模煳控制的资料

模煳控制的资料第1页/共165页第2章主要内容2.1

模糊控制概述

2.2

模糊控制的数学基础

2.3

模糊推理系统原理及设计

2.4

模糊控制原理及系统设计

2.5MATLAB模糊逻辑工具箱的使用

2.6模糊控制工程应用实例第2页/共165页2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的产生和发展

传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础之上的，随着科学技术和工业生产的迅猛发展，各个领域对自动控制系统的精度、响应速度、系统稳定性、自适应能力的要求越来越高，所要求控制的对象也日益复杂多变。

许多过程和对象的参数不确定、系统具有非线性、时变性、强耦合、较大的随机干扰，过程机理错综复杂，被控对象的精确数学模型难以建立。第3页/共165页2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的产生和发展

对于这类复杂控制对象或过程，常规自适应控制技术虽然可以解决一些问题，但范围和性能很有限。对于那些难以建立数学模型的复杂被控对象，采用传统的控制方法，包括基于现代控制理论的控制方法，往往不如一个有实践经验的操作人员所进行的手动控制效果好。模拟人的知识和思维特点，将自然语言引入计算机知识存储和推理，让计算机发挥智能、具有灵活性，这也是计算智能的主要发展方向。模糊控制就是使计算机具有这种特性的智能控制方法。第4页/共165页2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的产生和发展模糊控制是以模糊集合论作为它的数学基础，它的诞生是以扎德（L.A.Zadeh）于1965年提出模糊集理论为标志，模糊控制是模糊集合论应用的一个重要方向。模糊控制经历了四十多年的研究和发展不断丰富完善，在复杂的工业生产控制领域和各种商业民用场合得到了广泛的成功应用。模糊控制系统的应用对于那些测量数据不确切、要处理的数据量过大以致无法实时处理和一些复杂时变的被控对象控制场合是非常有价值的，利用模糊逼近来表示它们是非常合适的。第5页/共165页2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的产生和发展

与依据系统行为参数的传统控制器设计方法不同，模糊控制器设计是依赖设计者的经验。在传统控制器中，控制的核心是系统的数学模型；而模糊控制器控制的核心是模糊规则。改善模糊控制性能的方法是优化模糊控制规则、调整模糊描述。通常，模糊控制规则的获取是通过将人的手动控制经验转化为模糊语言形式，因此它带有相当的主观性，而且有限的规则难以准确完整描述人的手动控制经验。所以，模糊控制也存在一定的局限性和不足，没有一种特定的控制方法对所有的控制对象和在各种环境下都是最优的。第6页/共165页2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特点

模糊控制是模糊理论在控制工程上的应用。它用语言变量代替数学变量或将两者结合应用，用模糊条件语句来描述变量间的函数关系，用模糊推理来刻画复杂的关系，是具有模拟人类学习和自适应能力的控制系统。模糊控制的核心是模糊规则和各种变量的模糊集合表示。一个典型的模糊控制系统结构示意图如图所示。第7页/共165页2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特点

模糊控制在复杂的工业生产控制领域得到了广泛的成功应用，特别是在近二十年来发展相当迅速，这主要归结于模糊控制的如下显著特点：（1）无需建立被控对象的数学模型（2）是一种模拟人类知识、思维智慧的控制方法（3）规则和推理机制易被人所接受、理解，便于进行人机交互（4）控制器构造容易（5）控制器鲁棒性好第8页/共165页2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特点

模糊控制技术的特点使其在智能控制中得到成功应用。同时也应看到，模糊控制技术的迅速发展也离不开相关技术的进步。这些相关技术包括：（1）模糊控制器核心处理单元（2）模糊信息与精确物理信息的转换技术（3）模糊控制的软件技术第9页/共165页2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特点

这些模糊控制的相关技术随着大规模集成电路技术、计算机技术、电子工艺技术的发展而不断成熟起来。虽然模糊控制技术的应用也取得了惊人的成就，但与传统控制技术相比仍然显得很不成熟。

总体看来，模糊控制是一种更模拟人的智能方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界问题，其结果往往更符合人的要求。用模糊控制更能容忍噪声干扰和元器件的变化，系统适应性更好，模糊控制具有广阔的应用前景。第10页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念1.

经典集合

论域、集合、元素这三个概念之间的关系是：论域是元素的全体；集合是论域中部分元素的全体；元素要么属于某集合，用符号∈表示，要么不属于某集合。表示三者相互关系的常用符号有：，表示元素a属于集合A，表示元素a不属于集合A，表示集合A中的任一元素a，表示集合A中存在元素a第11页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念经典集合的表示

经典集合有多种表示方法，其中前两种最常用：（1）列举法（2）定义法（3）归纳法（4）特征函数表示法（5）集合运算表示法第12页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念3．几种特殊的经典集合（1）全集：包含论域中的全部元素的集合，常记为U或E。全集对应论域中必然会发生的事件；（2）空集：不包含任何元素的集合，记为

。空集对应着不可能发生的事件；（3）子集：如果集合A中的全部元素也都是属于集合

B的

元素，则A是B的一个子集，记作A

B

，表示集合A包含于B；或记作B

A

，表示集合B包含集合A。若同时有A

B且A

B，则称A与B相等，记作A＝B。第13页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念4．经典集合的基本运算

令A和B为论域U上的两个集合，集合之间的运算可以定义如下，示意图如2-2。1）并运算A∪B2）交运算A∩B3）补运算

4）差运算A+B第14页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念(a)A∪B(b)A∩B(c)(d)图2-2经典集合的运算示意图第15页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念5．模糊集合的概念

从经典集合论扩展延伸，经典集合论用0和1的特征函数值表示元素和集合的关系，模糊集合论用从0到1闭区间连续变化的函数值描述元素和模糊集合的关系，用以描述不确定和模糊的事物。模糊集合常用符号

、

等来表示。(a)经典集合的边界(b)模糊集合的边界图2-3经典集合与模糊集合的边界对比第16页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念

定义2-1给定论域U上的一个模糊集

是指：对任何元素

，都存在一个数

与之对应，表示元素u属于集合

的程度，这个数称为元素u对集合

的隶属度，这个集合称为模糊集合。

特别地，当

的值只有0和1时，模糊集

就蜕化成一个经典集合，因此模糊集合可以看作是经典集合的扩展。第17页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念

例2-2一般情况下，把15~25℃的环境温度称为“舒适”温度，把15℃以下的温度称为“凉爽”，25℃以上的称为“热”经典集合和模糊集合对这三个概念的表示如图2-4所示。(a)经典集合(b)模糊集合图2-4经典集合与模糊集合对温度“舒适”、“凉爽”和“热”的定义第18页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念定义2-2模糊集的支撑集：模糊集

的支撑集是一个（经典）集合

，记作suppA。定义2-3

模糊单点：如果模糊集

的支撑集只有一个元素u，且

，则称

为模糊单点，或单值模糊集。第19页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念6．模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法有多种：（1）扎德表示法：

其中

为模糊集

的支撑集元素，

为元素

对模糊集

的隶属度。扎德表示法常用于表示支撑集有有限个元素的模糊集。（2）序偶表示法：（3）向量表示法（2-6）（2-7）（2-8）第20页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念

以上三种方法用于表示支撑集有有限个元素的模糊集，对于支撑集有无限

个元素个数的模糊集，可以用下面的隶属度函数解析表达式表示法。（4）隶属度函数解析式表示法：将模糊集合的隶属度函数用数学解析式来表示，从而表示该模糊集合。例2-4论域U＝[0,100]，模糊集合

为“年老”，

为“年轻”。分别表示这两个模糊集合。解：设x表示年龄，模糊集合

、

的隶属函数分别为：第21页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念7．模糊集合的运算设论域为U，模糊集合

、

，他们之间的并

、交

，以及补运算

定义如下：

定义2-4:模糊集合的并集：若有三个模糊集合

、

、

，如果

，均有

则称

为

与

的并集，记为

。（

、max均表示取最大值运算）定义2-5:模糊集合的交集：若有三个模糊集合

、

、

，如果

，

均有则称

为

与

的交集，记为

。（

、min均表示取最小值运算）第22页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.1模糊集的概念定义2-6：

模糊集合的补集：若有两个模糊集合

、

，如果

，均有则称

为

的补集，记为

。模糊集合的运算示意如图2-5。图2-5模糊集合的运算示意图第23页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定1．隶属度函数

模糊集合通过隶属度函数

（MembershipFunction）将其中的元素映射到

区间，表示该元素属于此模糊集的程度。隶属度函数的取值范围从经典集合的

集合扩大到

区间，与连续值逻辑相对应，可以更好地描述客观事物差异的中间渐变过渡模糊性。设论域

，对于模糊集合“中等”的隶属度函数可采用高斯函数，隶属度函数曲线如图2-6所示。模糊集合“中等”的隶属度函数曲线第24页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定2．确定隶属度函数的基本原则（1）隶属度函数应选用单峰函数，不宜采用多峰函数。

定义2-7凸模糊集：

，当

时，有

则称模糊集

为凸模糊集。

应用于模糊控制的模糊集合一般都是凸模糊集合，表示凸模糊集的隶属度函数应符合定义2-7，从函数的图形曲线上看应该是单峰函数。

图2-7凸模糊集合的隶属度函数第25页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定（2）对变量选择模糊集合及其隶属度函数通常应是对称和平衡的：在模糊控制系统中，每一个输入变量（模糊控制中常使用语言变量表示）可以有多个标称值（又称语言值）。模糊变量的标称值选择既不能过多又不能过少，一般取3~9个为宜，并且通常取奇数个。（3）隶属度函数要遵从语意顺序并避免不恰当的重叠：：在相同论域上使用的具有语义顺序关系的若干标称值的模糊集合，例如“速度很低”、“速度低”、“速度适中”、“速度高”、“速度很高”等模糊子集的中心值位置必须按这一顺序排列，不能违背常识和经验。图2-8交叉越界的隶属度函数第26页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定（4）隶属度函数的选择需要考虑重叠问题：一个合理的隶属度函数的建立需要考虑很多因素，重叠指数为隶属度函数的选择提供依据。为了定量研究隶属度函数之间的重叠，Motorola的Marsh提出重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属度函数的重叠关系：

重叠指数示意如图2-9所示重叠率=重叠鲁棒性=重叠区域平均隶属度第27页/共165页2.2模糊控制的数学基础重叠率=0重叠鲁棒性=0重叠率=重叠鲁棒性重叠率=10/30=0.33重叠鲁棒性=0.5重叠率=5/35=0.143重叠鲁棒性=0.25图2-9隶属度函数重叠指数示意图第28页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定3．隶属度函数的确定（1）专家评分法（2）模糊统计法

利用确定性的实验来研究不确定的模糊现象，其基本思想是：利用足够多的随机试验，对于要确定的模糊概念在讨论的论域中逐一写出定量范围，再进行统计处理，以确定能被大多数人认可的隶属度函数。确定隶属度函数的步骤如下：①选取一个论域U②选择一个固定的元素

③统计实验④统计计算⑤选取论域中的其它元素

，按上述步骤③、④求各个

。将隶属度不为零的元素

和

配成单点，即构成下面的单点模糊集

：

第29页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定

例题2-6模糊概念“青年人”的模糊集合

隶属度函数的统计实验。实验中要求128位被访问者尽可能恰当地用

的年龄上下界限表示“青年人”这一概念的年龄区间。由于被访者对“青年人”模糊集

的理解有差异，因此所得到的区间不完全相同，随机抽样的16个实验数据列于表2-1中。年龄区间年龄区间年龄区间年龄区间年龄区间年龄区间年龄区间年龄区间18-2815-3018-3015-2816-3516-3014-2516-2818-3016-3020-3020-3516-3018-3017-2815-30表2-1被访问者返回的“青年人”年龄区间数据（单位：岁）第30页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定

采用模糊统计法对实验统计数据进行统计计算，论域是

，按（2-14）式分别计算15~35岁对模糊集合“青年人”

的隶属度，结果列于表2-2中。年龄(岁)隶属次数隶属度年龄(岁)隶属次数隶属度年龄(岁)隶属次数隶属度15260.20221281.0029800.6316500.39231281.0030770.6017660.52241281.0031270.21181230.96251281.0032270.21191240.97261030.8033260.20201281.00271010.7934260.20211281.0028990.7735200.16表2-2模糊统计计算结果第31页/共165页2.2模糊控制的数学基础项

目数

据实验次数102030405060708090100110120128隶属次数71524314047546270798695101隶属度0.700.750.800.780.800.780.770.780.780.790.780.790.79表2-3年龄27岁对“青年人”模糊集的统计隶属度与实验次数的关系“青年人”模糊集的隶属度函数曲线将其中

岁对

的隶属度与实验次数n的关系列于表2-3中。从表2-3可以看出，随着实验次数的增加，隶属度

最终稳定在0.79附近。以年龄为横坐标、隶属度为纵坐标将表2-2的数据绘制成“青年人”模糊集的隶属度函数曲线，如图2-10所示。第32页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定（3）二元对比排序法

二元对比排序法是一种较实用的隶属度函数确定方法，它通过对多个事物之间的两两对比来确定其某种特征的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属度函数的大体形状。二元对比排序法根据对比测度的不同，可分为相对比较法、对比平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等，下面介绍其中较实用方便的相对比较法。

相对比较法首先列举出论域U中的元素

，然后对这些元素按某种特征进行排序。排序时先在二元对比中建立比较等级，而后按某种转换算法进行总体排序，以获得诸元素对于该特性的隶属度函数。具体实现方法如下：

设论域U中的一对元素

，其具有某特征的等级分别为

，即在

和

的二元对比中，如果

具有该特征的程度用

来描述，

则

具有该特征的程度可以用

来描述。并且该二元对比等级数对的大小必须都在

区间内。第33页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定另可构造出相及矩阵G：推广到n元的情形，同样可得到n元相及矩阵：

对相及矩阵G的每一行元素取最小值，并按其值的大小排序，即可得到论域中各元素对该特征的隶属度函数大小顺序和近似值。（2-15）（2-16）（2-17）第34页/共165页2.2模糊控制的数学基础4．常用的隶属度函数曲线

隶属度函数曲线大体可分为三大类：（1）左大右小的偏小型下降函数（又称

Z函数）；（2）左小右大的偏大型上升函数（又称S函数）；（3）对称型凸函数（又称

函数)。其中主要的曲线示意图如图2-11所示。图2-11常用隶属度函数曲线第35页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.2隶属度函数及其值的确定

三种常用的平滑曲线函数：（1）高斯函数（Gauss）：（2）钟形函数（Bell）：（3）Sigmoid函数：（2-18）（2-19）（2-20）图2-12三种常用曲线平滑的隶属度函数曲线第36页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系1．模糊关系的概念

模糊关系是普通关系的拓广和发展。模糊关系是通过两个论域上的笛卡儿积把一个论域A中的元素映射到另一个论域B中去。这两个论域中序偶间的关系“强度”是

用隶属度函数在单位区间

上的值来表示的。因此，模糊关系R是笛卡儿空间

到区间

的映射，用分别来自论域A、B的序偶

的隶属度函数

来表示。

定义2-8：

二元模糊关系：设A、B是两个非空集合，则直积

中

的一个模糊集合

称为从A到B的一个模糊关系。模糊关系

可由其隶属度完全描述，隶属度

表明了元素a与元素b具有关系

的程度。设有限元素集合

和

，则

的模糊关系

可用

阶矩阵来表示（2-21）第37页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系

例2-8设集合A={苹果、乒乓球、书}，B={篮球、花

、桃、菱形}，

分别表示这些物品，求A和B中物品之间的“相似”程度的模糊关系。

解：

假设物品之间完全相似描述为1，完全不相似为0，其余按具体相似程度给出一个0~l之间的数，就可确定出

的“相似”模糊关系

。相似abcdx0.70.50.60y0.90.40.50z0000.1相似程度列表模糊关系矩阵第38页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系2．笛卡尔积为了建立模糊集间的模糊关系，可考虑模糊集

和

的直积，记为

：其中

是有序对

的集合，即

。

定义2-9

笛卡儿积（

算子）

若

分别是论域

中的模糊集，则

的笛卡儿积是在积空间

中的一个模糊集，其隶属度函数有直积和代数积两种算法：

直积（极小算子）：

代数积:

对于连续情况，模糊关系矩阵可以定义为:（2-23）（2-24）（2-25）（2-22）第39页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系

例2-9对于模糊条件语句“如果输入小，则输出快”，这里“小”、“快”分别为

小

快

求他们的直积、代数积，试解释含义。

解：直积为

对比直积与代数积可以看出，代数积算子比取小算子产生更平滑的模糊关系曲面。代数积为第40页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系3．模糊关系的合成对于很多控制系统，只依赖单一的条件语句推理是不够的。因此存在多重推理现象，如“IFTHEN，IFTHEN”这样一类控制规则，其输入变量是

，控制输出变量是

，对系统进行分析

和

之间是否存在某种直接关系呢？寻求这种关系的方法就是模糊关系的合成。对于普通关系也存在关系合成计算，如A和B是父子关系，B和C是夫妻关系，则A和C就会形成一种新的关系，即“公媳关系＝父子关系

夫妻关系”，“

”表示关系合成运算。推广到模糊概念域，模糊关系也存在关系的合成，其合成的方法是通过模糊关系矩阵来进行的。第41页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系例2-10某家庭子女与父母的长相“相似”模糊关系

，可表示为该家庭父母与祖父母的长相“相似”模糊关系

也可表示为试分析该家庭孙子、孙女与祖父、祖母的长相“相似”程度。解：模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类问题而提出来的。模糊关系

与

合成运算为这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的长相相似程度分别为0.5、0.8,，而孙女与祖父、祖母的相似程度分别为0.5和0.7。父母子0.80.6女0.70.4祖父祖母父0.50.7母0.10.0第42页/共165页2.2模糊控制的数学基础2.2.3模糊关系

定义2-10模糊关系合成：如果

和

分别为笛卡儿空间

和

上的模糊关系，则

和

的合成是定义在笛卡儿空间

上的模糊关系，是一个从论域U到W的模糊关系，并记为或将其隶属度函数的计算简单表示为：“

”表示模糊关系合成运算，sup、

均表示取最大值运算，

表示取最小值运算，

表示笛卡尔积，可以是直积、代数积或有界积中的某一种。第43页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑2.3.2模糊推理2.3.3模糊推理系统的结构2.3.4模糊推理系统的设计第44页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计模糊控制的核心是模糊控制规则，模糊规则库实质上是一些不确定性推理规则的集合。而控制系统的输入、输出都是确定性的数据，要实现模糊控制的目标，必须研究不确定性推理的规律，从而能够由确定性的数据输入按照模糊控制规则推理得到准确性的输出数据。模糊逻辑推理是不确定性推理的主要方法之一，最初是由美国科学家扎德系统地研究和建立了模糊逻辑理论，提出了模糊限定词、语言变量、语言真值和近似推理等重要概念，制定了模糊推理的规则，为模糊逻辑理论和应用发展奠定了基础。第45页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑1．模糊命题

所谓模糊命题，是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句，模糊命题的真假（真值）就是一个模糊逻辑值，在

区间内。例如，“温度很高”、“他是个胖子”。

模糊命题比清晰命题更具有广义性，也更符合人的思维习惯。相对于二值逻辑的清晰命题而言，模糊命题有如下特点：（1）模糊命题的真值，不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，其值域不只是二值逻辑的两个值，而是有多个值，甚至是连续量。第46页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑（2）若模糊命题的真值设为

，则

。当一个模糊命题的真值只等于1或者0时，该模糊命题也就是一个清晰命题了。因此可以认为，清晰命题只是模糊命题的一个特例。（3）模糊命题的一般形式为“A：eisF”，其中e是模糊变量，或简称变量；F是某一个模糊概念所对应的模糊集合，模糊命题的真值就由该变量对模糊集合的隶属程度来表示：

。

时，模糊命题就是二值逻辑的真；

时，模糊命题就是二值逻辑的假。（4）设论域U，有模糊命题“A：eisF”和

，若

，都有，则称A为

恒真命题。当

时，则为清晰的恒真命题。第47页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑2．模糊逻辑的基本运算

模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑，模糊命题的真值就是隶属度函数，所以模糊逻辑的运算也就是隶属度函数的运算。设A、B是两个模糊单命题，两个命题的真值分别是

、

，模糊逻辑的基本运算为：（1）与运算（2）或运算（3）非运算（4）模糊逻辑蕴含（5）模糊逻辑等价（6）模糊逻辑有界积（7）模糊逻辑有界和（8）模糊逻辑有界差，其真值为，其真值为，其真值为，其真值为，其真值为第48页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑

自然语言是指人们在日常生活和工作中所使用的语言，实际上是以字或词为符号的一种符号系统。人们通过它描述主客观事物、概念、行为、情感以及相互间的关系等，人的控制经验首先是通过自然语言得以描述。

通常，把含有模糊概念的语言称为模糊语言。扎德首先从语义角度对自然语言进行集合描述，给出了一个集合描述的语言系统，模糊语言也具有它自己的组成要素和语法规则：（1）单词：

对于一个给定的论域U，与U相关的一类单词就构成了一个集合G。语义是通过G到U的对应关系R来表达的，R通常是一个模糊关系。对于任意一个固定的单

词

其对应的模糊集合

记作：

它是论域U上的一个模糊子集，与单词a对应

，用

表示。（2-28）第49页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑

例2-11论域为环境温度

，（单位：℃），单词a为“高温”，b为“高于28℃”。试将两个词汇按语义分别解释为模糊集合。

解：按“高温”的常识语义理解，有

模糊集合=“高温”为：

对“高于28℃”语义理解则非常简单清晰：

模糊集合=“高于28℃”退化为一个清晰的集合：

由于单词“高温”是一个模糊性单词，所以对应的语义是一个模糊集，而“高于28℃”是一个清晰的概念，所以对应的是一个清晰的集合。第50页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑（2）词组

由连接词“或”、“且”将两个或多个单词连接起来，或者在单词前面加“非”，就构成了词组。这些连接词在模糊逻辑上分别对应于模糊集合运算的“并运算”、“交运算”和“补运算”。（3）语言算子：

是指语言系统中的一类前缀词，通常加在一个单词或者词组的前面，用来调整一个词的词义，添加了前缀的单词或词组被变换成另一个含有新词义的词。这些前缀有“非常”、“大致”、“比较”、“极其”、“十分”、“略微”、“偏向”等。根据这些语言算子的功能不同，经常使用的有如下几类：

①语气算子

用来表达语言中某一个单词或词组的确定性程度。

语气算子

的隶属度函数表示为：（2-29）第51页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.1模糊逻辑②模糊化算子：

用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者本身就是模糊概念的词，使其模糊化程度增加。属于模糊化算子的前缀词有“大概”、“近似”等。模糊化算子F的隶属度函数表示为：③判断化算子：

用来使模糊化概念趋向清晰，在模糊中给以粗糙的判断。加有判断化算子的词，原来具有的模糊词义，将被给予某种程度上的肯定。这类算子有“偏向”、“大半是”、“倾向”等。判断化算子

根据隶属度和阈值α使模糊集

中的模糊值确定化为

取

时，判断化使模糊值确定为0、1两个隶属度，使模糊概念清晰化。（2-30）（2-31）第52页/共165页2.3模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理

模糊推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的，可以解决自动控制中应用模糊规则的问题。（1）模糊条件语句模糊控制规则是用模糊语言表示的。模糊控制规则常用下面三种条件语言的形式来表示：①“如果

，那么

”。或写作：“

”，或“

”。模糊集

与

中的论域元素间关系为：②“如果

，那么

，否则

”。或写作：“

”，或“

”模糊集

与

或

中的论域元素间关系为：（2-32）（2-33）第53页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理③“如果

且

，那么

”。或写作：“

”，或“

”。模糊集

、

和

中的论域元素间关系为：（2）模糊推理的扎德法：

扎德在1973年对于模糊命题“若

则

”，利用模糊关系的合成运算提出了一种近似推理的方法，称为推理的合成法则。其基本原理是：设模糊蕴含关系“若

则

”用

表示，且各自论域为U、V，则

是

上的模糊关系

在确定了这样的模糊关系后，有如下模糊推理方法：（2-34）（2-35）第54页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理①模糊取式推理：

已知模糊蕴含关系

的关系矩阵

，对于输入为论域U中的

，可推理得到输出结论为论域V中的

。

其中“

”表示模糊关系合成运算，定义及隶属度求法见（2-26）和（2-27）式。②模糊拒式推理

已知模糊蕴含关系

的关系矩阵

，对于输出为论域V中的

，可推理得到输入为论域U中的

。（2-36）（2-37）第55页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理（3）模糊推理的Mamdani方法：

它是在模糊控制中使用最普遍的一种模糊推理方法，它本质上仍然是一种合成推理运算，只不过对模糊蕴含关系取不同的形式而已。Mamdani模糊蕴含关系

用

和

的直积表示，即有

其具体的模糊取式推理方法、模糊拒式推理方法和在扎德推理法中相同，如（2-36）式和（2-37）式。（2-38）第56页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理（4）模糊推理的强度转移法：

强度转移法是控制系统中模糊量有单调性时常使用的方法，在不少模糊量具有单调性的模糊控制系统可以采用这种推理方法。

所谓强度转移法，就是当控制系统有精确值输入时，精确值在条件语句的前件中所得到的语言变量值强度转移到后件的语言变量中去，从而得到推理结果的方法。这种方法简单、直观、容易理解

考虑最普遍的两输入、单输出模糊控制系统的情况。设输入量为

、

，输出量为y，并且它们的语言变量分别用

、

和

表示即

第57页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.2模糊推理模糊控制规则可能有多条，但一般形式为：强度转移法的推理步骤为：①求前件语言变量强度②求每条规则的推理结果③综合多个推理结果求输出的精确值第58页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.3模糊推理系统的结构

模糊推理系统（FIS，FuzzyInferenceSystem）是模糊控制系统的核心，在模糊控制系统中也称为模糊控制器。它的功能是根据模糊规则进行模糊推理，由当前的输入值模糊推理得到反映模糊规则的输出。

模糊推理系统的结构如图所示。系统可以是单输入、输出或多输入、输出，在模糊控制系统中，常采用两输入、单输出：将设定值和反馈值的误差和误差的微分两项作为输入，而将对执行机构的控制量作为单输出。第59页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.3模糊推理系统的结构

模糊推理系统是由数字计算机来实现的，它主要具备以下三个功能：（1）模糊化：把输入的精确量转换为模糊量，由模糊化模块完成；（2）模糊推理：根据模糊规则进行模糊推理，由模糊输入量推理得到模糊输出量，由模糊推理模块（或称推理决策模块）和模糊规则库共同完成；（3）精确化：把模糊推理得到的模糊输出量转化为实际系统能够接受的精确数字量或模拟量，也称为去模糊化。由精确化模块（或称去模糊化模块）完成。

因此，模糊推理系统的设计问题就是模糊化模块、模糊规则库、推理决策模块和精确化模块四部分的设计问题。第60页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计1．模糊推理系统的设计步骤

模糊推理系统的设计可以借助计算机仿真来进行，Matlab软件提供了图形化设计界面和仿真软件。一般模糊推理系统的设计步骤可以分为：（1）模糊推理系统的输入、输出定义，确定输入量的维数；（2）确定模糊推理方法：比较常用的有Mamdani推理方法和Sugeno推理方法；（3）确定模糊规则；（4）确定输入模糊量的隶属度函数，设计模糊化模块；（5）确定输出模糊量的隶属度函数，设计精确化模块；（6）通过计算机仿真查看模糊推理系统的性能，调整、修改参数。第61页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

模糊化模块设计包括尺度变换、模糊空间分割和隶属度函数的选择。（1）尺度变换：在模糊化处理中，首先需要对输入精确量进行尺度变换，使其变换到相应的论域范围。变换的方法多采用线性变换。例如，若实际的输入量为

，其变化范围为

，要求的论域为

，采用线性变换的尺度变换后的输入量

为：其中k为线性尺度变换比例因子：若要将连续输入量x在论域

内离散化为n级离散值，则有量化因子k为：输入x的量化值j为：“

”算子表示向下取整。第62页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计（2）模糊空间分割

模糊空间分割就是在输入、输出论域上分别定义若干个模糊集合，或者说确定对于每个语言变量取值的模糊语言名称的个数。模糊分割的个数决定了模糊控制精细化的程度。这些语言名称通常均具有一定的含义，例如常用的7级对称模糊空间分割，从小到大的模糊集合名称分别为：NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB。

图2-15给出了两个模糊分割的例子，论域均为

，隶属度函数的形状为三角形或梯形。图2-15（a）为模糊分割较粗的情况，图2-15（b）为模糊分割较细的情况。(a)3级粗分(b)7级细分图2-15模糊空间两个不同分割级数的例子第63页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计（3）隶属度函数的选择：元素模糊集-6-5-4-3-2-10123456NB1.00.70.3NM0.30.71.00.70.3NS0.30.71.00.70.3ZE0.30.71.00.70.3PS0.30.71.00.70.3PM0.30.71.00.70.3PB0.30.71.0

根据论域为离散和连续的不同情况，隶属度函数的描述分别使用数值描述法和函数描述法。

当论域为离散，且元素个数为有限时，模糊集合的隶属度函数可以用向量或者表格的形式来表示，这在实际模糊控制系统中很常见。表2-4给出了一个用表格表示隶属度函数的例子。

对于论域为连续的情况，隶属度常常用函数的形式来描述，最常见的有高斯函数、钟形函数、三角形函数、梯形函数等。表2-4数值描述方法的隶属度函数第64页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计3．模糊规则库的建立

模糊规则库的建立大致有四种方法：专家经验法、观察法、基于模糊模型法和自组织法。（1）专家经验法：专家经验法既是很自然的方法又是主观性较强的方法，它通过对专家控制经验的咨询形成控制规则库。（2）观察法：通过观察人类控制行为并将其控制的思想提炼出一套基于模糊条件语言类型的控制规则从而建立模糊规则库的途径就是观察法的基本思路。（3）基于模糊模型的方法：通过建立被控对象的模糊模型来实现，即用“IF-THEN”模糊条件语句来描述被控对象的动态特性。在模糊控制中，被控对象的模型是运用多个控制规则来描述的，其推理控制规则是分散的，所以有其独特的性质。（4）自组织法：自组织模糊控制器能够在没有先验知识和很少有先验知识的情况下通过对观察系统的输入输出关系建立控制规则库。第65页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计4．模糊推理方法的确定

模糊推理系统的模糊推理方法主要有Mamdani推理和Sugeno推理（或称为Takagi-Sugeno推理）。两种类型也不是截然区分的，如果模糊规则后件采用单点模糊集，则Mamdani推理可以认为是一种零阶Takagi-Sugeno推理。Mamdani推理和Takagi-Sugeno推理在一定条件下可以相互转化。（1）Mamdani推理：Mamdani模糊推理是英国曼丹尼（E.H.Mamdani）博士在1974年提出，并成功应用于模糊控制系统，是最常用的模糊推理方法之一。Mamdani推理通常也被称为传统模糊推理方法，相应的控制器也被称为传统的模糊控制器。第66页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

多输入、单输出（MISO）的Mamdani模糊推理的模糊规则形式为：

其中

表示N条模糊规则，

为输入变量（前件），其论域分别为

；

是前件变量的模糊集合；y为模糊推理系统的输出（后件），论域为Y，

是输出变量的模糊集合。

按Mamdani推理，每条模糊规则为直积空间

上的一个模糊关

系

：

其中

为由矩阵

转置后依列序构成的

行列矩阵。N条模糊规则全体构成的模糊关系为：（2-53）（2-54）（2-55）第67页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

对于一组输入值

，模糊推理的结论为：其中

为由矩阵

依行序构成的

列行矩阵。

“

”为合成算子（aggregation）。对于模糊蕴含关系运算，扎德和曼丹尼等学者提出了不同的定义，在模糊控制中常用的是曼丹尼提出的取小“

”运算和拉尔森（P.M.Larsen）提出的乘积运算。对于合成运算，也有多种不同选择，如“

”（取小

取大）、“

”（取大

乘）、“

”（有界和

取小）、“

”（有界和

乘）等。其中有界和的定义为：

对于Mamdani推理，模糊算子选择不同的算法，模糊推理系统的性能以至模糊控制系统的性能都将不同。在实际应用中，比较常用模糊关系选择取小“

”、合成算子选择取小

取大“

”。第68页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

例2-14两输入单输出系统，输入变量为

、

，输出变量为y。输入变量

的论域为

，输入变量

的论域为

，输出变量y的论域为

，对于各论域上的模糊集

（小）、

（负）和

（大）：

模糊规则（如果

是小，且

是负，则y是大。）求输入输出模糊关系。并求当

为（略小）、

为

时，输出模糊变量是多少？第69页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计解：先根据模糊规则，求模糊关系矩阵。按（2-54）式得再根据合成推理方法，求输入

为

、

为

时的输出

：此时的输出为

，可以理解为“较大”。第70页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计5．精确化模块设计

通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合。但在实际应用中，特别是在模糊控制中，必须要有一个确定的值才能去控制或驱动执行机构。从推理得到的模糊集合来确定一个能最佳反映这个模糊推理结果的精确值的过程就称为精确化过程（又称为去模糊化）。常用的精确化计算方法有以下三种：（1）最大隶属度函数法：

简单地选取所有规则推理结果的模糊集合中隶属度最大的那个元素作为输出值。即为模糊推理输出的模糊集，其论域为Y。第71页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

如果在输出论域Y中，其最大隶属度函数对应的输出值多于一个时，简单的方法是取所有具有最大隶属度的元素平均值，即：

为模糊集中J个具有相同最大隶属度的不同元素值，J为模糊集中具有相同最大隶属度的不同元素的数量。

最大隶属度函数法不考虑输出隶属度函数的形状，只关心输出模糊集最大隶属度值处的精确值。因此，难免会丢失许多信息。但它的突出优点是计算简单。所以在一些控制精度要求不高的场合，采用最大隶属度函数法是非常方便的。第72页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计（2）重心法：

重心法是取模糊隶属度函数曲线与横坐标围成面积的重心为模糊推理的最终输出精确值：对于具有m个输出量化级数的离散论域情况，模糊量精确化为：

与最大隶属度法相比较，重心法具有更平滑的输出推理控制。即对应于输入信号的微小变化，其模糊推理的最终输出精确值也会发生一定的变化，且这种变化明显比最大隶属度要平滑。第73页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计（3）加权平均法：

加权平均法的最终输出值是由下式决定的：

这里的系数

的选择要根据实际情况而定，不同的系数就决定系统有不同的响应特性。当该系数

取相应的隶属度

时，就转化为重心法了。在模糊逻辑控制中，可以选择和调整该系数来改善系统的相应特性。

精确化计算的方法还有很多，如取中位数法、取左大法、取右大法、取大平均法等。总的来说，精确化计算方法的选择与隶属度函数的形状选择、推理方法的选择都是相关的。面积重心法对于不同的隶属度函数形状会有不同的推理输出结果。而最大隶属度函数法对隶属度函数的形状变化不敏感。第74页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计6．模糊推理系统设计举例

下面举一个基于MATLAB模糊工具箱的模糊推理系统设计：双输入、单输出小费问题。假设中等小费是15％，小费高是25％，小费低是5％。

例2-15：

用0至10之间的一个数表示某次就餐的服务质量，数值越大表示服务质量越好；另用0至10之间的一个数表示该次就餐的餐饮质量，同样数值越大表示餐饮越美味可口。根据这两个数据，小费应付多少比较合适？

解：按2.3.4.1节介绍的模糊推理系统设计步骤进行：

（1）很显然本系统是一个两输入、单输出系统：输入为service、food，输出为tip；

（2）先确定采用Mamdani推理方法；

（3）根据经验归纳得到模糊规则三条：第75页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

①如果服务差或餐饮质量差，那么小费低。

②如果服务中等，那么小费中等。

③如果服务优秀或餐饮美味可口，那么小费高。

（4）设计模糊化模块：两个输入变量的论域均为

，输出为

，由于论域范围易于模糊化处理，所以可以不做尺度变换。

根据模糊规则中出现的语言值，模糊空间分割为：输入service分为：poor、good和excellent三个模糊集；输入food分为：rancid和delicious两个模糊集；输出tip分为：cheap、average和generous三个模糊集。相应的隶属度函数为高斯函数、梯形函数和三角形函数，隶属度函数曲线为：第76页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计图2-16模糊输入的隶属度函数曲线（5）设计精确化模块：采用重心法；（6）计算机仿真、调试：如图2-18为输入、输出关系曲面。图2-19为输入为service=6、food=8时的模糊推理示意图，得到的输出为tip=19.4（%）。图2-18FIS的输入输出关系曲面图2-17模糊输出的隶属度函数曲线第77页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计

本例的FIS若采用T-S模糊推理方法，则输出不必采用模糊集合，而是直接推理得到精确值输出。模糊规则将变为：

①ifserviceispoororfoodisrancidthentip=5。

②ifserviceisgoodthentip=15。

③ifserviceisexcellentorfoodisdeliciousthentip=25。

可见T-S模糊推理的模糊规则后件是精确值或函数。采用T-S推理建立的FIS的输入输出关系与图2-18非常近似，当然也存在差别。图2-20是输入同样为service=6、food=8时的T-S模糊推理示意图，得到的输出为tip=18.9（%）。第78页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计图2-19给定输入下的模糊推理示意图第79页/共165页模糊推理系统原理及设计2.3.4模糊推理系统的设计图2-20相同输入下的T-S模糊推理示意图第80页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.1模糊控制系统的组成2.4.2模糊控制系统的设计2.4.3模糊控制的快速查表法2.4.4模糊PID控制第81页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.1模糊控制系统的组成

图2-21模糊控制系统结构示意图根据被控制对象输入、输出变量的多少又可分为单输入、单输出（SISO）结构和多输入、多输出（MIMO）结构。第82页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.2模糊控制系统的设计1.模糊化模块设计

在模糊空间分割上，根据控制精度的要求，一般可选择将模糊空间分割为：

3级：N（负）、Z（零）、P（正）；

5级：NB（负大）、NS（负小）、ZE（零）、PS（正小）、PB（正大）；

7级：NB（负大）、NM（负中）、NS（负小）、

ZE（零）、PS（正小）、PM（正中）、PB（正大）。第83页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.2模糊控制系统的设计2.模糊规则库的的建立表2-5模糊控制规则表edeNBNSZEPSPBNBPBPBPMPSNBNSPBPMPSZENBZEPBPSZENSNBPSPBZENSNMNBPBPBNSNMNBNB

上表中每个单元格表示一条模糊规则。相邻单元格有相同输出时多条规则可以简化合并为一条规则。如第5列的5条规则可以简化为1条：ifeisPBthenuisNB第84页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.2模糊控制系统的设计3.模糊推理方法的确定（1）首先根据模糊规则确定输入输出的模糊关系。（2）然后进行模糊推理，由实际的模糊输入推理得到模糊输出，这时采用模糊合成运算，4.模糊化模块设计对于具有m个输出量化级数的离散论域情况，控制器模糊量精确化为：其中，是输出论域的各元素精确值，为模糊推理得到的模糊输出值的各元素的隶属度，u是精确化后得的模糊控制器的输出。第85页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法图2-22快速查表法模糊控制系统结构示意图第86页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法例2-16利用电加热器的电压控制加热速度，来实现控制对象的温度控制。温度误差e的论域范围为，误差变化de的论域范围为，控制输出u的论域范围为。设计模糊控制表，查询根据当前的温度误差e和误差变化de应采取的控制电压输出u的值。

解：系统结构如图2-22，考虑控制精度要求，将输入输出变量均量化为9级离散值，该模糊控制表设计步骤为：（1）确定模糊控制器的输入、输出变量及其量化因子：模糊控制器选用系统的实际温度T与温度给定值的误差第87页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法及其误差变化de作为输入变量，把控制加热装置的供电电压u选作输出变量。这样构成了一个二维模糊控制器。取三个输入输出变量的量化等级都为9级，即尺度变换后的论域为按（2-46）式，各量化因子为：第88页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法

按（2-47）式可得量化表：表2-6输入输出变量离散量化表量化值-4-3-2-101234e范围[-5,-3.9)[-3.9,-2.8)[-2.8,-1.7)[-1.7,-0.6)[-0.6,0.6)[0.6,1.7)[1.7,2.8)[2.8,3.9)[3.9,5]de范围[-10,-7.8)[-7.8,-5.6)[-5.6,-3.3)[-3.3,-1.1)[-1.1,1.1)[1.1,3.3)[3.3,5.6)[5.6,7.8)[7.8,10]u的值12.2236.6761.1185.56110134.44158.89183.33207.78第89页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法

(2)输入变量的模糊空间分割：在各输入和输出变量的量化域内定义模糊子集。首先确定各语言变量论域内模糊子集的个数。本例中都取5个模糊子集，即NB、NS、ZE、PS、PB。各语言变量模糊子集通过隶属度函数来定义。为了提高稳态点控制的精度，本例的量化方式采用非线性量化，隶属度即如表2-7所示。空白单元格隶属度为0。

(3)模糊控制规则的确定：模糊控制规则实质上是将操作员的控制经验加以总结而得出一条条模糊条件语句的集合。确定模糊控制规则的原则是必须保证控制器的输出能够使系统输出响应的动静态特性达到最佳。第90页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计元素模糊集-4-3-2-101234NB1.00.35NS0.41.00.4ZE0.21.00.2PS0.41.00.4PB0.351.02.4.3模糊控制的快速查表法表2-7输入输出模糊集合的隶属度函数第91页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法

考虑误差为负的情况。当e为负大（NB）时，无论de的值如何，为了消除偏差应使控制量加大，所以控制量u应取正大（PB）。即有如下控制规则：规则1：如果误差e是NB，则控制u为PB。当误差e为负小或零时，主要矛盾则转化为系统的稳定性问题。为了防止超调过大并使系统尽快稳定，就要根据误差的变化de来确定控制量的变化。若de为正，表明误差有减小的趋势，所以可取较小的控制量；当误差变化de为负时，偏差有增大的趋势，这时应使控制量增大，防止偏差进一步增大。类似如此分析可建立全部控制规则。总体来说，根据控制经验，无需建立控制对象的数学模型，就可以建立模糊控制规则如表2-8。第92页/共165页2.4模糊控制原理及系统设计2.4.3模糊控制的快速查表法表2-8模糊控制规则表

（4）建立模糊控制表：