有限差分法在静态电磁场数值计算中的应用

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摘要

详细介绍了静态电磁场场向量及位函数的微分方程，并利用有限差分法进行离散化，给出用逐次超松弛迭代法解以位函数为待求量的差分方程的迭代格式，并举一典型例子，用C语言编程求解场域电位分布及等电位点，然后利用MATLAB绘制等位线。

前言

在工程上碰见的电磁场问题有大量是属于静态电磁场计算,这就要求求得满足实际条件的麦克斯韦方程的确切解答,然而只有一些典型几何形状和结构相对简单的问题才有可能求得严格的解析解。对于实际的工程电磁场问题,由于结构、边界繁杂，要求它的解析解并非易事,而且在绝大多数状况下都是十分困难的。为此，发展了电磁场数值计算方法,以弥补解析法的不足,有限差分法便是其中的一种。

1.电磁场正问题数值分析的任务和内容

归属电磁场分析研究领域的各类电磁装置中的电磁场问题，其共同的基本点在于给定场的计算区域、各区域材料(媒质)组成和特性，以及鼓舞源的特性，求其场域中场量随时间、空间分布的规律(场分布)，即构成为电磁场的正问题。因而，对应于电磁场正问题的电磁场数值分析的任务是根据电磁场的基本特性，即基于麦克斯韦方程组。首先，建立迫近实际工程电磁场正问题的连续型的数学模型；然后，采用相应的数值计算方法，经离散化处理，把连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型—由离散数值构成的联立代数方程组(离散方程组)，应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学模型的离散解(即场量的数值解)；最终，在所得该电磁场正问题的场量(含位函数)离散解的基础上再经各种后处理过程，就可以求出所需的场域中任意点处的场强、任意区域的能量、损耗分布，以及力、力矩和各类电磁参数与性能指标等，以达到对给定的工程电磁场正问题进行理论分析、工程判断乃至优化设计等目的。

2.电磁场的特性及其数学模型

2.1电磁场的基本规律——麦克斯韦方程组

宏观电磁现象的基本规律可以十分简单地用一个方程组，即麦克斯韦方程组来表示。这一电磁场基本方程组的基本变量为四个场向量：电场强度E（V/m）、磁感应强度B（T）、电位移向量D（C/m）和磁场强度

H（A／m）；以及两个源量：电流密度J（A/m2）和电荷密度?（C/m3）。在静止媒质中其微分形式可以表

2示为

????????????H?J??E???B?0?D???B?t?D?t（1）

2.2场向量及位函数的微分方程

鉴于工程电磁场问题分析的需要，若直接基于麦克斯韦方程组求解，则因在数学上该多重耦合、多变量的微

分方程组较难着手处理，因此，人们乐于面对在解耦状况下分别由单个场向量所给定的微分方程。为此，基于麦克斯韦方程组导出由场向量H、B、E、D或J所满足的偏微分方程。

（1）理想介质(??0)中的电磁波方程（波动方程）

?H??B?E?????0（2）

????2?????t22?1

（2）没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）

?E?0（3）

（3）没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）

?H?0（4）

基于以上基本场向量所满足的微分方程，可分析带求电磁场的分布，以及所感兴趣的表征场特性的各积分量

与参数。但是一个场向量的微分方程对应于由其三个分量所描述的三个标量微分方程。换句话说，在任一场点上，待求的自由度数是三个，因此，经离散化处理后所得等价的离散数学模型的自由度数，一般是相当可观的。为了有效地减少持求自由度数，提高电磁场数值计算的效率，同时也为了简化概念，更简便地构造数学模型，引入和应用各种位函数在电磁场理论的发展进程中起到了重要的作用。

在静电场状况下，位函数方程即为泊松方程

????222??（5）

在无电荷分布的场域中，位函数?应满足拉普拉斯方程

???0（6）

2.3定解条件

以上分别基于基本场量和位函数，已经说明各种状态下电磁场特性的数学描述。就微分方程理论而言，以上

探讨回复了微分方程型数学校型构造中的泛定方程(控制方程)问题，也就是说，在数学上已经给出各类电磁场问题的“共性〞描述。但是，作为完整的数学模型构造的另一重要方面．则在于以实际物理问题为背景，还必需给出所谓定解条件，即待求电磁场问题的“特性〞描述。然后，由泛定方程与定解条件的组合方能构成一个对应于具体问题，在数学上有唯一稳定解的偏微分方程的定解问题。

可以看出，前述各种状态下场向量H、B、E、J和位函数的微分方程，均为一元二次线性偏微分方程，这类偏微分方程定解问题的定解条件应包含给定待求场函数u?r,t?的初始条件和边界条件；（1）初始条件——与时间坐标t相联系，给出初始瞬间待求场函数u在场域各处的值

u|t?0?g1?r?

2以及初始瞬间场域各处u对时间的变化率，即

?u?t|t?0?g2?r?

（2）边界条件——与空间坐标变量r相联系，给出场域边界S上待求函数u的边值，寻常有以下三种状况；1)第一类边界条件—给定的是整个场域边界S上的场函数值

u|S?f1?rb,t?

式中，rb为相应边界点的位矢。

2)其次类边界条件——给定的是场函数在边界S上的法向导数值

?u?n|S?f2?rb,t?

3)第三类边界条件——给定的是边界S上的场函数与其法向导数的线性组合

u[u?f3?rb,t??]|S?f4?rb,t??n3.电磁场数值计算的有限差分法

有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值所构成的差商来近似迫近相应的偏导

数。为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本思想是利用网格剖分特定解区域(场域)

2

离散化为网格离散节点的集合，然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，这样，待求的偏微分方程定解问题可转化为相应的差分方程组(代数方程组)问题，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解。若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。在电磁场数值计算方法中，有限差分法(FiniteDifferenceMethod，简称FDM)是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念明了，方法简单、直观等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁场数值计算方法发展很快，特别是在有限差分法与变分法相结合的基础上形成的有限元法日益得到广泛的应用，但有限差分法以其固有的特点依旧是一种不容忽视的数值计算方法。

对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的步骤寻常是：（1）采用一定的网格刻分方式离散化场域；

（2）基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件进行差分开散化处理(把这一步骤称为构造差分格式)；

（3）由所建立的差分格式(即与原定解问题对应的离散数学模型——代数方程组)，选用适合的代数方程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。

由此可见，有限差分法有上述大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性。3.1差商对导数、偏导数的近似

差商是基于差分应用的数值微分表达式，对于差分的定义本文不再赘述，以下推导出差商对导数、偏导数的近似表达式。

（1）一阶导数

f'?x??dfdx?lim?f?x??x?x?0

即是无限小的微分df?lim?f?x?除以无限小的微分dx?lim?x的商，应用差分，显然，它可近似地表达为

?x?0?x?0dfdx??f?x??x?f?x?h??hf?x?（7）

(2)二阶导数

dfdx22?1?x?dfdx|x??x?dfdx|x??1h?f?x?h??f?x?h?f?x??f?x?h?h??f?x?h??2f?x??f?x?h?h2（8）

（3）偏导数

由此，仿照式(7)和式(8)，偏导数也可近似地用相应的差商来表达。若没定函数u?x,y,z?，当其独立变量x得到一个很小的增量?x?h时，则x方向的一阶偏导数可以近似表达为

?u?x?u?x?h,y,z??fh?x,y,z?（9）

同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为

?u?x22?u?x?h,y,z??2u?x,y,z??u?x?h,y,z?h2（10）

3.2差分格式的构造

现以二维静态电、磁场泊松方程的第一类边值问题为例，来具体说明有限差分法的应用。设具有平行平面场

特征的电磁场场域D，如图1所示，为一由闭合边界L所界定的平面域，其定解问题可表述为

2?u???u?x,y???x2????u?x,y?|L?f?rb?2?u?y22?F?x,y??x,y??D?11??12?

3.2.1偏微分方程的离散化—五点差分格式

3

对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。原则上，可以采用任意的网络刻分方式，但这将直接影响所得差分方程的具体内容，进面影响解题的经济性与计算精度。为简化问题，寻常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出一致形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形网格的剖分方式。现即以这种正方形网络剖分场域D，也就是说，用分别与x、

y两坐标轴平行的两簇等距(步距为h)网络线来生成正方

yyj?1yjyj?1M32023Dhhij?2u?F形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。

0Lxi?1xixi?1x对于场城内典型的内节点0?xi,yi?，如图1所图1二维场域的正方形网格剖分

示，它与周边相邻的节点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。今采用双下标?i,j?的识别方法，没在这些离散节点上的待求位函数u的近似值分别记作u0?u?i,j?、u1?u?i?1,j?、u2?u?i,j?1?和u3?u?i?1,j?，则参照式(10)﹑二维泊松方程(11)可近似离散化表示为

1h2[u?i?1,j??2u?i,j?]?1h2[u?i,j?1??2u?i,j??u?i,j?1?]?F

即u?i?1,j??u?i,j?1??u?i?1,j??u?i,j?1??4u?i,j??h2F（13）此式称为对应于泊松方程的差分方程，假使位函数u满足的是拉普拉斯方程（即令式（11）中端项F?0），则差分开散化后所得差分方程是

u?i?1,j??u?i,j?1??u?i?1,j??u?i,j?1??4u?i,j??0（14）

此时，在节点0上的位函数值等于其周边四个相邻节点位函数值的平均值。由于差分方程(13)、(14)中只出现待求函数u在点o?xi,yi?与其四个邻点上的值，故寻常称为五点差分格式。

为求解给定的边值问题，在完成上述泛定方程的差分格式构造后，还必需对定解条件，进行差分开散化处理。3.2.2解条件的离散化——各类差分计算格式

对于场域边界上给定的三类边界条件（见2.3），由于其次类边界条件可以看作为第三类边界条件的特别状况，因此，这里只需探讨第一、第三类边界条件的差分开散化处理。

(1)第一类边界条件的差分开散化

若如图1点M所示，划分网格时相应的网格节点恰好落在边界上，则只要直接把位函数u|M?L?f?rM?的值赋给该对应的边界节点M即可。

若划分网格时引入的节点不落在边界L上，则如图2所示，对于邻近边界的典型节点0。由于h1?h2?h，这

样，0点及其周边相邻的1、2、3和4点构成一个不对图2一般状况下，第一类边界条件的差分开散化

称的星形。此时，可采用泰勒公式进行差分开散化处理，即能相当确切地导出关于0点的差分计算格式。

应用二元函数的泰勒公式，节点1的位函数值u1可通过u0表示为

4

u??u1?u0?h1???x0u同理u3?u0?h?????x012!h1h22???u?x2220??13!h1h33???u?x3330????

212!???u?x2023!???u?x30以h和h1分别与以上两式相乘，且相加，然后截断于h的二次项，使得关于??hh1u2?x?0的差分表达式为

???u?x220?2hh?h1u1?2h1h?h1u3?2u0

同理可得hh2???u?y220?2hh?h1u2?2h1h?h1u4?2u0

令h1??h，h2??h，代入以上两式，最终再代入给定的泊松方程，即得这类边界状况所对应的差分计算格式为

??1??1?u1???1??1?u2?11??u3?11??u4??1??1??u0?12hF（15）

2(2)第三类边界条件的差分开散化

对此，同样需分两种状况探讨。第一种状况是在边界处引入的相应节点恰好落在边界L上。这时，取决于边

界L在该边界节点处的外法线方向是否与网格线相重合，对应有不同的差分开散化结果。

当边界L在边界节点0处的外法向n与网格线相重合时，如图2所示，则问题在于如何用差商近似替代法向

u?。显然，最简单的处理方法是类比式（7），这样，第三类边界条