第一节向量组的线性相关与线性无关

第一节向量组的线性相关与线性无关第1页，共134页，2023年，2月20日，星期一一、向量、向量组与矩阵

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：第2页，共134页，2023年，2月20日，星期一

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如第3页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．第4页，共134页，2023年，2月20日，星期一

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第5页，共134页，2023年，2月20日，星期一线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．第6页，共134页，2023年，2月20日，星期一定义１线性组合第7页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量能由向量组线性表示．第8页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理1第9页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量组能由向量组线性表示向量组等价．定义２第10页，共134页，2023年，2月20日，星期一第11页，共134页，2023年，2月20日，星期一从而第12页，共134页，2023年，2月20日，星期一第13页，共134页，2023年，2月20日，星期一第14页，共134页，2023年，2月20日，星期一﹋﹋﹋﹏第15页，共134页，2023年，2月20日，星期一注意:定义３二、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．第16页，共134页，2023年，2月20日，星期一第17页，共134页，2023年，2月20日，星期一第18页，共134页，2023年，2月20日，星期一三、线性相关性的判定第19页，共134页，2023年，2月20日，星期一第20页，共134页，2023年，2月20日，星期一解例１或r(I)=n，得线性无关。第21页，共134页，2023年，2月20日，星期一解例２分析第22页，共134页，2023年，2月20日，星期一第23页，共134页，2023年，2月20日，星期一解：因为第24页，共134页，2023年，2月20日，星期一证法1第25页，共134页，2023年，2月20日，星期一证法2第26页，共134页，2023年，2月20日，星期一第27页，共134页，2023年，2月20日，星期一性质1：四、向量组的线性相关性质证明第28页，共134页，2023年，2月20日，星期一说明：第29页，共134页，2023年，2月20日，星期一性质2：第30页，共134页，2023年，2月20日，星期一说明：证明：第31页，共134页，2023年，2月20日，星期一性质3：证明第32页，共134页，2023年，2月20日，星期一第33页，共134页，2023年，2月20日，星期一第34页，共134页，2023年，2月20日，星期一第35页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理3向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有五、线性表示、线性相关、线性

无关三者的关系而不是“每一个”第36页，共134页，2023年，2月20日，星期一故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使第37页，共134页，2023年，2月20日，星期一因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.第38页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理4：第39页，共134页，2023年，2月20日，星期一第40页，共134页，2023年，2月20日，星期一（定理）。第41页，共134页，2023年，2月20日，星期一１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）六、小结第42页，共134页，2023年，2月20日，星期一思考题第43页，共134页，2023年，2月20日，星期一思考题解答第44页，共134页，2023年，2月20日，星期一第45页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量空间第二节向量组的秩第46页，共134页，2023年，2月20日，星期一定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组秩第47页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理１二、矩阵与向量组秩的关系第48页，共134页，2023年，2月20日，星期一结论说明第49页，共134页，2023年，2月20日，星期一第50页，共134页，2023年，2月20日，星期一第51页，共134页，2023年，2月20日，星期一第52页，共134页，2023年，2月20日，星期一事实上第53页，共134页，2023年，2月20日，星期一第54页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理２三、向量组秩的重要结论推论1推论2第55页，共134页，2023年，2月20日，星期一性质第56页，共134页，2023年，2月20日，星期一证一第57页，共134页，2023年，2月20日，星期一第58页，共134页，2023年，2月20日，星期一证二第59页，共134页，2023年，2月20日，星期一注意第60页，共134页，2023年，2月20日，星期一第61页，共134页，2023年，2月20日，星期一第62页，共134页，2023年，2月20日，星期一第63页，共134页，2023年，2月20日，星期一第64页，共134页，2023年，2月20日，星期一第65页，共134页，2023年，2月20日，星期一１．最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：

一个定理、两个推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结第66页，共134页，2023年，2月20日，星期一

思考题第67页，共134页，2023年，2月20日，星期一思考题解答问题转化为因为所以第68页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量空间第三节向量空间第69页，共134页，2023年，2月20日，星期一说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空,且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指第70页，共134页，2023年，2月20日，星期一第71页，共134页，2023年，2月20日，星期一例2判别下列集合是否为向量空间.解第72页，共134页，2023年，2月20日，星期一例3判别下列集合是否为向量空间.解第73页，共134页，2023年，2月20日，星期一试判断集合是否为向量空间.第74页，共134页，2023年，2月20日，星期一一般地，为第75页，共134页，2023年，2月20日，星期一第76页，共134页，2023年，2月20日，星期一定义2设有向量空间及，若向量集合，就说是的子空间．实例二、子空间设是由维向量所组成的向量空间，第77页，共134页，2023年，2月20日，星期一那末向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．三、向量空间的基与维数定义3设是向量空间，如果个向量，且满足dimV=r第78页，共134页，2023年，2月20日，星期一１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．四、小结第79页，共134页，2023年，2月20日，星期一向量空间第四节线性方程组解的结构第80页，共134页，2023年，2月20日，星期一１．解向量的概念为齐次线性方程组一、齐次线性方程组解的性质的解

称为方程组的解向量。第81页，共134页，2023年，2月20日，星期一２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明第82页，共134页，2023年，2月20日，星期一（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．一般记作注：齐次解的线性组合仍为齐次解第83页，共134页，2023年，2月20日，星期一１．基础解系的定义二、基础解系及其求法第84页，共134页，2023年，2月20日，星期一第85页，共134页，2023年，2月20日，星期一２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为第86页，共134页，2023年，2月20日，星期一第87页，共134页，2023年，2月20日，星期一现对取下列组数：第88页，共134页，2023年，2月20日，星期一依次得从而求得原方程组的个解：第89页，共134页，2023年，2月20日，星期一说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为第90页，共134页，2023年，2月20日，星期一定理1第91页，共134页，2023年，2月20日，星期一第92页，共134页，2023年，2月20日，星期一例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有第93页，共134页，2023年，2月20日，星期一第94页，共134页，2023年，2月20日，星期一证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质第95页，共134页，2023年，2月20日，星期一证明证毕．第96页，共134页，2023年，2月20日，星期一其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为第97页，共134页，2023年，2月20日，星期一３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解第98页，共134页，2023年，2月20日，星期一４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．第99页，共134页，2023年，2月20日，星期一例4求解方程组解第100页，共134页，2023年，2月20日，星期一第101页，共134页，2023年，2月20日，星期一第102页，共134页，2023年，2月20日，星期一非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解第103页，共134页，2023年，2月20日，星期一１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结对系数矩阵进行初等变换，将其化为行最简形讨论２．线性方程组解的情况()()nrAr<=()()nrAr==第104页，共134页，2023年，2月20日，星期一思考题第105页，共134页，2023年，2月20日，星期一思考题解答第106页，共134页，2023年，2月20日，星期一第107页，共134页，2023年，2月20日，星期一第五节向量的内积向量空间第108页，共134页，2023年，2月20日，星期一定义1一、内积的定义及性质说明第109页，共134页，2023年，2月20日，星期一内积的运算性质第110页，共134页，2023年，2月20日，星期一定义2

令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质第111页，共134页，2023年，2月20日，星期一解单位向量夹角第112页，共134页，2023年，2月20日，星期一１正交的概念２正交向量组的概念正交（或垂直）.若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法第113页，共134页，2023年，2月20日，星期一证明３正交向量组的性质定理1第114页，共134页，2023年，2月20日，星期一例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基第115页，共134页，2023年，2月20日，星期一即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解第116页，共134页，2023年，2月20日，星期一５规范正交基例如，4维向量组第117页，共134页，2023年，2月20日，星期一第118页，共134页，2023年，2月20日，星期一同理可知自然基.第119页，共134页，2023年，2月20日，星期一（1）施密特正交化，取，６求规范正交基的方法我们来介绍其步骤：第120页，共134页，2023年，2月20日，星期一（2）规范化（即单位化），取第121页，共134页，2023年，2月20日，星期一例