吉林述余市第二实验学校届高三数学下学期3月月考试题B理

PAGE10PAGE11吉林省扶余市第二实验学校2021届高三数学下学期3月月考试题（B）理注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若纯虚数满足，则实数的值为（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A． B． C． D．04．若实数、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．5．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P坐标为（）A． B．和 C．和 D．6．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上是增函数D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象7．已知、、均为单位向量，且满足，则的值为（）A． B． C． D．8．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．由数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”．从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（）A． B． C． D．10．设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（）A． B．1 C． D．11．已知椭圆的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（）A． B． C． D．12．已知，函数，若时，恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中的系数为_________．14．定义在上的函数满足，当时，．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为________．15．________．16．将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列，若数列的前n项和为，则_____________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数．（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值；（2）的内角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值．18．（12分）如图，在直四棱柱中，上､下底面均为菱形，且，点M为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为分，该校某专业的名大一学生参加了学校举行的测试，记录这名学生的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于分的称为优秀，已知这名学生中男生有人，其中测试优秀的男生有人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为测试优秀与性别有关：男生女生优秀不优秀附：．（3）对于样本中分数在，的人数，学校准备按比例从这组中抽取人，在从这人中随机抽取人参与学校有关的宣传活动，记这人分数不低于分的学生数为，求的分布列．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若为的最小值，实数，，满足，求证：．2020-2021学年下学期高三3月月考卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】或，，，故选B．2．【答案】D【解析】由题意得，则，解得，故选D．3．【答案】B【解析】设第次循环后输出，，解得，可知第505次循环后结束循环，此时，，故选B．4．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选D．5．【答案】B【解析】设切点，由函数，可得，可得切线的斜率为，因为曲线在点P处的切线平行于直线，所以，解得，当时，可得，此时；当时，可得，此时，故选B．6．【答案】C【解析】将代入，则，，，即，，则，解得，由图可得，即，又，则可得，，，，则的图象不关于直线对称，故A错误；，的图象不关于点对称，故B错误；时，，可得单调递增，故C正确；将的图象向右平移个单位长度可以得到，故D错误，故选C．7．【答案】B【解析】由于、、均为单位向量，则，由，可得，所以，，即，所以，，由，可得，即，解得．所以，，故选B．8．【答案】B【解析】①若，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以，，那么，故①不成立；②若，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以，，，，则使的最大的为15，故②成立；③，，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以中的最大项是，故③正确；④若，则，但，不确定的正负，故④不正确，故选B．9．【答案】A【解析】由数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，共有(个)，第一步，考虑千位数字，情况有(种)，第二步，考虑百位数字，情况有(种)，第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有(种)，故共有(种)，从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为，故选A．10．【答案】C【解析】如图，设等腰三角形的外心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，由已知求得，又四面体的外接球半径为，，即等腰三角形的外接圆的半径为，又由已知可得，由正弦定理可得，得，可得，则，故选C．11．【答案】D【解析】由，，将代入椭圆方程知，解得，即，过点作轴，则，又，，得，，所以点的坐标为，即，又点在椭圆上，，即，又，，，即，故选D．12．【答案】D【解析】由，可得，所以，设，则上式等价于对于恒成立，因为，所以在单调递增，所以对于恒成立，即，因为，所以对于恒成立，令，则，，由，可得；由，可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，可得，所以实数的最小值为，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由二项展开式的性质和组合数的计算，可得的展开式中项为：，所以的展开式中的系数为，故答案为．14．【答案】【解析】由已知得，由函数式可得，所以不等式可化为，得到．因为是上的增函数，所以，即对任意恒成立，当时显然不满足对任意恒成立，所以，即，故答案为．15．【答案】【解析】由题意，可得，故答案为．16．【答案】2114【解析】使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，设位于第行，则，解得，且第11行最后一项在数列中的项数为．位于杨辉三角数阵的第12行第3个．而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为．依此类推，第行各项的和为．，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）当时，函数取最大值；（2）最小值为．【解析】（1）函数，，所以，，当时，即当时，函数取最大值．（2）由题意，化简得，，，，解得．在中，根据余弦定理，得．由，知，即，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）四边形为菱形，，为等边三角形，又为中点，，又，，四棱柱为直四棱柱，平面，又平面，，平面，，平面．（2）连接，交于点，以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，；设平面的法向量，则，令，则，，，，由图形知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．19．【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析．【解析】（1）设这名学生测试分数的中位数为，由前5组频率之和为，前6组频率之和为，可得，所以，．（2）列联表如下：男生女生优秀不优秀，所以没有的把握认为测试优秀与性别有关．（3）由题意可知，人中分数在内的共有人，分数不低于分的学生有人，的取值依次为．，，，，所以的分布列为20．【答案】（1）抛物线C方程为，准线为；（2）．【解析】（1）由椭圆方程可得其右焦点为，抛物线与椭圆右焦点重合，，即，故抛物线C的方程为，准线为．（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，则，可得，设，，，，设中点为，则，，为以P为顶点的等腰三角形，则，则，整理可得，，则，解得或，故直线的斜率的取值范围为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数无极值；当时，，若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极小值为，无极大值；若，令，则；令，则，所以函数在单调递增，在单调递减，所以的极大值为，无极小值．（2）令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，由题可知：在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个根，等价于函