暑假九年级尖子班培优教材

本文格式为Word版，下载可任意编辑——暑假九年级尖子班培优教材

函数图象上点的存在性问题中的全等、相像与角度（真题实战练习）

(2023—2023昌平二模)抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B。

⑴求抛物线的解析式；

⑵已知点D(m，1－m)在其次象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点的坐标；⑶在⑵的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求出点P的坐标。

(2023—2023东城二模)如图，二次函数过A(0，m)、B(-3，0)、C(12，0)，过A点作x轴的平行线

交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连结DP，作PE⊥DP，交y轴于点E。⑴求AD的长；

⑵若在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都与点A重合，试求m的取值范围。⑶设抛物线的顶点为点Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求m的变化范围。

板块二二次函数与多个角：在抛物线上找点，满足两角和(差)关系

二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，

在二次函数的图象上是否存在点P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。

1

(2023年北京中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点。

⑴求直线BC及抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；⑶连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数。

测试题

21??1．如图，平行四边形ABCD的顶点A??12，0?，B?0，9?，C?0，?，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、

4??B。

⑴求点D的坐标．

213⑵关于x的方程ax2?bx?c??x有且只有一个解，求抛物线的解析式．

44⑶在⑵的条件下，点P为抛物线y?ax2?bx?c上一动点(不与A、过点P作x的垂线交线段CDB重合)，于Q，若∠AQD?45??∠BQC，直接写出点P的横坐标。

yBCAOxD

132．抛物线y?x2?x?1过点A?1，0?，B?x2，0?，交y轴正半轴于点C，在抛物线上(在B点的右侧)是

22否存在一点P，使得?PCB??CBA??ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y0?，点C的坐标为?0，3?．轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为?1，⑴求抛物线及直线AC的解析式；

⑵E、F是线段AC上的两点，且?AEO??ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N。当MF?DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角?QCO与?BCO的大(直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围)。

2

4．(2023海淀二模)如图，已知抛物线y?(3?m)x2?2(m?3)x?4m?m2的顶点A在双曲线y?

3

上，直线yx

＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C。⑴确定直线AB的解析式；

⑵将直线AB绕点O顺时针旋转90?，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；

⑶过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6。设点N在直线BG上，请你直接写出访得∠AMB＋∠ANB＝45?的点N的坐标。

yyAABBFCOxCEODx3

函数图象上点的存在性问题中的全等、相像与角度(常考知识点精析)板块一二次函数与一个角

在抛物线上找点，满足特别角。

摸索：用角来刻画直线和抛物线的位置关系。

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，是否存在点P，使∠POx为

45°，若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(

1，0)，是否4存在点P，使∠PAx分别为45°或30°？若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x上一动点，点A的坐标为(1，0)，若点P

使∠PAx最小，请求出点P的坐标。

2

4

二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，

在二次函数的图象上是否存在点P，使得∠PAC为锐角？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。

二次函数图象经过点A(-3，0)，B(-1，8)，C(0，6)，直线y＝

二次函数图象上一动点，若∠PAD＝45°，求点P的坐标。

2x＋2与y轴交于点D，点P为3

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(4，2)，若使

∠AOP＝45°，请求出点P的坐标。

5

函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（常考知识点精析）板块一摸索抛物线上的点存在性之距离

一、二次函数与线段定值

摸索：用距离来刻画动点的位置

抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到直线y?x的距离为2，求点P的坐标。2

抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标。

6

抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和x轴的距离相等，求P点坐标。

抛物线y??x2?2x?3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为△BOC内一点，且点P到△BOC三边所在直线的距离相等，求P点坐标。

二、二次函数与线段最值

中考说明：动点满足线段间大小关系、和差最值等。中考主要考察以下两点：1．“两点间线段最短〞2．“垂线段最短〞1．“两点间线段最短〞下面按三大变换来分类：

已知AB?a，AC?b，其中a?b，求BC的最值。

1．在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。

7

2．直线l1、l2交于O、P是两直线间的一点，在直线l1、l2上分别找一点A、B，使得△PAB的周长最短。

3．直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，

再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ＋QB最小。

1．从A点出发，先到直线l上的一点P，再在l上移动一段固定的距离PQ，再回到点B，求作P点使移

动的距离最短。

2．A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短。

2．“垂线段最短〞

8

函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（真题实战练习）(2023延庆一模)

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过B(0，4)，C(5，9)直线BC与x轴交于点A。

⑴求出直线BC及抛物线的解析式。

⑵D(1，y)在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M，N，且MN＝2，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由。⑶现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为32的点P。

(2023苏州)

如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)。⑴求抛物线的解析式；

⑵设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧。若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2＋PB2＋PM2＞28是否总成立？请说明理由。

9

板块二摸索抛物线上的点存在性之面积最值

抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，若点E为其次象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。

如图，抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，线段BC向上平移3个单位得到对应线段B′C′，抛物线上一动点P(点P在平行四边形BCC′B′中)，是否存在点P，使得S△PBC－S△PB′C′的值最大。

(2023朝阳一模)

3已知直线y＝kx－3与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线y??x2?mx?n经过点A和点C，

4动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。⑴求此抛物线的解析式和直线的解析式；

⑵假使点P和点Q同时出发，运动时间为t(秒)，试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；

⑶在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由。

10

测试题

演练1

几何模型：

条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点。

问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小。

方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，则PA?PB?A?B的值最小(不必证明)。

模型应用：

⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点。连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称。连结ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是___________；

⑵如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是___________；

⑶如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是___________。

11

演练2(2023绵阳)

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的两个交点分别为A(-4，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，顶点为D。E(1，2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。⑴求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

⑵在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

⑶若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积。

演练3(2023顺义二模)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(2，0)、B(4，0)两点，直线y?

1x?2交y轴于点2C，且过点D(8,m)。⑴求抛物线的解析式；

⑵在x轴上找一点P，使CP?DP的值最小，求出点P的坐标；⑶将抛物线y?x2?bx?c左右平移，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，当四边形A'B'DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC周长的最小值。

演练4(2023门头沟)

4?、C?4，0?三点。0?、B?0，如图：抛物线经过A??3，

⑴求抛物线的解析式；

⑵已知AD?AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；⑶在⑵的状况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ?MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

12

函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形板块一摸索抛物线上的“特征图形〞

已知抛物线y＝x2－2x－3的的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的面积。

已知抛物线y＝x2－2x－3的的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ是正方形，求正方形DPCQ的面积。

板块二摸索抛物线上的特别图形

抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C，顶点为D。设J为y轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点K，使得△OKJ为等腰直角三角形。求点K的坐标。

已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C，顶点为D。设L为抛物线上一个动点，N为x轴上的一个动点，则以点L、N、B、C为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由。

13

已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C，顶点为D。点M是对称轴与x轴的交点。设R为抛物线上一个动点，则以点M、R、B、C为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R的坐标；若不能，请说明理由。

板块三摸索抛物线上的两个图形关系

两个图形的关系重点在两个三角形全等和相像。(2023泰州)

1如图，二次函数y??x2?6的图象与x轴交于A、B两点。设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的

2两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？假使存在，请举例验证你的猜想；假使不存在，请说明理由。

已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C，顶点为D。设G点为抛物线上一个动点，过G作GH垂直x轴于点H，若△BCD与△BHG相像，是否存在符合条件的G点坐标?若存在，请求出G点坐标，若不存在，请说明理由。

14

函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形

已知：抛物线y＝(k－1)x2＋2kx＋k－2与x轴有两个不同的交点。⑴求k的取值范围；

⑵当k为整数，且关于x的方程3x＝kx－1的解是负数时，求抛物线的解析式；

⑶在⑵的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长。

(2023昌平一模)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3，1)关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处。⑴求点C、D的坐标；

⑵求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；

15

⑶若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q。①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；

②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标。

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(5，0)、B(6，-6)和原点。⑴求抛物线的解析式；

⑵若过点B的直线y＝kx＋n与抛物线相交于点C(2，m)，求△OBC的面积；

⑶过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E。是否存在点P，使得以C、E、P为顶点的三角形与△OCD相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

16

测试题

实战演练

演练1(2023山东烟台)

0?，B?0，?3?，与x轴交于另一点C。如图，已知抛物线y?x2?bx?3a过点A?1，⑴求抛物线的解析式；

⑵若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

演练2(2023大兴二模)

已知，在Rt△OAB中，∠OAB?90?，∠BOA?30?，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如下图的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。

⑴求点C的坐标；

⑵若抛物线y?ax2?bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

⑶若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

演练3(2023大兴一模)

2已知抛物线y?x?2x?a(a?0)与y轴相交于点A，顶点为M。直线y?

1x?a分别与x轴，y轴相2交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N。

⑴填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(，)N(，)；

⑵如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；⑶在抛物线y?x?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由。

2

17

由图形运动产生的函数关系（经典题目精讲）

(2023湖北仙桃四市)

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，23)，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度。设点P运动的时间为t秒。

⑴求OH的长；

⑵若△OPQ的面积为S(平方单位)。求S与t之间的函数关系式。并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

⑶设PQ与OB交于点M。

①当△OPM，为等腰三角形时，求⑵中S的值。

②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论。

(2023XX)

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时中止运动，点Q也随之中止。设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)。⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；⑵当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？

⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

⑷△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

18

(2023义乌)

如下图，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上。过点B、C作直线l。将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E。⑴将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中阴影部份)为S，S关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4。①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；

⑵在第⑴题的条件下，当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合)，在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

19

由图形运动产生的函数关系（难题挑战）(2023辽宁锦州改编)

如图直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点B与点G重合时中止移动。设梯形与正方形重叠部分的面积为S。⑴求正方形的边长；

⑵设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；⑶当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由。

(2023上海黄浦)

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFH。⑴试求△ABC的面积；

⑵当FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

⑶设AD＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑷当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。

(2023山东日照)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N。以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM＝x。⑴用含x的代数式表示△MNP的面积S；⑵当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

⑶在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

20

测试题

1．(2023甘肃兰州)如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为?0，4?，点C在第一象限。10?，?8，动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以一致速度在x轴

正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时中止运动，设运动的时间为t秒。

⑴当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；⑵求正方形边长及顶点C的坐标；

⑶在⑴中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

⑷假使点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由。

yDACPBx111OOQ图①x10t图②

2．(2023怀柔二模)已知如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5。点P从点C出发沿CA以每秒

1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时中止运动，点Q也随之中止。伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)。⑴当t＝2时，AP＝，点Q到AC的距离是；

⑵在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

⑶在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

BEQDAPC

3．(2023中山)如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AD?DC?2cm，BC?4cm，在等腰?PQR中，?QPR?120?，底边QR?6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，假使等腰?PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰?PQR重合部分的面积记为S平方厘米。⑴当t?4时，求S的值；

⑵当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

AlDC(Q)图11PBR

21

4．(2023宁德)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB?30?。点E、F同

时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动。已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG。设E点移动距离为x(x＞0)。

⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示)，当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求(2)中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值。

ADGBEFC

22

代数综合（中考热点）

已知关于x的方程mx＋2＝x①的根是负实数，(m?2)x2?(2m?3)x?1?m?0②有实根。⑴求m的取值范围；

⑵若两方程的根均为整数，求整数m的值；

⑶求证：无论m取何值，抛物线y?(m?2)x2?(2m?3)x?1?m总经过一个定点；

⑷在⑵的条件下，若a是两方程中较大的整数根，对于b取任意实数，关于x的方程ax2－2bx＋c＋b＝0都有实根，求c的最小值；⑸在⑷的条件下，当c取最小值时，抛物线y＝ax2－2bx－c＋b与直线y＝-bx＋a只有一个交点，求b的值。

一元二次方程x2?(2m?4)x?m2?4m?0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物线y?点的横坐标。

⑴求x2－x1的值。

3????且b＞0，求抛物线的解析式；⑵若抛物线过点?0，2??12x?bx?c与x轴的两个交2⑶在⑵的条件下，若反比例函数y2?3k1(x?0，k?0)的图象与抛物线y?x2?bx?c的图象在第一象限内x2的交点为A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围。

已知抛物线y?(m?1)x2?2mx?m(m为整数)经过点A(1，1)，顶点为P，且与x轴有两个不同的交点。⑴判断点P是否在线段OA上(O为坐标原点)，并说明理由；

⑵设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，是否存在实数m，使x1＜m＜x2?若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

23

测试题

1．已知关于x的方程kx2?2?k?1?x?k?1?0①有实根。

⑴求k的取值范围；

⑵在⑴的条件下，若k是不大于5的整数，且方程①的根为整数，求满足条件的k的值；⑶求证：无论k取何值，抛物线y1?kx2?2?k?1?x?k?1必经过一个定点；

⑷一次函数y2?mx?n经过⑶中的定点，且无论k取何值，y2与y1均只有一个交点，求m的值。

2．已知一次函数y1?2x，二次函数y2?x2?1。

⑴根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：

?3?2?10x123

y1?2x

y2?x2?1

⑵观测第⑴问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对

应的函数值y1≤y2均成立；

2?，且在实数范围内，对于x的同一⑶试问，是否存在二次函数y3?ax2?bx?c，其图象经过点??5，个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，

请说明理由。

3．已知a是关于x的一元二次方程x2?mx?n?0①的根。

115⑴若m2?17n2?8mn?n??0，求a3?a?1的值。

2164⑵若a?5?2，m、n为有理数，求m?n的值。

82222023⑶若m?y?，n?y2?y?，求?x?2y?的值。

55552⑷若m?1?，n?1，求y的范围。

y

4．(2023海淀二模)已知关于x的一元二次方程x2?2?m?1?x?m2?4m?0

⑴若m?0，求方程的根(用含m的代数式表示)；

⑵假使函数y?x2?2?m?1?x?m2?4m的图象与x轴交于两个整数点，且2?m?15，求整数m的值。⑶当满足⑵的条件时，设函数y?x2?2?m?1?x?m2?4m的图象与y轴、x轴的交点分别为A、B、C，若过点A做直线y?kx?b的图象交x轴于点D，这条直线与坐标轴所形成的三角形的面积等于△ABC的面积，求直线解析式。

24

几何变换（中考必考难点精析）一、平移变换

⑴如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平形移动2秒，这时，该三角形扫过的面积(阴影部分)。

⑵如图，线段AB沿着四个方向①②③④都平移a个单位长度，线段AB扫过的面积最大的是。(填序号)

如下图，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且∠AOC＝60°，求证：AC＋BD＞1。

二、轴对称变换

在△ABC中，∠A＝45°，AB＝7，AC＝42，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的动点，求△DEF的最小周长。

25

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于E(AE＜BE)，AD、CE相交于F，连接BF，且CD＝DF⑴求证：AD＝BD。

⑵写出AE、AC、BE之间的数量关系，并证明。

⑶写出AF＋BC和AC＋BF之间的大小关系，并证明。

△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB＝DA，

⑴当BP与BA重合时(如图)，∠BPD＝；

⑵当BP在∠ABC的内部时(如图)，求∠BPD的度数；

⑶当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形。

26

几何变换（中考必考难点真题精讲）轴对称变换

阅读以下材料：

问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且?AMD?90?，试判断AB＋CD与AD之间的大小关系。

小雪同学的思路是：作B点关于AM的对称点E，连接AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

请你参考小雪同学的思路，探究并解决以下问题：⑴写出上面问题中AB＋CD与AD之间的大小关系；

⑵如图2，若将?AMD的度数改为120°，原问题中的其他条件不变，

1证明：AB?BC?CD≥AD；

2

，BC?22，求AD的最大值。⑶如图3，若?AMD?135?，AB?1

四边形ABCD是一个凸四边形，?CBD?2?ADB，?ABD?2?CDB，AB?BC，求证：AD?CD。

27

点P为△ABC内部一点，使得?PBC?30?，?PBA?8?，且?PAB??PAC?22?，求?APC。

三、旋转变换

在四边形ABCD中，对角线AC平分?DAB。

⑴如图甲，当?DAB?120?，?B??D?90?时，求证：AB?AD?AC；

⑵如图乙，当?DAB?120?，?B与?D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

⑶如图乙，当?DAB?90?，?B与?D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，?ABC??，在四边形BDEC中，DB＝DE，?BDE?2?，M为CE的中点，连接AM，DM。

⑴在图中画出?DEM关于点M成中心对称的图形；⑵求证：AM?DM；

⑶当?___________时，AM＝DM。

28

几何变换（中考必考难点难题挑战）

如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE＝∠ACB＝90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连结GF。

⑴FG与DC的位置关系是_______，FG与DC的数量关系是_______；

⑵若将△BDE绕B点旋转180°，其它条件不变，如图，并判断⑴中的结论是否依旧成立？请证明你的结论。

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角。点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答以下问题：

⑴假使AB＝AC，∠BAC＝90°。

①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为_________，数量关系为________。

29

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否依旧成立，为什么？

⑵假使AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C、F重合除外)？画出相应图形，并说明理由。(画图不写作法)

⑶若AC＝42，BC＝3，在⑵的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′(使∠BCE′＜180°)，连接AD′、BE′，设直线BE′与AC交于点O。⑴如图1，当AC＝BC时，AD′∶BE′的值为_________；

⑵如图2，当AC＝5，BC＝4时，求AD′∶BE′的值；

30

已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO。连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。

⑴如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，则△PMN的形状是______，此时

AC_____；BC

⑵如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝2α，证明：△PMN∽△BAO，并计算含α的式子表示)；

AC的值(用BC

⑴如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，求证：S△DMC＝S△BNC。

⑵已知AD为∠BAC的角平分线，CD∥BE，CF∥BD，求证：BF＝CE。

31

测试题

实战演练

演练1

如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是等边三角形，点E、F分别在边BC、CD上，且AB?AE，则∠B?。

演练2

在四边形ABCD中，∠ADB?∠ABC?105?，∠DAB?∠DCB?45?，若A到直线BD的距离为101，则线段CD的长度为__。

演练3

如图，已知∠BAD?∠DAC?9?，AD?AE，且AB?AC?BE，求∠B。

F

AA演练4

阅读以下材料：

小贝遇到一个好玩儿的问题：在矩形ABCD中，AD?8cm，AB?6cm。现有一动点P按以下方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰见矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一直依照这种方式不停地运动，即当P点碰见BC边，沿着与BC边夹角为45?的方向作直线运动，当P点碰见CD边，再沿着与CD边夹角为45?的方向作直线运动，?，如图1所示。问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所．．．．．．经过的路径的总长是多少。

BDCEBDCE

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD。由轴对称的知识，发现P2P3?P2E，P1A?PE1。

请你参考小贝的思路解决以下问题：

⑴P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径地总长是_______________cm；

32

⑵进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD?AB。动点P从A点出发，依照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为_________。

演练5

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE。我们探究以下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

⑴①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度?，得到如图2、图3的情形。请你通过观测、测量等方法判断①中得到的结论是否依旧成立，并选取图2证明你的判断。

AGDFHB图1CEBC图2EADOGFBG图3AEFCD

k?0?，第⑴⑵将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB?a，BC?b，CE?ka，CG?kb?a?b，题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由。

1⑶在第⑵题图5中，连结DG、BE，且a?3，b?2，k?，求BE2?DG2的值。

2AGBDFEBADAFFEBG图6ECDGHOC图5C图4

演练6

如图1，在△ABC中，AC?BC，?C?120?，D在BC边上。△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF。

ECFDA图1B

33

⑴请直接写出CF、DF的关系，不必说明理由；

⑵若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转90?，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的△DBE绕点B顺时针旋转?（0°＜?＜60°），其它条件不变，如图2，试回复⑴中的结论是否成立？并说明理由。

ECFDA图2B

演练7

如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG?AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG?GE，连接BE，CE。⑴求证：BE?BC；

⑵如图2，?CBE的平分线交AE于N点，连接CN、DN，

2BN②BN?DN?2AN；2⑶若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为。

求证：①AG?CN?AGBPED图1C

34

图形变换与动手操作（必考点，易错点）(2023年天津市)

在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点。

⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上(BG＜GC)，另一端F落在矩形的边上，BG＝10。

⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；

⑵求出折痕GF的长。

已知△ABC，∠ABC＝∠ACB＝63°。如图1所示，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形。请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数(假使经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法)。

35

在正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按以下要求作图：

⑴在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；

⑵联结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC。请你依照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这三个直角三角形的斜边长。

在△ABC中，BC＝a，BC边上的高h＝2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示。

请你解决如下问题：

在△A′B′C′中，B′C′＝a，边上的高h?1a。请你设计两种不同的分割方法，将△A′B′C′沿分