成闪闪湘2007高教社杯全国生数学建模竞赛

2007高教社杯大学生数学建模竞统一编号（由赛区送交前编号 本文根据《口统计年鉴》和中计局的数据，建立Leslie模型和双重复合Logistic模型，并分别人口进行中短期和长期预测。Leslie模型得出了短期内各年的人口预测值(3)，分布结构(6)，市、镇、乡人口变化趋势的城市变化结构(见234)和短期内化趋势（7（表9，得出202814.7820501515.5亿之间。2)。然后，基于男女比，各状态分布，出生率，率等因素对总人口变化的影响，在中短期内，假设率与率在一段时间内（15年Leslie2005年的相关数据作为初始值得到了市，镇，乡女1；测出短期内女性总人口数(2)；同时用滑动平均法求出此期间女性所占总人口比率675202050.02%,48.43%（89接着，考虑到化和城镇化中人口具有Logistic模型的动态特征，因此可建立Logistic人口增长模型，但城镇人口变化和老年人人口变化又受到总人口的影响和制约，故我们建立了双重复合Logistic模型来拟合长期预测城镇人口的增长情况(见图10)，同时也对总人口进行了长期预测(见表7，表8)，我们也对拟合值采用相关指R2R2=0.9965，0.9941，说明拟合值很好。接下来,我们对各模型进行了评价，了他们的优缺点。由于Leslie模型预测的最后针对中短期的Leslie模型建立于假设2之上，在长期内，注意到总和率和假设2中出生率与率是动态的，从而我们建立了动态Leslie模型来进行模型拓展，同时也改进了双重复合Logistic模型。：Leslie模 双重复合Logistic模 总和率动态Leslie模经历人类人口史上最为迅速的化。如果说，前50年由于世界人口数量规模迅速膨胀而吸引世人的目光，如“人炸”，那么后50年则将会由于世界人口结构迅速老化而引起广泛的关注，如“浪潮”。作为世界人口一部分的口也是如此，而（与人口结构相关的人口问题—急剧的化对经济可持续增长后劲的影响、社会保障制度、出生比偏高以及市场挤压、家庭结构单一化以及独生教育等，与人口22007附录2是从《口统计年鉴》上收集到的部分数据。3从中国的国情和人口增长的化进程加速、出生人口比持续升高，以及乡2的相关数据（可搜索相关文献和补充新数据建立口增长的数学模型。根据问题（1）建立的模型分别人口增长的中短期趋势和长期趋势进行预率与率在一段时间内保持不不考虑自然造成的影不考虑一些不确定因素的影响，比如、流行性疾c：总人口增长系atNN*：人口数量，亦即城镇人口的最大容纳N*0：初始时刻（当t=0时）的人N0：初始时刻（当t=0时）xi(k)：时段k第i组的人口总 量di：第i组的率，即第i组一个时段内数与总数的比si：存活率，即si1R：总和率，即平均一对夫妇终生只能R个孩人口问题是制约我国经济发展的重要因一,对人口的分析与预测尤为重要.而影响我国人口增长的因素有通过出生率和率改变人口的自然增长率,医疗卫生因素,老龄化的进程,乡村人口城镇化,出生人口比等等。针对出生人口比对人口的影响，可以先由附录2资料中市、镇、乡女性所占的相应比率计算出女性所占总人口的比率，由此又预测出未来短期内女性占总人Leslie2005年的相关（1）（2）Logistic模型的建立Leslie将人群按每岁一 组分91个组，即0岁为第1个组，1岁为第2组，…89岁为第90个 组，90岁以上为第91个组。时间也按每年为一个时段离散为91个时间段，使之与的离散化相对应。记人口状态向量，即第k年各组人口的分布向量为X(k)[x(k),x ,x

设所 组女性人口占同一组总人口比例的系数向量为TCC1,C2,,C91T则第kCX(k)[cx(k),c

,c

1 2 91设各组妇育率向量为,b,b但由于在2000年以后随着独生群体结 的到来，按照我国现 确估计，但总 R个孩子）应满足不等式﹤R﹤2。如果按2000年总和率的a（0.9﹤a﹤1.3）倍进行估算，那么可取,b,b由于时段k+1第1组数量是时段k各组数量之和，即有x1(k1)

时段k+1第i+1组的人口数量是时段k第i组存的数量，即有xi1(k1)sixi(k)，i=1，2，…，n- 态X(k)k（k=1，2，…，n，…）x1(k1) cibixi(kxi(k1)si1xi1(k)

x91(k1)s90x90(k)s91x91(k)如果率bi和存活率si构成矩

0 0

L

0 0

则方程组（6）X(k1)LX(k)，k＝0，1，2，… 当矩阵L和按组的初始分布向量x(0)已知时可以预测任意时段k人口按X(k)LkX(0) 进而可推算出总人数的增长趋势s处理。因此用双重复合的Logistic模型，来模拟总人口增长的过程。dNdt

aN(1NN*

*dN*cNdt*

(1N*

N 121meat12

m(N**1)(

NN1NN

a2m(2

N*

N

1(**1)e对（12）

121meat12

N**1m

将上式代入（15）N*

m2

m2(**1)(**1 根据已知信息，用7.1对最近五年（01－05年）数据进行非线性拟合，即可m1、m2N**及a的估计值。60岁以上的人定义为老人，自然老人人数变化曲线也服从人口增长规律，以用双重复合的Logistic增长模型进行求解。我们用Leslie模型进行中短期 照某一年的别率度过育龄期，即平均每个妇女在育龄期的孩子数。总口发展战略给出的数据，中国妇女的总和率因该维持在1.8左右，所以在预测时我们选取R=1.8。而考虑到实际情况，乡的总和率要大于市和镇，并且中国的存在漏报的现象，所以我们预测市人口时，取R=1.7；预测镇人口时，取议，他们认为中国的实际总和率只有1.3左右，因此我们对R进行了灵敏度分从口年鉴上可以查得，2005年人口总数为130756万人，根据附录提供的2005年口1%情况可以推算出2005年中国市镇和村的女性人口数目，2005年市女性人口数

数据中市女性人口总数2005 数分别为：1111735461万。1：2005市镇村2005Leslie模型进行求解，215年保持增长趋势。2：2006-2020年女性人口预测值（单位：万人市镇村12006-2020年的总人口（表3，并且推测人口的变化趋势（图13：2006-2020年中国总人口预测（67890326201020203图 总人口预测图 市人口预测图 镇人口预测图 乡人口预测测，在此期间进程较快。图 市镇人口比率由图5可得出，在2006－2020期间市镇人口所占比率逐年上升，中国的进标志。我国的进度明显，我们预测化的速度将在2016年左右达到最大国人口的分布呈三角形，属于年轻型。下面我们给出人口结构的，并且以此为标准，评价中国的人口结构：年轻型：0-14岁人口占40％以上，65岁以上人口占4％以下，中位数在岁以下，老少比在15％以下的人口结构属于年轻型位数在20-30岁之间，老少比在15-30％之间的人口结构属于成年型；老年型：0-14岁人口占30％以下，65岁以上人口占7％以上，中位数在岁以上，老少比在30％以上的人口结构属于老年型0-14652005年口结构情况（图64：2005市镇乡年轻人所占比例老年人所占比例62005年由表4和人口结构的的分类可知：2005年人口结构大致处于成6我们可以看出，2005年人口结构呈现出一个金字塔结构，30－50岁的人口所占比例最大，体现了我国劳动力丰裕的现实。因为人口中位数大致在30岁，5：2015市镇乡6：2020市镇乡由表5与表6知：2015年和2020年人口结构大致处于老年型图 各段人数比率比较从上图中我们可以推测未来几年口分布的大致情况。我们可以发现口40-50年之间。查阅历史我们知道，1959-1961年我们国家遭遇连续三年的自然，在此期间人口出现负增长，而在此前，由于解放后人口率降低，口出现增长。比如：湖南省1960-1961年总人口净减183.97万人相当于1960年人口的50.39‰，而该省1954－1959平均增长65万人[8]。而大概在距今35年前，中国开始推行，在30年前，中国将作1．4比率情况预才能挣钱，才能传宗接代，永续香火。自中国实行以来，中国创造了独生的一代，如今独生的一代人数已经超过了9000万。 年份图 市镇女性比率 年份图 乡女性人口比率8948.43%50.02%，比分别为106.5：100和99.9：100。人口学家给出的人群最佳比例为105：100，由此，我们可以看出乡村人口的最终比例接近于理想值。这是近年来措施的题的发生。城市人口会出现女性多于的现象，这大概是第三产业飞速发展的结果我们应用双重复合的Logistic模型，用 7.1编程拟合（见附录对参数进行m1

m22.5334

a

,c0.0699

N0

,N**则N

N*

1

152710

总人数(万人总人数（万人总人数(万人总人数（万人图 城镇人口数量增长 时间（2001t年图10中人口在近30年将以近似直线形式增加之后增长速度逐渐减缓，t＝60年时已基本处于稳定状态，此时人口总数大概为15.3亿。同样我们可以运用双重复合的Logistic模型通过中龄化程度来预测长期的人口表8：受化影响时总人口的预测预测总人数（万人预测总人数（万人图 人数增长 N*：人数（万人t：时间（2001t年度稍缓慢些在近50－60年口总数将呈直线形式快速增长之后随着时间推移，1515.5亿之间达到稳定。如果用Leslie模型解决来长期预测问题，把2005年的率与率以及各表9：未来两百年人口预人口（人人口（人人口（人人口（人（注：加粗值为峰值，下同图 用Leslie预测的人数变化趋Logistic增长模型预测所得的结果不同，Leslie预测14.7215012

2)R1)R1

NNN(i)

(NiN)NN2ii(i(ii

(Ni

)2

表10：人数预测比人R2人统计人统计R2表11显示，R2＝0.9941，即人数的99.41%可由模型确定，所以预测结果很好。在用Leslie模型预测时，我们用到了总和率R，而它的选取对人口的预测是十R进行灵敏度分析R的值作微小扰动，观察在此情况下口预测值的变化情况。。当R0.1表12：2006-2020年口预测值（单位：万人数45678978当R0.2表13：2006-2020年口预测值（单位：万人56789096当R0.3表14：2006-2020年口预测值（单位：万人当R0.6表15：2006-2020年口预测值（单位：万人数以预测时选取R=1.2就会出现人口下降的结论。因此我们认为应该考虑实施新的计划政策了。但是考虑到中国的实际情况，很多地区存在漏报，因此实际R应该1.2。我们前面取R=1.8，是根据题目的附录提供的资料确定的。我们建立了Leslie模型和双重复合Logistic模型来预测口的中短期和长期发展状况。Leslie模型能预测短期和长期的口总量、结构和化程度，由于2005Leslie模型能够预测结构和化程度，这一点是这个模型的优势。由于口还远没有达到稳定状态，所以人口率、率和总合率在不断变化，特别是总合率还受国势时，LeslieLogistic模型无法做到的。我们没有采用最常用Logistic模型，这是由于口的状况受、化的影响，而LogisticLogistic模型在预测由于我们建立Leslie模型时，选取的是2005年人口的出生率、率和总和Leslie模型这个预测方案。我们假设人口出生率、率和人口总和率是生活水平、人化、城镇人口比率、男女比率的函数，而生活水平、人口化、城镇人口比率、我们建立人口出生率率和人口总和率关于时间的函数因此状态转移的Lesliea(t)c1(t) a(t)c2(t)b2 a(t)c90(t)b90 a(t)c91(t) 0 L(t)

s2

s

s X(k1)L(t)X(k)，k＝0，1，2，… Logistic模型。从生物学角度上因该可以给出城市人口上限与人口上