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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.2.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.3.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.4.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().A. B. C. D.55.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A. B. C. D.6.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.7.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.8.已知集合,,则()A. B.C. D.9.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.10.一袋中装有个红球和个黑球(除颜色外无区别),任取球,记其中黑球数为,则为()A. B. C. D.11.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.112.如图,在平行四边形中,为对角线的交点,点为平行四边形外一点,且,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,两曲线的一个交点为P,若|FP|=5,则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.14.已知平行于轴的直线与双曲线:的两条渐近线分别交于,两点,为坐标原点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为______.15.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程,()转化为线性回归方程,即两边取对数,令,得到.受其启发,可求得函数()的值域是_________.16.(5分)在平面直角坐标系中,过点作倾斜角为的直线,已知直线与圆相交于两点,则弦的长等于____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.18.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备高校专业报名资格的人数为,用样本的频率估计概率,求的分布列与期望.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)若在处导数相等,证明:;(2)若对于任意,直线与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.21.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)已知函数,其中.(1)当时,求在的切线方程;(2)求证:的极大值恒大于0.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.2、B【解析】
判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.3、D【解析】
根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.4、C【解析】试题分析:由已知,-2a+i=1-bi,根据复数相等的充要条件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,选C考点:复数的代数运算,复数相等的充要条件,复数的模5、C【解析】
设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为,解得球的半径,再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为,解得,所以该球的体积为.故选:C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,属于基础题.6、B【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.7、B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.8、C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.9、D【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.【点睛】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.10、A【解析】
由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,则,,,.因此,随机变量的数学期望为.故选:A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.11、C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.12、D【解析】
连接,根据题目,证明出四边形为平行四边形,然后,利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接,由,知,四边形为平行四边形,可得四边形为平行四边形,所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设点为,由抛物线定义知,,求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2,0),因为点P在抛物线y2=8x上,|FP|=5,设点为,由抛物线定义知,,解得,不妨取P(3,2),代入双曲线-=1,得-=1,又因为a2+b2=4,解得a=1,b=,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线为y=±x,由点到直线的距离公式可得,点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为:【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质;考查运算求解能力和知识迁移能力;灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14、2【解析】
根据为等边三角形建立的关系式,从而可求离心率.【详解】据题设分析知,,所以,得,所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解,根据条件建立之间的关系式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】
转化()为,即得解.【详解】由题意:().故答案为:【点睛】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16、【解析】
方法一:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,解得或,从而得或,则.方法二:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,设,则,故.方法三:将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)减区间是,增区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)当时,求得函数的导函数以及二阶导函数,由此求得的单调区间.(2)令求得,构造函数,利用导数求得的单调区间、极值和最值,结合有两个极值点,求得的取值范围.将代入列方程组,由证得.【详解】(1),,又,所以在单增,从而当时,递减,当时,递增.(2).令,令,则故在递增,在递减,所以.注意到当时,所以当时,有一个极值点,当时,有两个极值点,当时,没有极值点,综上因为是的两个极值点,所以不妨设,得,因为在递减,且,所以又所以【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18、(1)不需调整(2)列联表见解析;有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关(3)详见解析【解析】
(1)可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2,推理得对应开设选修班的数目分别为15,1.推理知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据列联表计算观测值,根据临界值表可得结论.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望.【详解】(1)经统计可知,样本40人中,选修化学、生物的人数分别为24,11,则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2.根据每个选修班最多编排50人,且尽量满额编班,得对应开设选修班的数目分别为15,1.现有化学、生物科目教师每科各8人,根据每位教师执教2个选修班,当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的一位教师执教一个班的条件,知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据表格中的数据进行统计后,制作列联表如下:选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则,有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021数学期望为.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差,考查独立性检验,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)【解析】
(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.20、(I)见解析(II)【解析】
(1)由题x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,得到,得,由韦达定理得,由基本不等式得,得,由题意得,令,则,令,,利用导数性质能证明.(2)由得,令,利用反证法可证明证明恒成立.由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,得,
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