位价值如表8.24所示。应当如何装载货物使总价值最大。

表8.24123货物编号234单位加工时间345单位价值设装载第I种货物的件数为xi（i=1,2,3）则问题可表为：maxz?3xxx1?42?53?2x1?3x2?4x3?9?且为整数?x1,x2,x3?0

利用背包问题的前向动态规划计算，建立动态规划模型。由于决策变量离散型值，所以

可用列表法求解。当R=1时，f1(s2)?max(3x1)。计算结果如下：

0?x1?s2/2s201234503366f1（s2）0x1*001122当R=2时，f2（s3）=max[4x2+f1（s3-3x2）]

0?x1?s2/469379381249124计算结果如下：s3x2C2+f2f2（s3）x2*0100000000200333031441066041406517710990612787019101012081212081102011313192113121112

当R=3时，f3（9）=max[5x3+f2（9-4x3）]（x3为整数）=max[f2（9），5+f2（5），

0?x3?20?x2?210+f2（1）]=max[13，12，10]=13

8.6有一辆货车载重量为10吨，用来装载货物A、B时成本分别为5元/吨和4元/吨。现在已知每吨货物的运价与该货物的重量有如下线性关系：

A：P1=10-2x1，B：P2=12-3x2

其中x1、x2分别为货物A、B的重量。假使要求货物满载，A和B各装载多少，才能使总利润最大

A：P1=15-x1，B：P2=18-2x2由题意可得各种货物利润函数为

2g1(x1)?(1?5x1?5x)1x01?1?x1g2(x2)?(1?8x22?4x2)?1x24?x222

原问题的数学模型归结为

最低期望价格，递推公式为

?fk(sk)?min?sk,Qk?,sk?Dk，k?4,3,2,1?f5(s5)?s5，s5?D5?Dk为状态集合?550,650,800,900?则k＝5时，由于若前四周尚未购买，则无论本周价格如何，该企业都必需购入原料所以

*?550,当s5?550，x5?1?*?650,当s5?650，x5?1

f5(s5)??*?800,当s5?800，x5?1?900,*当s5?800，x5?1?当k＝4时，

Q4?0.1f5(550)?0.25f5(650)?0.3f5(800)?0.35f5(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?800?0.35?900?772.5

f4(s4)?min?s4,Q4??min?s4,772.5?s4?D4*?550,当s4?550，x4?1?*??650，当s4?650，x4?1?*s4?800或900，x4?0?772.5，当当k＝3时，

Q3?0.1f4(550)?0.25f4(650)?0.3f4(800)?0.35f4(900)?0.1?550?0.25?650?(0.3?0.35)?772.5?719.625f3(s3)?min?s3,Q3??min?s3,719.625?s3?D3*?550,当s3?550，x3?1?*??650，当s3?650，x3?1?*719.625，当s?800或900，x?033?

当k＝2时，

Q2?0.1f3(550)?0.25f3(650)?0.3f3(800)?0.35f3(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?（0.3?0.35）?719.625?685.256f2(s2)?min?s2,Q2??min?s2,685.256?s2?D2*?550,当s2?550，x2?1?*??650，当s2?650，x2?1?*当s2?800或900，x2?0?685.256，

当k＝1时，

Q1?0.1f1(550)?0.25f2(650)?0.3f2(800)?0.35f2(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?（0.3?0.35）?685.256?662.92

f1(s1)?min?s1,Q1??min?s1,662.92?s1?D1*?550,当s1?550，x1?1?*??650，当s1?650，x1?1?*当s1?800或900，x1?0?662.92，最优购买策略：

若前面四周原料价格为550或650时，则马上购买，否则在以后的几周内再购买。第五周无论当时的价格为多少都必需购买。期望价格为f1(s1)?0.1?550?0.25?650?(0.3?0.35)?662.92?648.4（元）

8.11思考与简答题

（1）简述动态规划模型的特点。

（2）动态规划数学模型由哪些要素构成。（3）动态规划求解的基本步骤是什么。（4）简述动态规划的基本原理。

（5）为什么说动态规划是解决多阶段决策问题的一种思路。

（6）名词解释：阶段、状态、决策、策略、状态转移方程、指标函数、最优指标函数。（7）什么是顺序法和逆序法。（8）什么是无后效性。

（9）指标函数的连和形式与连乘形式各是怎样的函数。（10）状态转移方程是哪些变量的函数。

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第9章排队论

9.1某蛋糕店有一服务员，顾客到达听从?=30人/小时的Poisson分布，当店里只有一个顾客时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1分钟。两种服务时间均听从负指数分布。试求：（1）此排队系统的状态转移图；（2）稳态下的概率转移平衡方程组；（3）店内有2个顾客的概率；（4）该系统的其它数量指标。（1）此系统为[M/M/1]:[?/?/FCFS]排队模型，该系统的状态转移图如下：

（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：

??P0??1P1??P??P?(???)P?02211???P1??2P3?(?2??)P2???Pn?1??2Pn?1?(?2??)Pn??2?3?n?P1?P0P2?P0P3?P0Pn?P02n?1?1?1?2?1?2?1?211（3）已知??30（人/小时）?1＝＝40（人/小时）?2＝＝60（人/小时）1.516060由

?P?1得

ii?0??nP0[1??]?1n?1??n?112?????1P0??1??1????2??303?301令?1＝＝＝,?2＝＝＝，有

?1404?2602???????1

3?P0?[1?1]?1?[1?4]?1?0.411??21?

2?nn?1pn?p???p0012n?1?1?2则P2??1?2P0??31??0.4?0.1542?（4）系统中的平均顾客数（队长期望值）

L??nPn??n?1?2n?1P0??1P0(1?2?2?3?3?...)

n?0n?031??1P0??0.4??1.2(人)22(1??2)4(1?0.5)Lq??(n?1)Pn??nPn??Pnn?1n?1n?12n?1?L??1P0(1??2??2?...??2?...)?L????1

在队列中等待的平均顾客数（队列长期望值）

?1p0

1??23?0.44?1.2??0.6(人)11?2系统中顾客逗留时间

W?系统中顾客等待时间

L?Lq?1.2?0.04(小时)30Wq???0.6?0.02(小时)30

9.2某商店每天开10个小时，一天平均有90个顾客到达商店，商店的服务平均速度是每小时服务10个，若假定顾客到达的规律是听从Poisson分布，商店服务时间听从负指数分布，试求：

（1）在商店前等待服务的顾客平均数。（2）在队长中多于2个人的概率。（3）在商店中平均有顾客的人数。

（4）若希望商店平均顾客只有2人，平均服务速度应提高到多少。此题是属于[M/M/1]:[?/?/FCFS]系统，其中：

?=9（个/小时）?=10(个/小时)???/?=9/10

(1)Lq??/(1??)?8.1（个）

2?3?0.729

(3)L??/(1??)?9（个）(4)L??/(???)?2

??2?9?18??13.5(个/小时)??(2)P(N?2)?22

9.3为开办一个小型理发店，目前只聘请了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。假设需要理发的顾客到来的规律听从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间听从指数分布，平均每3分钟1人。假使要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占要理发的人数比例为7％时，应当安放几个位子供顾客等待？此题属于[M/M/1]:[N/?/FCFS]模型,依题意知：

?＝1/4，?=1/3，???/??3/4，由题意解方程

???e?0.07????e??1?e?1?1?PN?PN?0.07???N??N?1PN??0.071??N?1?N??N?1?0.07?N?1??N(1?0.93?)?0.070.070.07????0.23141?0.93?1?0.93?0.75ln0.2314N??5.087ln0.75N

则应设立4个座位供顾客排队。

9.4某服务部平均每小时有4个人到达，平均服务时间为6分钟。到达听从Poisson流，服务时间为负指数分布。由于场地受限制，服务部最多不能超过3人，求：

（1）服务部没有人到达的概率；（2）服务部的平均人数；（3）等待服务的平均人数；

（4）顾客在服务部平均花费的时间；（5）顾客平均排队的时间。

依题意，这是[M/M/1]:[N/?/FCFS]排队系统。其中：

N=3，?=4，?=10，???/?=0.4

1?ρ（1）P0?=（1-0.4）/[1-（0.4）4]=0.6158N?11-ρ（2）L?0.5616（人）

（3）Lq?0.1616（人）（4）W?0.1404（小时）（5）Wq?0.0404（小时）

9.5某车间有5台机器，每台机器连续运转时间听从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有一个修理工，每次修理时间听从负指数分布，平均每次12分钟。求该排队系统的数量指标，P0，Lq，L，Wq，W和P5。

由题意知，每台机器每小时出故障的平均次数听从泊松分布，故该排队系统为[M/M/1]:[?/m/FCFS]系统，其中：?=1/15，m=5，?=1/12，???/?=0.8

?5?5!P0????k??0.0073

?k?0(5?k)!?1/15?1/12Lq?5?(1?0.0073)?2.766（台）

1/15L?Lq?(1?P0)?3.759（台）

?1Wq?Lq(5?L)??33.43（分钟）

C?C2时，投资项目A或B收益相等；

C1?C2C?C2时，投资项目A，反之投资项目Bp?C1?C2p?11.8A和B两家厂商生产同一种日用品．B估计A厂商对该日用品定价为6,8，10元的概率分别为0.25,0.50和0.25．若A的定价为P1，则B预计自己定价为P2时它下一月度的销售量为800＋200（P1－P2）元．B生产该日用品的每件成本为3元，试帮助其决策当将每件日用品分别定价为6，7，8，9元时的各自期望收益值，按EMV准则选哪种定价为最优．将A厂的定价作为自然状态，B厂的定价策略有四种，计算B厂的收益表及B厂商不同定价时的EMV值。

0.250.50.25A厂按销售量计算B厂6810销售量EMV利润EMV6789800600400200120010008006001600140012001000120010008006003600400040003600故定价7元或8元时，期望收益值为4000最大。计算例如：例如当定价为6元时，期望盈利值为

(6?3)??0.25???800?200?(6?6)??0.5?[800?200?(8?6)]?0.25?[800?200?(10?6)]?

11.9假设今天下雨明天仍为雨天的概率为0.6，今天不下雨明天也不下雨的概率为0.9。(1)求天气变化过程Markov链的一步转移矩阵；(2)若今天不下雨，求后天不下雨的概率；(3)求稳定状态概率。（1）P???3?1200?3600?0.60.4?；（2）0.85；（3）（0.2，0.8）??0.10.9?

11.10某超市销售三种品牌的牛奶A、B及C，已知各顾客在三种品牌之间转移关系为以下矩阵

?3?4?P??0???1??4142314?0??1?3??1?2??(1)有一顾客每天购买一次，今天购买了品牌A，求两天后依旧购买品牌A的概率。

(2)就长期而言，购买各品牌的顾客比例是多少。（1）0.5625(2)(0.2857，0.4286,0.2857)

11.11某企业生产并销售一种产品．把月初销售状况分成好、中、差三个档次，企业可以根据月初销售状况采取不做广告或做广告两种措施。取状态空间E＝{1，2，3}，表示月

初的销售状况为好、中、差，对每一状态i(i＝l，2，3)，均有策略集{1，2}，策略1表示不做广告，策略2表示做广告．由历史资料知，不做广告和做广告的转移概率矩阵分别为

?0.20.50.3??0.50.40.1??，P(2)??0.10.60.3?

P(1)??00.20.8??????01??0??0.050.40.55??不做广告时3种状态的利润向量为r(1)=(7，5，－1)T，做广告时的利润向量为r(2)=(5，4，2)T。

假设商品的营销周期仅为三个月．该企业在每个月初应如何根据当时的销售状况确定该月是

否要做广告，以使这三个月内尽可能多获利。

状态转移概率表11.10-1

表11.10-1状态转移概率转移概率状态策略利润（i）j=1j=2j=3121221323个月的最优策略表11.10-2：1初始状态f01220.20.500.100.05策略f11220.50.40.20.600.40.30.10.80.310.557554-14期望利润115.085211.76538.893表11.10-2的销售策略是：假使期初销售状态为好，第1个月不做广告，假使期初销售状态为中或差，第1个月做广告；假使第1个月的销售状态好，第2个月不做广告，假使销售状态为中或差，第2个月做广告；假使第2个月的销售状态好或中，第3个月不做广告，假使销售状态为差，第3个月做广告。

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f2112

Q?2AD2?100?100??25(件)H32n?D/Q?4(次)f?2HAD?CD?2?32?100?100?7800?100?780800(元)

则（1）最优订货批量为25件；（2）年订货4次；（3）总成本为780800元。

10.5工厂每月需要甲零件4000件，每件零件120元，月存储费率为0.5%，每批订货费为300元，求：（1）经济订货批量及订货周期；（2）提前期为6天时的订货点模型4。D=4000，A=300，H=120×0.005＝0.6，C=120

2AD2?300?4000??2000(件)H0.6t?Q/D?0.5(月)Q?f?2HAD?CD?2?0.6?300?4000?120?3000?481200(元)

（1）则经济订货批量为2000件，订货周期为0.5月（2）L＝6（天）＝0.2（月），R＝4000×0.2＝800（件）10.6求图10－1中缺货周期及缺货周期内的生产时间t2。缺货周期为

t?t3????由于

2AH?BP2ABP?HDBP?DHDH?BP?D2AP?H?BB?????HDP?D?BH?B??2APHDP?DHB(H?B)

2AHPDBH?B(P?D)S＝(P?D)t2?所以

D(P?D)(t?t3)2ADHP－D?PBH?BPt2?S2ADH1?P?DBH?BP(P?D)另解缺货周期：由D(t?t3)?Pt2，有

t?t3?Pt2DP2ADH1?DBH?BP(P?D)2AHPDBH?B(P?D)?

10.7将式(10－1)表达为（Q，S）的函数，推导出最优订货量和订货周期。10.8将式(10－15)表达为（Q，S）的函数，推导出最优订货量和订货周期。

10.9将式（10－22）化为t的函数f(t)，推导出最优解Q*及t*。

10.10证明式(10－15)的持有成本小于式(10－22)的持有成本，并验证当习题10.4的缺货费为100元时的情形。由式（10－24）,Q*?2AD，存储费为HHQH?222AD?HADH2

由式（10－16）及（10－17）：Q1?*2ADB*,t?HH＋B2AH?B；持有成本

HDB1H2ADBHQ12?2Dt2DtHH＋BAB?tH＋B??AHDBB2H?B(H?B)ADH2

证毕。

习题10.4中，D=100，A=100，H=32，C=7800，B=100时，允许缺货的存储费为

1HDBABHQ12?2Dt2A(H?B)(H?B)?不允许缺货的存储费为

32?100?100100?100?263.752?100?(32?100)32?100

ADH100?100?32??400?263.752210.11证明：在式（10－24）中，当Q*在14%范围内变化为Q时，总成本约增加1%。由Q=(1+δ)Q*,δ＝±0.14及式(10.29)，则当δ1＝0.14及δ1＝－0.14时

f(Q)?f(Q*)0.142i1???0.0089?1%

f(Q*)2(1?0.14)f(Q)?f(Q*)(?0.14)2i2???0.0114?1%

f(Q*)2(1?0.14)证毕。

10.12在题4中，假定工厂考虑滚动资金问题，决定宁可使总成本超过最小成本5%作存储策略，求此时的订货批量。

引用例10.7的结果：i=0.05时δ1=0.37及δ2=－0.27，当δ1=0.37时，由题2的结果有

Q?(1?0.37)Q*?1.37?25?34.25(件)当δ1=－0.27时

Q?(1?0.27)Q*?0.73?25?18.25(件)

订货量约为18件。

10.13假定习题10.5中的需求现在是1500件，存储费和订货费不变，问现在的经济订货批量和订货周期各是原来的多少倍。

D??1500,D?4000,D??0.375D,??0.375,Q???Q*?0.375Q*?0.612Q*

t??Q?0.612Q??1.632t?D?0.375D则现在的经济订货批量和订货周期各是原来的0.612倍和1.632倍。

10.14证明式（10－18）中，当订货费、存储费和缺货费同时增加δ倍时，经济订货批量不变。

由式(10.18)知

Q?2?AD?H??B?Q?

?H?B表10.16

10.15商店拟定在其次、三季度购买一批空调。预计销售量的概率见表10.16。

需求量x（百台）i

概率pi

00.01

10.15

20.25

30.30

40.20

50.09

已知每销售100台空调可获利润4500元，假使当年未售完，就要转到下一年度销售，每

一百台的存储费为500元，问商店应购买多少台空调最正确。P－C＝4500，H=500，B=0，C－S=0，

Co＝C－S＋H＝500，Cu=P－C＋B＝4500

SL?3Cu4500??0.9

Cu?Co5000?pi?0i?0.01?0.15?0.25?0.3?0.2?0.91

商店最正确订货量为400台。

10.16航空公司有一班从武汉到广州的航班，票价是1500元，185个座位。由于经常出现一部分旅客放弃预定的座位的状况，所以航空公司接受的预定稍大于185。万一出现有多于185人来乘坐这趟航班的状况，航空公司就会在旅客中征集愿意乘坐晚些时候航班的志愿者，并赠送他一张价值500元的代用券作为补偿，这张代用券可以用于将来任何时候的该航空公司的航班。

根据以往类似航班的经验，放弃预定座位的乘客数听从[0，8]上的均匀分布。请您为航空公司确定应接受多少座位的预定。Cu=1500,Co=500,

Cu1500??0.75

Co?Cu1500?500Q0p{x?Q}??则航空公司应预订191个座位。

1Q??0.75，Q=8×0.75＝688注意：此题的需求量为放弃已预定座位的乘客数x，订货量为超额售票数量（0≤Q≤8）实际订票数为185＋Q。当超额售票数大于放弃已预定座位的乘客数时为供过于求，例如；Q＝5，x＝3，那么卖了190张票，来乘坐飞机的乘客有190－3＝187，就有两个个乘客不能乘坐飞机，航空公司损失500×2＝1000元。C=1500，P=1500，B＝1500，S＝1000，H＝0。10.17由于电脑不但价格变化快而且更新快，某电脑商尽量缩短订货周期，计划10天订货一次。某周期内每台电脑可获得进价15％的利润，假使这期没有售完，则他只能按进价的90％出售并且可以售完。到了下一期电脑商发现一种新产品上市了，价格上涨了10％，他的利润率只有10％，，假使没有售完，则他可以按进价的95％出售并且可以售完。假设市场需求量的概率不变。问电脑商的订货量是否发生变化，为什么。（1）设初期价格为C，Cu=0.15C，CO＝0.1C，则

SL1?Cu＝0.6

Cu＋Co（2）设单价为C，Cu=0.1×1.1C，CO=0.05×1.1C，则

SL2?Cu?0.666

Cu＋Co由于SL2>SL1,所以应增加订货量。

10.18鲜花商店准备在9月10日教师节到来之前比以往多订购一批鲜花，用来制作“园丁颂〞的花篮。每只花篮的材料、保养及制作成本是60元，售价为120元/只。9月10日过后只能按20元/只出售。据历年经验，其销售量听从期望值为200、均方差为150的正态分布。该商店应准备制作多少花篮使利润最大，期望利润是多少。P＝120，C＝60，S=20，B＝H＝0

Co＝C－S＋H＝40，Cu=P－C＋B＝60

SL?Cu60??0.6

Cu?Co100?Q?200?F0???0.6

150??查正态分布表得到

Q?200?0.25，则Q=150×0.25+200＝238（件）。期望利润为6204.85

150元。

10.19某涂料工厂每月需要某种化工原料的概率听从75吨至100吨之间的均匀分布，原料单价为4000元/吨，每批订货的固定成本为5000元，每月仓库存储一吨的保管费为60元，每吨缺货费为4300元，求缺货补充的（s，Q）存储策略。

该题增加条件L=6天。C＝4000，A=5000，H＝60，B=4300，p=100，q＝0；均匀分布（Uniform）：a=75，b=100，L＝0.2月，平均需求量（100+75）/2＝87.5。提前期内的平均需求量为87.5×0.2＝17.5，分布参数为100*0.2－75*0.2＝5。迭代过程见下表。

数据H=D=6087.5订货量Q(i)Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=Q*=120.80965

不缺货的概率F(s)

再订货点s(i)安全存量SS(i)

4.90SS(1)=4.90SS(2)=4.90SS(3)=4.90SS(4)=4.90SS(5)=

-12.60-12.60-12.60-12.60-12.60120.7615F(1)=120.8096F(2)=120.8096F(3)=120.8096F(4)=120.8096F(5)=s*=

4.90370.9807s(1)=0.9807s(2)=0.9807s(3)=0.9807s(4)=0.9807s(5)=

A=5000B=4300q=a=

05q=0时：

公式：Q(1)=SQRT(2*C5*C4/C3)

Q(2)=SQRT((2*$C$5*$C$4+$C$4*$C$6*$C$8+$C$4*$C$6*J3^2/$C$8-2*$C$4*$C

$6*J3)/$C$3)

F(1)=1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)s(1)=$C$8*H3SS(1)=J3-17.5

Q*=SQRT(C5*C4*2/C3)*SQRT(C4*C6/(C4*C6-C3*C8))s*=C8*(1-C3*F9/(C6*C4))

其余单元格用上一步迭代公式复制即可。

最优存储策略为：再订货点s＝5，订货量Q＝121。结果显示，安全存量为负数，一次订货

量是一个月平均需求量的1.37倍，这是由于一次订购成本很大、持有成本较小引起的。10.20若H=0.15，B=1，A=100，L=1/10（年）,在L这段时间内的需求量听从μ=1000，σ2=625的正态分布，年平均需要量D=10000件，求缺货补充的（s，Q）存储策略。迭代过程见下表。

数据H=A=B=q=μ=0.1510010100025s(i)s(1)=s(2)=D=10000订货量Q(i)Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=Q(6)=f((s-μ)/σ)G((s-μ)/σ)0.05840.0720b(i)不缺货的概率F(s)(s-μ)/σ(查表）

0.94521.60000.94541.60000.94531.60000.94541.60000.94541.60000.94541.60003651.4837F(1)=3638.1334F(2)=3644.4866F(3)=3643.2734F(4)=3640.9071F(5)=3640.4113F(6)=σ=安全存量SS(i)40.0040.00

1040.00001040.00000.0548-0.7299SS(1)=0.0546-0.3829SS(2)=

s(3)=s(4)=s(5)=s(6)=

1040.00001040.00001040.00001040.0000

0.06950.06430.06320.0632

0.0547-0.4492SS(3)=0.0546-0.5785SS(4)=0.0546-0.6055SS(5)=0.0546-0.6052SS(6)=

40.0040.0040.0040.00

公式：Q(1)=SQRT(2*C5*C4/C3)

Q(2)=SQRT((2*$C$4*($C$5+$C$6*N3)/$C$3))F(1)=1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)s(1)=I3*$C$9+$C$8G=1-H3

b(1)=$C$9*L3+($C$8-K3)*M3其余单元格用上一步迭代公式复制即可。(s-μ)/σ、f((s-μ)/σ)查表得到

最优存储策略为：再订货点s＝1040，订货量Q＝3640。

10.21在习题10.19中，假设在提前期L内平均有订单10吨。求缺货补充的（s，S）存储策略。

O=10,s/＝5，Q＝121，s＝s/＋O/2=10，S=5+121=126，则再订货点s＝10，订货量等于126减去当前存量。

10.22思考与简答题

（1）确定型与随机型存储模型如何判断。（2）什么是EOQ模型。

（3）名词解释：生产准备成本、提前期、再订货点。

（4）一定的供货速率，比较允许缺货与不允许的订货批量、订货周期。（5）供货速率无穷大时，比较允许缺货与不允许的订货批量、总成本。

（6）供货速率无穷大，缺货后部分补充，补充的概率为P，不补充的概率为1－P,试推导存储模型。

（7）当缺货成本增加1%时，总成本是不是也增加1%，为什么。（8）解释最优服务水平的经济含义。

（9）离散型随机模型中，订货量等于累计概率与SL最接近的需求量，这种方法对不对。（10）（s，Q）模型与（s，S）模型有何关系。

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第11章决策论

11.1某空调生产厂家要决定今年夏季空调产量问题．已知在正常的夏季气温条件下该空调

可卖出12万台，在较热与降雨量较大的条件下市场需求为15万台和10万台．假定该空调价格随天气程度有所变化，在雨量较大、正常、较热的气候条件下空调价格分别为2200元、2500元和2800元，已知每台空调成本为1800元．假使夏季没有售完每台空调损失400元，在没有关于气温确凿预报的条件下，工厂要对空调产量进行决策。（1）建立利润矩阵表；

（2）分别用乐观法、悲观法、等可能法及最小悔恨值法对生产量作出决策。（1）厂家策略：生产10、12和15万台3种；自然状态：雨量较大、正常、较热。三种气候条件下销售一台空调的利润分别是400、700和1000元。3种策略与3种气候状态对应的利润表如下。

雨量较大(10)正常(12)较热(15)101215400032002000700084007200100001200015000（2）乐观法：15万台；悲观法：10万台；等可能法：三种方案的平均利润分别为700、7866.67、

8066.67，生产15万台。

机遇损失表

雨量较大(10)正常(12)较热(15)101215最小悔恨值法：生产15万台。

11.2制药厂欲将一种新产品推向市场，拟定三种推销策略S1（电视广告，对象是群众），S2（派推销员各地驻点，对象是药品经销商），S3（召开产品宣传推广现场会，对象是各大医院）；每种策略都可能出现效果较好、一般及较差三种状态。不同策略的费用不一样，时效也不一样，如采用电视广告宣传时效较短，现场会的时效较长。收益见表11－22。

表11－22效果较好一般较差策略S1S2S3806050605040－2003008002000140001200500030000（1）若乐观系数α=0.4，请用非确定型决策的各种决策准则分别确定出相应的最优方案．（2）已知效果较好、一般和较差的概率是0.3、0.4和0.3，求收益期望最大与悔恨期望最小的策略。（1）用五种准则进行决策：

悲观法：v=30,选择S3，场推广会乐观法：v=80,选择S1，电视广告；

等可能法：v=40,选择S1或S3，电视广告或现场推广会折衷法：v=38,选择S3，现场推广会

悔恨值法v=30，选择S2或S3，即派推销员各地驻点，对象是药品经销商或召开产品宣传推广现场会，对象是各大医院。

效果策略S1S2S3较好0.302030一般0.401020较差0.350300Max503030期望悔恨值151917（2）收益期望最大法：v=42,选择S1，电视广告；悔恨期望值法：v=15，选择S1：电视广告

11.3在一台机器上加工制造一批零件共10000个，如加工完后逐个进行修整，则全部可以合格，但需修整费300元．如不进行修理，根据以往资料统计，次品率状况见表11－23．

表11－23

次品率（E）0.02概率P（E）0.200.040.400.060.250.080.100.100.05一旦装配中发现次品时，需返工修理费为每个零件0.50．要求：

（1）用期望值决定这批零件要不要整修；

（2）为了获得这批零件中次品率的正确资料，在刚加工完的一批10000件中随机抽取130个样品，发现其中有9件次品，试修正先验概率，并重新按期望值决定这批零件要不要整修．（1）先列出损益矩阵见表11.3-1

表11.3-1EP（E）S1：零件修正S1：不修正0.020.2-300-1000.040.4-300-2000.060.25-300-3000.080.10-300-4000.100.0