量子力学第1章

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在谐振子势V（x）=1mo2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2（2）提示：利用|p-dx=nh,n=1,2,—,p=、:2m[E一V（x（2）解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为|x<a（1）1其中a由下式决定：E=V（x）|=2mo2a2。由此得x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件fp-dx=2丁\：2m(E-jmo2x2)dx=2moTxa2-x2dx=2moa2-:=mo丸a2=nh-a-a得a2=-n匚=也(3)mwnmo代入(2)，解出（4）n=1,2,3,（4）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有,(n=1,2,3,)（2a:一来一回为一个周期）同理可得n,n,n=1,2,3,…粒子能量

n2k+―+―T1兀2力2(p2+p2+p2)=2mxyn2k+―+―T转子的能量E=p2/21。提示：利用j2"pd中=nh转子的能量E=p2/21。解：平面转子的转角（角位移）记为平。它的角动量p中=I中（广义动量），p中是运动惯量。按量子化条件j2"pdx=2兀p=mh,m=1,2,3,…「.p中=mh，因而平面转子的能量E=p2/21=m2力2/21，m=1,2,3,…1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.（解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是,，线速度是v，用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是：BevmvBevmv2(1)又利用量子化条件，令p=电荷角动量q=转角平(2)jpdq=j2nmrvd<p=2兀mrv=nh即mrv=nh由（1）（2）求得电荷动能二1mv2=生匝22mc再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能磁矩*场强电流(2)磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*兀r2*B,v是电荷的旋转频率，v—，代入前式得运动电荷的磁势能=生匝（符号是正的）2mc点电荷的总能量=动能+磁势能=E=生匝（n=1,2,3）2mc1.5,1.6未找到答案1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律nsirfX=nsi0（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理gfpdl=0认为p=mv则gfpdl=0这将导得下述折射定律nsina=nsinaEv.、一.、一.一..这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：p竺仍就成立，E这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：pc2媒质到另一种媒质E仍不变，仍有gfpdl=0，你怎样解决矛盾?（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程I=naq+nqb设A，B到界面距离是a,b（都是常量）有i=naseca+nbseca又AB沿界面的投影c也是常数，因而a]，a2存在约束条件:atga+btga=c（2）求（1）的变分，而将a],a2看作能独立变化的，有以下极值条件gI=nasecatgada+nbsecatgada=0⑶11112222再求（2）的变分ase。ada+bse&ada=gc=0⑶与(4)消去da和da得nsina=nsina(5)［乙法］见同一图，取X为变分参数，取0为原点，则有：I=nx：a2+X2+n［b2+(c-X2)TOC\o"1-5"\h\z求此式变分，令之为零，有：51=41〉一n2(Cf施=0Irva2+x2\jb2+(c-X)2这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度'光程原理作8』Vdl=0,依前题相速V=三，而V=艾=cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的，而波阵面速度则是相速度V，这样最小作用pVGvpGp量原理仍可以化成最小光程原理.5』ndl=0前一非难是将光子的传播速度V看作相速度V的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:E=^^(1)'V2mv2p=(2)TOC\o"1-5"\h\z试根据哈密顿量H=E=\；m2c4+c2p2(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组：g=^H-，本题中q=V，p=p，因而iiv=—\；'m2c4+c2p2=,一=(4)6pvm2c4+c2p2从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3)，就可得到(1)式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度Vg间的关系.运用德氏的假设：p=k于⑶式右方，又用E=力&于（3）式左方，遍除h:④：mc+c2k2=少（k）I力2按照波包理论，波包群速度V是角频率丢波数的一阶导数:'m2c4\m2c4+c2p2+c2k2'”:力2最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而V=v。又按一般的波动理论，波的相速度VG是由下式规定V=U入=—（U是频率）利用（5）式得知V=+c2>c（6）p'力2k2故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出VG和V的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设:E力Wc2c2c2==，V=（7）P力kVVpVGG补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，3,x<0,x>aV（x）=<0,0<x<a试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有a=n-(n=1,2,3,…)2(n=1,2,3,)—mw2x2］2（1）（2）（3）:.X=2a/n又据deBroglie关系p=h/X而能量E=pfamwv'a2一x2dx=nh(2)-a积分得:mwa2兀=nh遍乘1—得2兀hwE==(n=1,2,3,)—mw2x2］2（1）（2）（3）famwv'a2一x2dx=nh(2)-a积分得:mwa2兀=nh遍乘1—得2兀hwE==n力wA*0BX

［乙法］也是利用量子化条件，大积分变量用时间t而不用位移X，按题意振动角频率为O，直接写出位移X，用t的项表示：q=x=asinwt求微分:dq=dx=awcoswtdt(4)求积分:p=mx=mawcoswt(5)将(4)(5)代量子化条件：=nhJpdq=ma2w2JTcos2w=nh一.，一,,2冗._T是振动周期,T=竺,求出积分，得hwmwa知=nhE=n=nw2丸n=1,2,3正整数#⑵用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为a,b,c.(解)三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如PT-P)，其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件：JPdq=nh=2PJadx=2aP(1)TOC\o"1-5"\h\zxxxx0xJPdq=nh=2PJbdy=2bP(2)yyyy0yJPdq=nh=2PJcdz=2cP(3)zzzz0zP,P,P都是常数，总动量平方P=\«P2+P2+P2总能量是：

E=—-=(p2+p2+p2)2m2mxyz-1nhnhnh[(-^)2+(-^)2+(-^)2]2m2a2b2c=土[(土)2+(L)2+(马)2]8mabc但n,，气,nz=1,2,3正整数.[3]平面转子的转动惯量为I,求能量允许值.（解）解释题意:平面转子是个转动体，它的位置由一坐标（例如转角平）决定，它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量I①，但①=<p是角速度,能量是E=1Io22利用量子化条件，将p理解成为角动量,q理解成转角平，一个周期内的运动理解成旋转一周，则有(1)=nh0（1）说明①是量子化的(2)TOC\o"1-5"\h\znhn力,-…、(2)o==(n=1,2,3..)2兀II⑶