陕西省宝鸡市千阳县重点中学2023届高三下学期十模理科数学试题及参考答案

届高三第十次模考数学（理科）试卷第Ⅰ卷选择题（共60分）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）1．在复平面内，复数对应的点在（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（）．A． B． C． D．3．在下列函数中，为偶函数的是（）．A． B．C． D．4．在的展开式中，若第3项的系数为10，则（）．A．4 B．5 C．6 D．75．在等比数列中，，，则（）．A．8 B．16 C．32 D．646．已知，，，则（）．A． B． C． D．7．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（）．A． B． C． D．8．在中，若，，，则的面积是（）．A．1 B． C． D．9．已知函数，则下列结论错误的是（）．A．有两个极值点 B．有一个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线10．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，，则（）．A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线的斜率的取值范围是（）．A． B．C． D．12．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（）．A．6 B． C．2 D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布，且，则__________．14．已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为__________．15．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．则的通项公式__________．16．设O为原点，双曲线的右焦点为F，点P在C的右支上．的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若，且，求x的取值范围．18．（本小题满分12分）为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本，得分情况统计如下图所示（满分100分，得分均为整数），其中高二年级学生得分按，，分组．高一年级成绩优秀学生得分分布高二年级成绩优秀学生得分分布（1）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（2）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人，用频率估计概率，记X为取出的3人中得分不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（3）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．19．（本小题满分12分）如图，平面平面，，，D分别为的中点，，．（1）设平面平面，若直线，证明：O为中点；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（10分）已知a，b，c为正数，且满足．证明：（1）；（2）．2023届高三第十次模考数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACCBDBADDCBB二、填空题13．0.1814．（答案不唯一）15．16．三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）所以的最小正周期为．（6分）（Ⅱ）因为，所以．因为，所以．所以．解得，所以x的取值范围是．（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）设事件A：从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分，则．所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分的概率为．（4分）（2）由（1）可知，从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取1人，其得分不低于90分的概率估计为0.4．由题意可知，，X的可能取值为0，1，2，3．所以；；；．所以X的分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的数学期望为．（8分）（3）由题意可知，高一年级学生样本得分的平均分为．设高二年级学生样本得分的最高分为m．由图可知，要使得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，只需．解得．所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分．（12分）19．（本小题满分12分）证明：（1）直线，又平面，则//平面．又平面平面，所以．又因为D分别为中点，所以O为中点．（5分）（2）连结．因为，O为中点，所以．因为平面平面，所以平面．所以．因为=，所以．如图，建立空间直角坐标系，则，，，．因为点D为中点，所以．所以，．设为平面的法向量，则，即．令，则，，可得．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，由题设条件知，，，故椭圆C的方程为．（5分）（2）设点是直线上任意一点，由题可知点P，M，O，N在以为直径的圆上，此圆方程为 ①又圆O的方程为， ②①－②可得直线方程为：，则直线恒过定点．（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（5分）（2）令，其定义域为．，．令，，所以在上单调递增．因为，，所以，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；当时，，即，取得极小值．，因为，所以，，所以．因此，当时，，所以，，即，，曲线与曲线无交点；当时，，所以存在且仅存在一个，使得，对且，都有，即．所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点；故当时，曲线与曲线至多存在一个交点．（12分）22．（