第45讲向量组的正交化

第45线性代数59主讲 大 教本课程在本课程在优在优酷网搜第45高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网课概率论与数理统计70讲 课考研题评讲 传课 5. : :@川 我在及线我在及线性代数59讲受。课程高等数学138 各地大学生的课程的望对你的学习有所帮助希望此课件仅用望对你的学习有所帮助希望此课件仅用于你的学习。请尊大(联 的著作权，切勿在大(联 第45讲向量组的正交化第45观我的《高等数观我的《高等数+ 请在优酷网搜索我 +第45第451n维向a1a2ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关。 k1a1...kiai...krar[ai,k1a1...kiai...krar][ai,0] k[aak[aa ki[ai,ai

是非零向

[ai,ai]

2ai (i,...,r)aia1a2ar线性无关。第45定理定理1设n维向量a1a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1a2ar线性无关。 第45例1验证 3中的两个向量a=(1,1,1)与b=(1,1,-2)正交，并求一个非零向量c，使a,b,c两两正交。 [a,b]11111(2) 所以a与b正交 大x=(x1x2x3)ab都正交，x1 x1 2[ax1,1,1)x [bx1,12x 2x x3

x3x第45设x=(x1,x2,x3)与a和b都正交 x1 2[a,x](1,1,1)x 2x x3

x1 2[b,x](1,1,2)x 2x x3x1 大

11 112x2x x3或者系数矩阵的秩r=2<3=n，一定有非零解。 11 x1

第45x=(x1x2x3是此齐次线112 2

方程的非零 大x x31

111 112

003 00 001x1

x1

x1x x3x

零解(-11c=(-11,0a=(1,1,1b=(1,1,-2都正交第45使a,b,c两两正交 大注在空间解析几何中，我们求a和b的向量积来得ab都正交的向量。 cab

11 11

1 i1

112j

1113i3j

或 c

Seemy高等数p第77 p第45则c=(-11,0与a=(1,1,1和b=(1,1,-2都正大大 大 ],u=- 第45第45向量b在向a上的

第45ababProjabb

a 大

b θa

Projbba大aSeemy高等数 pp在向量空间

第45[a,b] b 大Projbbcosθ[a,b][b,a So向量a在单位向e上的投影 ae大大 第45讲向量组的正交化定义3(规范正交基 设n维向量e1,e2,…,er是向量空间V(V包含于n的一个基，如果e1e2,…,er是两两正交的单位向量，则e1e2erV的一个规范正交基(orthonormalbasis)。Alsocalled标准正交inmanyInmathematics,particularlylinearalgebra,anorthonormalbasisforaninnerproducspaceVwithfinitedimensionisabasisforVwhosevectorsareorthonormal(thatistheyareorthogonalandunitvectors.). (fromWikipedia)第45设e1,e2,…,er是V的一个规范正交基，则V中任一向量a可以由此基线性表示，设 ax1e1...xiei...xrer[a,ei][x1e1...xiei...xrer,ei1[1,ei]...xi[ei,ei]...xr[er,eix10...xi1...xr0xi(i,...,得a[a,e1]e1.[a,ei]ei.[a,erai个分xi=[aei恰是aei上的投影第45如果a1a2arV的一个基，但不是规范正ax1a1...xiai...xrar则分量xi一般不是 的投影 小大例如，在a(3,2)3i2j分量23分别是向a规范正交基i和j上

第4523Projia3Projja投影 大 a(3,2)1(3i)1(2j)分量11分别都不是向a在正交基3i2j上

3Proj3ia3投影

大学Proj2ja2第45如果a1a2arV的一个基，但不是规范交基axaxax 大 xi一般aai上的投这说明规范正交基有第45三 正交化过第45设a1,a2,…,ar是 n中的一个线性无关组。我们希望把它改造成一个正交组b1,b2,…,br，a1与b1等价(共线 大a1a2b1b2等价(共面a1a2a3b1b2b3 大a1a2arb1b2br等价第45设a1,a2,…,ar n中的一个线性无关组我们希望把它改造成一个正交组b1,b2,…,br， a1a2aib1b2bii=1r)下面介绍这个方法 正交化过 idtorthogonalizationprocessAlsocalled 正交化过学第45 设a1,a2,a3是 3的一个线性无关组，它们构 3的一个基 大下面将其改造成一个规范正交基第一步取b b1=a1a2所确的平面找一个非零向量 为此，将a2投影到b1（即投影到b1生成的 W1），得向量c1。

il第一步第二步在b1=a1和a2所确

第45b2，使之与b1正交。为此，将a2投影到

大acc1则b2=a2-c1与b1c1可由b1线性表示

b1c1(Projba2)

[a

]

[a2,b1]

11将a2投影到b1， 得向量c1。b2=a2-c1b1正交

第45a2c1

c1(Projba2)

[a

]

[a2,b1]ba222ba2221]2b1 否则b1,a2第45a1a2a3所决定的向量空间(也就b1b2a3决定的向量空间找一个非零向量b3，使b3与b1和b2都正交。就是b1,b2生成的 W2) 大 所以b与b和b都正

2pril第45b3=a3-c2与该平W2正交，

ba

都正交

的表达式 c(Proja) (Proja) 大 1

233[a, ] [a, ]33

第45c(Proja) (Proja)2223[a,3

]

3[a,3

]

[a3,b1]b[a3,b2]

21bb 21bb April[a,b [a, April ba

b

b2a3第45 总结以上步

第一

b

baba[a2,b1]第二 bba3,1b[a3,b2]

b2a2b3a3第45此课程课件可在课程学第45下面给 正交化过第45设a1,a2,…,ar是 n中的一个线性无关组。我们希望把它改造成一个正交组b1,b2,…,br， 大a1a2b1b2等价（共面）a1,a2,a3与b1,b2,b3等价 大a1a2arb1b2br等价第45设a1,a2,…,ar n中的一个线性无关组取 大则{b1}与{a1}等价(共线) 找一个非零向b2，使b2与b1正交 b2k1b11,221,1]k21,第45b1=a1，则{a1与{b1在{b1,a2}生成的 找一个非零向b2，使b2与b1正交。 大b2k1b11,2[1,1,1]k21, kk[1,a2]bk[b1,a2]bk 2[b,b

2[b,b

k=1

ba[b1,a2]1 1

[1,1]baba[1,a2]22[b,b111b1=a1，则{a1与{b1在{b1,a2}生成的 找一个非零向b2b2b1b2b1正交，且b2≠0b1a2线性相关。且{b1,b2}与{a1,a2}等价（共面）。(3在{(3在{b1b2a3}向量b3b3b2b1第45 在{b1,b2,a3}生成的三 向量b3，使b3与b2和b1都正交。 b3k1b1k2b201,3[b1,k1b1k2b2 大1,1]k21,2]k31,a3]k[b,b]k0

[b,a

k

1,a3] 同理0b2,b3k2

[b2,a3 3[b,b

[b,b 第45 在{b1,b2,a3}生成的三 向量b3，使b3与b2和b1都正交。 b3k1b1k2b20

,3

k1

[1,a3 3[b,b 0[b,b] k[b2,a3

3[b,bb

[1,a3]b

[b2,a3]bk 3[b,b] 3[b,b

第45 在{b1,b2,a3}生成的三 向量b3，使b3与b2和b1都正交。 b3k1b1k2b2 大3bk[b1,a3]b3

[b2,a3]

k 3[b,b]

[b,b

k=1b

[1,a3]b

[b2,a3 [b,b] [b,b b3b1b2正交，且b3≠0，否则b1b2,a3且{b1b2b3与{a1a2a3等价baba[b,a1ib2,aiii[b,b1b...1,aib11[b,b222]一般地，假设按以上步骤求正交向量组{b1,…,bi- 大则b1bi两两正交且b1bi}{a1ai}等价i=12rb1br单位化，得到两两正交的单位第45 定理每个r维向量空间V都有规范正交基 证a1a2arr维向量空V的一个基 正交化方法可将这组基改造成一个 大最后将正交基单位化，得到V的规范正交基12re 大12r 第452设有三个线性无关的三维向1

4a2,a3,a 大 1 0 试 正交化过程把这组向量规范正交化 1 先正交

b1 1 4a2,a3,a

第451取ba2

1 0

大 1b

[1,a2]

1612 11,1 1

川1 川1

1

2大 322194

15

51 3 3

3

3

3 11 1

5 5 1 4a2,a3,a

第451取ba2

1 0 大 [b,a

1

b2

b

1 为方便 11,1]1

3 可

b211 1WhatweWhatweneed,atthispoint,isthenottheb3a3

[b1,a3]b[b2,a3]

b21[b,b [b,b1 第451 4

1 a2,a3,a

b12b1 12ba1,3]b 12

1 1 [1,1] 4 1 142241163 630

1 第451 4

1 122a2, 122

3,

b21 3 1 3

14 1 b1422411 大63 630

1 4 1

1 112511325

3

0 1

0 5

1 4a2,a3,a

第451 b121

1 0

14 1

121 b112511325 3

0 0 5 6 1

，11，116 6 1 4a2,a3,a

第45 1 0 大 1b2

b1

1 0

1 1

1 1 四1四

1 1 e1

b1

12

e

11123 123 1 11 4a2,a3,a

第45 大 1 0 1b2

1

b211 1

b31 1

再单位化：1e12

e11

e

1210211

3 3 3

11 4a2,a3,a

第45线性无 1 0 大1b2

b1

1b

两两正1 1 1 1

1 1 1

1e12e11e10

两两正四11四11

3

2 1 4a2,a3,a

第45 1 0 z1

3 2 b1

a3ay1yb 21 21 11 11 1

第45b1b0

1 1

1 1 a34a

1 0

大

a1

12 2

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-xyz:=disy(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):第453a1=(111)，求非零a2a3，使a1,a2,a3两两正交。解先求两个与a1正交的向量p1,p2， 再将a1,p1,p2正交化。设x=(x1x2x3a1x1

axT(1,1,1)x1大x1x2x3 大

2x3第45a1=(111)a2a3，使a1,a2,a3两两正交设x=(x1,x2,x3)与a1正交，则x满足齐次线性方程组a1xT

x1 2(1,1,1)x 2xxx

x

x

3分别取(x2,x3)=(1,0)和(0, 大得到 正交的两个 大p1=(-110)和p2=(-101a1,p1,p2线性无关，但还不是两第45a1=(111)，求非零a2a3，使a1,a2,a3两两正交得与a1正交的两个向量：p1=(- 大p1a1正交a2=p1-a

[a1,p2]a[a2,p2] 1

,

[aa] 00a11

1

可取a 2

2

1

0

2

2四 四第45a1=(111)，求非零向a2使a1a2a3两两正a2=p1-

a 2 2大 a1,a