数列中的整数问题

数列中的整数问题例1：已知数列an的通项公式为an2n7，若amam1为数列an中的项，则m____am2思路：amam12m72m5，an中的项为大于等于5（a15）的奇数，所23am2m以考虑将amam1向奇数形式变形：2m7252m342m32mam22m32m32m3682m98，可得8应该为大于等于4的偶数，所2m32m32m3以84或838，解得m5（舍）或m2答案：m22m32m22m725总结：（1）本题的亮点在于对m的变形，在有关整数的问题里，通常可对2m3分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在82m上。83（2）本题对的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2m3应为奇数，而2m38Z，而8的奇因数只有1和 1，同样可确定 m的值。2m 3例2：已知等差数列 an 的公差d 0，设an的前n项和为Sn,a1 1,S2S3 36（1）求an的通项公式（2）求m,km,kN的值，使得aa1a65mmmk例3：已知等差数列an的首项为a，公差为b，等比数列bn的首项为b，公比为a，其中a,b均为大于1的正整数，且a1b1,b2a3，对于任意的nN，均存在mN，使得am3bn成立，则an____________思路：本题的关键是求出a,b，已知a,b均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求a,b的值或范围：a1b1ab,b2a3baa2bab，，所以aba2b-1-从而根据不等号方向可得：baa2bb2b3b解得：a3，所以1a3a2，从而am3bnam1b3ban1，代入a2可得：m1b5b2n15b2n1m1，因为bZ,2n1m1Z，所以b1n1n1n1（舍）或2m11。所以2m112m成立，2n1m15b5b5b5所以a2,b5，an25n15n3答案：an5n3例4：已知各项均为整数的数列an满足a31,a74，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列 an的通项公式（2）求出所有的正整数m，使得aaaaaamm1m2mm1m2解：（1）设前6项的公差为d，则a5a32d12d,a6a34d14da,a,a成等比数列，a2aa4d121解得：d1742d56765ann4,n62n5,n72）解：由（1）可得：an:3,2,1,0,1,2,4,8,则当m1时，a1a2a36a1a2a3当m2时，aaa2,aaa0,aaaaaa234234234234当m3时，a3a4a50a3a4a5当m4时，a4a5a63,a4a5a60,a4a5a6a4a5a6当m5时，假设存在m，使得amam1am2amam1am2则有2m512423m12即：72m523m127=22m7m52m7322m72387，从而7=22m7无解m5时，不存在这样的m，使得amam1am2amam1am2综上所述：m 1或m 3-2-例5：已知 an为等差数列，前 n项和为Sn，若S4 4S2,a2n 2an 1（1）求an（2）对 m N，将 an中落入区间 2m,22m 内项的个数记为 bm①求bm2，cm的前m项和记为T，是否存在m,tN，使得Tmt1②记cm2m12bmmTm1tct1成立？若存在，求出m,t的值；若不存在，请说明理由解：（1） an 2n 1m12m（2）①m2m2212n12n2222m11n22m11nN2m11n22m1bm22m12m12221m21mcm，Tm②思路：由①可得：m1241，则所解方程变形为：221m1m1t41t，得到关于m,t的不定方程，可考虑对m,t进行变量分离221m4t2412

1t，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数） ，得到4 t 0，即t1,2,3，然后代入t解出符合条件的m即可2m2解：由①可得：cm12m121m21mTmt1Tm1tTm2411由可得：12Tm1tctTmct11t12Tmtcm1ct11cm1ctcm1ctTmtTmt1tTm-3-cm11m1tmm1tTmt44111ct22t221m4t1m1t0,414t0t1,2,321t204122mt1时，解得：13mlog13Z（舍）2525mt2时，解得：11mlog11Z（舍）23231mt3时，解得：1m3Z28存在这样的 m 3，满足所给方程t 3总结：1、本题中②的方程，并没有在一开始就将 Tm代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解 m,t的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号m1连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如 ），再结合变2量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例6：已知数列 an的奇数项是首项为 1的等差数列，偶数项是首项为 2的等比数列，数列an前n项和为Sn，且满足S52a4a5,a9a3a4（1）求数列an的通项公式（2）若amam1am2，求正整数m的值（3）是否存在正整数m，使得S2m恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条S2m1件的m值，若不存在，说明理由。解析：（1）设a1,a3,a5,,a2k1,的公差为d，设a2,a4,a6,,a2k,的公比为q-4-a4a2q2q,a3a1d1d,a914dS5a4a5a4a1a2a3d2由2a9a3a4a14da1d2qq3a2ka2qk123k1,a2k1a1n1d2k1nn2k1an,n1232,n2k（2）若m2kkN，则a2ka2k1a2k2，即23k12k123k解得：2k13k1m2，即若m2k1kN，即a2k1a2ka2k12k12k1k12k1123232k12因为23k1为正整数为正整数2k11k12k12代入可知k1不符2k113k，故舍去21综上所述：m2（3）若S2m为an中的一项，则S2m为正整数S2m1S2m1S2m1a1a3a2m1a2a4a2m2m12m123m113m1m21231S2mS2m1a2m3m1m2123m1132m213S2m1S2m13m1m213m1m21故若S2m为an中的某一项只能为a1,a2,a3S2m1①若32m211无解3m1m21②若32m212，即m1120，可知m2是方程的根3m1m213m当m3时，设fx3x11x2f'x3x1ln32x-5-f''x3x1ln3220f'x在3,单调递增f'xf'39ln360fx在3,单调递增fxf20m3时，3m11m20无解，即m2是方程唯一解③若32m213，则m21m13m1m21综上所述：m1或m2例7：已知数列an,bn满足a13,anbn2,bn1anbn2,nN1an（1）求证：数列1是等差数列，并求数列bn的通项公式bn（2）设数列cn满足cn2an5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q,rpqr111p表示q,r；若不存在，请说，使得cp,,成等差数列？若存在，试用cqcr明理由解析：（1）bn1an22anbnanbnan1an1anbn22anbn4bn1bn2bn2bn221bn-6-1bn211111bbb，即b2b2n12nnn1n是公差为1的等差数列bn 2111n1b122bnb12a13131n1n22bn222即bnn2（2）由（1）及an2可得：ann2cn2n1bn当p1时，cpc11,cq2q1,cr2r1111211即21,,成等差数列cqcpcr2q11cpcqcr2r1pqrq2,r321,1112q12r1211不成立2q12r1当p2时，1,1,1成等差数列，同理可得：cpcqcr2112q12p12r11214p2q12r12q12p12p12q12p1212pqp2q2r1qr4p2q14p2q1设q2p1，此时r4p25p2p2q2p1p,rq4p227p34p1p10q2p1，r4p25p2符合题意-7-综上所述： p 1时，不存在满足条件的 q,rp 2时，存在q 2p 1，r 4p2 5p 2例8：已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且对任意的nN，都有：a1b1a2b2anbnn2n3，若a18，则：（1）求数列an,bn的通项公式（2）试探究：数列 bn中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它 rr N,r 2项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1）abababn2n3①n1122na1b1a2b2an1bn1n12n2②①②可得：anbnn2n3n12n2n12n2n2令n1，则a1b14b1212令n2，则a2b2324a1db1q48令n3，则a3b345a12d21282b1q28dq48，解得：d4所以有：q2282dq128an4n4,bn2n（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为bt,bt2,,bt，设存在某项b，1rm则bmbt1bt2btr2m2t12t22tr，设t1t2tr，则同除以2t1，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项 bm及数列中的其他 r项bt1,bt2, ,btr t1 t2 trbm bt1 bt2 btr 2m 2t1 2t2 2tr，所以2m 2tr m tr两边同时除以 2t1可得：-8-2mt1 1 2t2t1 2trt1，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立所以不存在这样的项总结：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：am,am1,am2,