复数的三角表示 同步练习-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页第七章7.3复数的三角表示同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列结论中正确的是（

）．A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C．实数0不能写成三角形式；D．复数0的辐角主值是0．2．欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（

）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对3．已知复数，则（

）．A． B． C． D．4．设，则复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．5．复数化成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．6．复数的辐角主值是（

）A． B． C． D．7．若，则的三角形式为（

）A． B．C． D．8．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（

）A．负实数 B．纯虚数C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)9．已知的三角形式为，则的三角形式是（

）A． B．C． D．10．设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（

）A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D．+i11．复数的辐角主值是（

）A．－40° B．310° C．50° D．130°12．若（为虚数单位），则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．任何一个复数(其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（

）（1）（2）当时，（3）当时，（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A．1 B．2 C．3 D．415．已知i为虚数单位，若i，i，，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（

）A．若i，则iB．若i，则iC．若i，i，则iD．若i，i，则i二、填空题16．将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值）17．复数（i为虚数单位）的辐角主值为______．18．计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______．19．若（i为虚数单位），则使的的一个可能值是______．20．欧拉公式（i为虚数单位）可知，当时，______实数．（填写是或否）三、解答题21．设非零复数满足关系，且的实部为，其中．(1)当时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；(2)是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．22．设i为虚数单位，n为正整数，．(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；(2)若复数，利用（1）的结论计算．23．如果复数，，（其中，，i为虚数单位）．求证：．24．已知复数z满足，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；D：复数0的辐角主值不唯一，错误.故选：B2．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①②则①②均正确故选：A3．A【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数，故选：A．4．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.5．A【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数的模为，则，，所以复数的三角形式为．故选：A.6．D【分析】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．【详解】复数，所以复数的辐角主值是．故选：D7．C【分析】由对应的辐角主值可得其三角形式.【详解】，辐角主值为，则其三角形式为.故选：C.8．B【分析】设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由可得，利用复数除法运算的三角表示即可得出结果.【详解】由题意得，设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由，得或，.所以为纯虚数．故选：B.9．B【分析】根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.【详解】由题知，的三角形式是，结合诱导公式知，，故选：B10．C【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝【详解】解：|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，则|（z﹣1）（z﹣i）|＝2令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝∴当t＝即θ＝时，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此时，z＝﹣﹣i．故选：C11．B【分析】将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数，所以该复数的辐角主值是.故选：B12．A【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】当时，，当时，可以取，此时，所以是的充分不必要条件.故选：A13．B【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案．【详解】解：由，所以，复数在复平面内所对应的点的坐标为，，，所以，，复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：．14．B【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为，所以，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），当时，，则，所以（2）错误，对于（3），当时，，则，所以（3）正确，对于（4），当时，，则当时，，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B15．A【分析】A.ii，所以该选项正确；B.i，所以该选项错误；C.i，所以该选项错误；D.ii.所以该选项错误.【详解】A.若i，则ii，所以该选项正确；B.若i，则i，所以该选项错误；C.若i，i，则i，所以该选项错误；D.i，i，则ii.所以该选项错误.故选：A16．【分析】直接写出复数－2的三角形式即可.【详解】故答案为：17．##【分析】将复数写成三角表达形式即可.【详解】，故答案为：18．【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可.【详解】故答案为：19．（答案不唯一）【分析】即，可得，，求得．【详解】解：为虚数单位），即，，，，，.所以的一个可能值是（满足，）.故答案为：（满足，）.20．是【分析】直接利用欧拉公式求解后即可判断.【详解】由欧拉公式，当时，，是实数.故答案为：是21．(1)，其中(2)答案见解析【分析】（1）根据题意得，在复平面上对应的点位于实轴的下方得，即可解得结果.（2）根据，可设，，，，要满足题意需对任意实数均不成立，可推断，进而解得取得最小值的的值.【详解】（1）因为，且，所以，进而得．设．由，得．又在复平面上对应的点位于实轴的下方，因此．由此得，其中，所以，其中．（2）由，可设，则，得当，即，时，．因为，所以当时，有最大值，此时，整理得．欲使此等式对任意实数均不成立，则，即，又为正整数，因此只能．当时，对任意实数，都使无最大值，只有最小值，此时．所以，存在，使得只有最小值，而无最大值，且当取最小值时，的值为．22．(1)(2)【分析】（1）观察规律即可得；（2）由特殊角三角函数得，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由观察得；（2），由（1）