勾股定理证明方法

勾股定理证明方法1.S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2)，①又TS梯形ABCD二SAAED+SAEBC+SACED二ab+ab+c2=(2ab+c2)02.如图已知，如图四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，设AD=c,AE=a,DE=b,△AED.△BHA、ACGB、ADFC是四个全等的三角形.解•・•四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=CD=c.•.•AE=a,AAED、ABHA、ACGB、ADFC是四个全等的三角形，.•・AE=BH=CG=DF=a..•・EF=b—a.又••四边形EFGH是正方形，.•・EF=FG=GH=HE=b—a.••正方形ABCD的面积S1=c2，正方形EFGH的面积S2二(b—a)2，^AED的面积S3=(1/2)*a*b，S2+4*S3=S1，.(b—a)X2+4*(1/2)*a*b=c"2，即a'+b'W.化简得:c2二a?+b24•以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.•/RtAHAE9RtAEBF,.•・ZAHE二ZBEF.•/ZAEH+ZAHE二90°,

.•・ZAEH+ZBEF二90°..•・ZHEF二180°—90°二90°..四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c?.JRtAGDH9RtAHAE,.ZHGD二ZEHA.JZHGD+ZGHD二90°,.ZEHA+ZGHD二90°.又JZGHE二90°,.ZDHA二90°+90°二180°.abHba.ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于abHba(a+b)2ab+c2.a2+b2=c2(a+b)2ab+c2.a2+b2=c2..5•以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab

三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状.JRtADAH9RtAABE,.ZHDA二ZEAB.JZHAD+ZHAD二90°，.ZEAB+ZHAD二90°，.•・ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.JEF二FG=GH=HE二b—a,ZHEF二90°.・•・EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于9-W.4x丄ab+(b-c2・a2+b2=c2.6•做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.JD、E、F在一条直线上,且RtAGEF9RtAEBD,.ZEGF二ZBED，JZEGF+ZGEF二90°，.ZBED+ZGEF二90°，.ZBEG二180°—90°二90°.

又•・•AB二BE二EG二GA二c,・•・ABEG是一个边长为c的正方形..•・ZABC+ZCBE二90°.•/RtAABC9RtAEBD,.•・ZABC二ZEBD..•・ZEBD+ZCBE二90°.即 ZCBD二90°.又•・•ZBDE二90°,ZBCP二90°,BC二BD二a..BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则a2+b2=S+2x丄ab,21ab做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP〃BC，交AC于点P.baAcPbMcNaBA二c，过点B作BM丄PQ，垂足为M；再过点F作FN丄PQ，垂足为baAcPbMcNaBA二c，•/ZBCA二90°，QP〃BC,.ZMPC二90°，•/BM丄PQ,.ZBMP二90°，.•・BCPM是一个矩形，即ZMBC二90°.•ZQBM+ZMBA二ZQBA二90°，ZABC+ZMBA二ZMBC二90°，.ZQBM二ZABC，又•・•ZBMP二90°,ZBCA二90°,BQ.RtABMQ9RtABCA.同理可证RtAQNF9RtAAEF.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL丄DE,交AB于点M,交DE于点L.•AF二AC，AB二AD，ZFAB二ZGAD，.AFAB9AGAD，

a2•・•AFAB的面积等于2 ,AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，a2•・•AFAB的面积等于2 ,AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，/.矩形ADLM的面积二a2同理可证，矩形MLEB的面积=b2EDKF二矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积//.//.Lc如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.在AADC和AACB中，•/ZADC二ZACB二90°,ZCAD二ZBAC，.•・AADCsAACB.AD:AC二AC:AB，即AC2=AD•AB同理可证，ACDBsAACB，从而有BC2二BD•AB.AC2+BC2二（AD+DB）•AB二AB2即a2+b2二c2做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP丄AF，垂足为P.AF于H.•/ZBAD二90°，ZPAC二90°，.•・ZDAH二ZBAC.又•・•ZDHA二90°，ZBCA二90°，AD二AB二c，.•・RtADHA9RtABCA..DH二BC二a，AH二AC二b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtAAPB9RtABCA.即PB二CA二b，AP=a,从而PH二b—a.•RtADGT9RtABCA,RtADHA9RtABCA..RtADGT9RtADHA.

.•・DH二DG二a,ZGDT二ZHDA.又•・•ZDGT二90°,ZDHF二90°,ZGDH二ZGDT+ZTDH二ZHDA+ZTDH二90°,・•・DGFH是一个边长为a的正方形..•・GF二FH二a.TF丄AF,TF二GT—GF二b—a.・•・TFPB是一个直角梯形，上底TF二b—a,下底BP二b,高FP=a+(b—a).用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为c2=S+S+S+S+S12345S+