信息光学导论第五章

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傅里叶变换光学与相因子分析方法

5.1衍射系统波前变换

◆引言

现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换〞概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transformoptics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起．现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干扰、衍射理论的综合和提高，它与衍射、特别与夫琅禾费衍射息息相关．对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储存和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地把握现代变换光学．◆衍射系统及其三个波前

如下图，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射波较为繁杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样．

在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：

其中，入射场U1(x,y)是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场U2(x,y)是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场U(x?,y?)是纵向特定位置的波前函数。由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换：

波前U1(x,y)?U2(x,y)这是衍射屏的作用：波前U2(x,y)?U(x?,y?)这是波的传播行为．

由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问题的基本提法．标量波的传播规律己由惠更斯—菲涅耳—基尔霍夫理论(HFK理论)给出．在常见的傍轴情形下，其表达式为

~~~~~~~

其积分核为eikr，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK理论是—个关于衍射的球面

波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加．

◆衍射屏函数及其三种类型

我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述

衍射屏的自身特征：

~U2(x,y)~i?(x,y)t(x,y)?~?t(x,y)eU1(x,y)~即，屏函数(screenfunction)等于出射波前函数与入射波前函数之比．对于透射屏，t可称作

~复振幅透过率函数；对于反射屏，t可称作复振幅反射率函数．无疑，屏函数寻常也是复函

数，含模函数t(x,y)和辐角函数?(x,y)．唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，振幅型、相位型和相幅型．若?(x,y)为常数，仅有函数t(x,y)，则该衍射屏为振幅型，凡孔型衍射屏均系振幅型．若t(x,y)为常数，仅有函数?(x,y)，则该衍射屏为相位型，这在此之前似乎少见，其实，闪烁光栅不管其为透射的或反射的，均是一个相位型衍射屏，下一节即将研究的透镜相位衍射元件．当然，更为一般的状况是相幅型衍射屏，t(x,y)、?(x,y)皆为函数形式，即不仅出射场的振幅分布A2(x,y)有别于入射场的A1(x,y)，而且出射场的相位分布?2(x,y)也有别于入射场的?1(x,y)。

◆什么是衍射

引入屏函数以后，可以将衍射场积分表达式改写为

我们注意到，这不等式右边的积分式表达的正是无衍射屏存在时白由传播的光场，由于有了

~屏函数t的作用，改变了波前，从而改变了后场分布，遂即发生了衍射．

对于波衍射．我们曾有过几种不同深度的认识和表述．最初人们认为，当光在传播过程中遇到障碍物时，将发生偏离直线传播或偏离几何光学的传播行为，这种现象被称为衍射．在把惠更斯菲涅耳原理应用于网孔、圆屏、单缝、多缝、矩孔等衍射问题时，人们又意识到，衍射的发生是由于光波在传播过程中其波面受到某种限制，即自由、完整的波面发生了破缺．现在我们可以这样表述，当光在传播过程中，由于某种原因而改变了波前的复振幅分布包括振幅分布或相位分布，则后场不再是自由传播时的光波场．这便是衍射．以上二种认识和表述都是可取的，反映了人们对衍射现象的认识在逐步深入．其中，其次种表述是对衍射现象因果关系的一种普遍和本质的概括．逐步深入而形成的对光波衍射的普遍认识，尤疑将对实际衍射问题的分析起到有效的指导作用．譬如，一张含有字符形象或景物图像的灰度胶片置于光场中，则将发生衍射；一张浮雕型透明胶片置于光场中，也将发生衍射．这些事情现在看来都不足为怪了。

5.2相位衍射元件一一透镜

◆透镜的相位变换函数

透镜是光学系统中常用的典型的光学元件，在光路或光场中，透镜可被看作一个改变波前函数的衍射屏．这里，我们将以波前光学的眼光分别导出它们的屏函数．

在光学系统中，透镜有两方面的作用，参见图***(a)．一方面它是一个光瞳，起限制波前的作用．仅允许入射光波中央那一部分波前?1，进入光学系统．另一万面它起变换波

，当然，更为实际的

前的作用，譬如，它将发散的球面波前，改变为会聚的球而波前?2情形是改变为偏离球而的像差波面?；总之，透镜改变了波前的聚散性．以往的经典光

学，分别用有限孔径引起的光波衍射和透镜本身的几何成像及像差来撤述上述两种作用。其实，从波前光学的观点出发，可将透镜这两方面的性质，用一个复振幅透过率函数(屏函数)统一地给以反映．

如图(b)所示，在透镜前后各取一平面(x,y)，设光场的入射波前函数和透射波前函数分别为

于是，透镜的屏函数表现为

这里，r?x?y22．D是透镜孔径．设透镜材料对入射光是透明的，并忽略透镜对光的

吸收、反射等因素造成的光强的损失，则d0。这样，透镜就成为纯相位衍射元件，其孔径内的屏函数就成为

下面，我们在傍轴且薄透镜条件下导出透镜屏函数。

如图***(b)所示，由于透镜很薄，光线入射点与出射点的坐标相近，即光程可近似地沿透镜光轴方向来计算．于是，相位差函数

以光铀处透镜厚度d0为参考值，改写

于是

这里?0是一个与(x,y)无关的常数，它不影响波前相位分布，常可略去不写．在傍轴条件

下，透镜前后两小段气隙的几何厚度?1和?2，分别为

其中，r1,r2分别是透镜前后两个表面的曲率半径，按一般的正负号约定，它们可取正值或负值．例如，对于双凸透镜r1?0而r2?0．上述表达式普遍地适用于各种透镜．于是，

这里，F目前仅是一个缩写符号，尚未显示其明确的物理意义．最终，给出透镜作为相位衍射元件其相位变换函数为

由此可见，傍轴条件下薄透镜的相位变换函数其特点是一个二次型的相因子．假使是非傍轴或厚透镜情形，相因子就没有那么简单了。

5.3波前相因子分析法◆相因子分析法概述

原则上说，根据菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式，可由衍射屏的出射波前U2(x,y)，导出前方接收平面上的衍射场U(x?,y?)．然而．这种积分运算寻常是很繁杂的，总是需要在一定条件下作近似处理；即便如此，能定量地给出解析结果的状况也为数不多．不过，波衍射理论或波动理论为人们提供了一个更有价值的观念——二维波前决定二维波场，而波场的重要特征表达在波前函数的相位因子上．假使将繁杂波前函数中的相位分布与平面波或球面波的相因子作一对比，而发现有所联系的活，那么这繁杂波场就可以看成是一系列平面波成分或—系列球面波成分的叠加，因而这繁杂波场也就成为人们在概念上简单想象把握的—种波场了．另一方面，繁杂波场所包含的各种基元成分一一不同方向的平面波和不同聚散中心的球面波．还可以被作为相位元件的透镜所分开，这就为人们对波前作进一步处理提供了途径．这两方面的结合和匹配，使波前的分解、合成和分开有了切实的物理寄托．所渭波前相因子分析法，就是根据波前函数的相因子，来判断其波场的类型、分析其衍射场的主要持征。不少场合，人们只需要把握衍射场的主要特征就够用了，在全息术中特别如此。在这种场合，波前相因子分析法要比衍射积分运算显得更简捷．

其实，波前相因子分忻法对于我们并不陌生．在现代波动光学的理论体系中，早在第1章已经论及波前的描述和识别．这一节再作以上论述，旨在对波前相因子发给出一总结和提高，以便进一步展开而跨入傅里叶光学领域．

◆波前相因子和变换相因子

~~为了熟练运用相因子分析法，我们应当熟悉两类典型相因子函数——一反映波场的波前相因子和反映元件作用的变换相因子．(1)波前相因子

①平面波．平面波之波前函数具有线性相因子，

其线性系数(sin?1,sin?2)与平面波传播方向一一对应，(?1,?2)是波矢量k的两个方向余弦角的余角。

②球面波．傍轴球面波之波前函数具有二次相因子和交织线性相因子，

指数上“土〞与球面波聚散性一一对应一一“十〞对应发散球面波，“一〞对应会聚球面波；交织线性相因子系数(x0,y0)决定聚散中心的横坐标，相因子中分母z决定了聚散中心Q与观测平面(x,y)的纵向距离，即聚散中心Q的位置坐标为

(2)变换相因子

透镜．薄透镜之变换函数具有二次相因子

其中F值等于透镜焦距．F＞0对应会聚透镜，F＜0对应发散透镜．值得指出的是，在某种

~~波前变换的场合，假使出现了形同tL有二次相因子的变换函数，作用在波前U(x,y)上，则

其实际效果相当于U(x,y)波经历一个透镜的聚散，不管那场合是否具有实物透镜存在．简言之，变换函数中的二次相因子是一等效透镜．

下面，运用相因子分析法，再解决波前光学中一个重要实例．◆余弦型环状波带片的衍射场

余弦型环状波带片的屏函数其标准形式为

它具有轴对称性．可以设计让一傍轴球面波与一平面波作相干叠加、再对曝光底片H作线性冲洗、而获得这样一张余弦型环状波带片，如下图．

~

当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为

其中，

运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前U0代表一列正出射的平面衍射波，称其为0级衍射波；波前U?1代表一列正出射的发散球面波，发散中心在轴上Q?1点，与波带片P离为Z0，称其为十1级衍射波；波前U?1代表一列正出射的会聚球面波，会聚中心在轴上Q?1点，与波带片距离为Z0，称其为一1级衍射波，宛如所示．

~~~

这说明余弦型环状波带片的衍射场其主要成分有一个，其中、0级平面衍射波是照明波的直接透射波，而土级发散或会聚球面衍射波的出现，说明这波带片同时起一个发散透镜和一个会聚透镜的作用，虽然这场合并无实物透镜，仅有一张薄薄的波带片．追溯其源，在于制备时那傍轴球面波提供的二次相因子

这使我们又一次见识到，先一步的波前相因子，可以转化为后一步衍射场合中的光学元件．这一点正是现代波前光学中，全息光学元件的基本设计思想．

当然，考虑到波带片孔径有限，上述这三种波前受到窗函数的限制，以致聚散中心并不是一个理想的点．但是运用相因子分析法，终究使人们掌提了余弦型环状波带片其衍射场的主要持征．

鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而显明的特征，以致以r2为宗量的屏函数

~简谐成分(*****)式，可以作为一切轴对称屏函数t(r)的基圆成分．

5.4余弦光栅的衍射场

◆余弦光栅的屏函数和制备

余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为

这是一个特别走向的余弦光栅，仅沿x轴方向浮现周期性，空间周期为d,d?1f，f为空间频率(mm)，如图(a)所示．任意取向的余弦光栅，如图(b)所示，

-1

其屏函数的一般表达式为

它说明，该光栅沿两个正交方向(x,y)的空间频率为(fx,fy)，相应的空间周期为(dx,dy)＝1fx,1fy。不难由(fx,fy)导出直观上余弦光栅的若干几何特征：

值得注意的是，二维平面上的空间频率(fx,fy)含有正负号．譬如图***(b)显示的这张光栅．fx,fy异号，tan??0。说明与栅条正交的方向N沿二、四象限；若fx,fy同号，则

tan??0，这对应的是与栅条正交的方向N沿一、三象限．以上关于tan?公式可以由等

值点方程2?fxx?2?fyy?C(常数)导出

可以看到，余弦光栅屏函数形式与双光束干扰场的光强分布函数相像。实际上，制备一块余弦光栅首先用一张乳胶干版H记录两束平行光的干扰场，如下图，其干扰强度分布函数为

然后，将这张曝光的干版在暗室中作化学处理即显影定影，要求满足线性条件，以获得冲洗后干版底片的透过率函数，

写成

其中，??0，表示负片，表示正片；参数?俗称“雾底〞，它表示即使曝光强度I?0??0，处，冲洗出来的底片在该处仍有一定程度的透过率．制成的这张光栅是否具有以上余弦型函数标准形式，这可通过“光密度计〞予以鉴测。光栅制作过程中的关键环节是“线性冲洗〞这一步．它与拍摄时的曝光强度、冲洗时的药液配方、时间、温度，以及记录介质的乳胶特性等诸多因素有关，深究起来乃系感光材料与光化学专业的问题。

◆余弦光栅的衍射特征

如下图，让一束波长为?的平行光照射这余弦光栅，而在透镜后焦面上接收衍射场．试验上显示出三个显明的衍射斑．我们知道，透镜后焦面上的一点，对应物空间的一个方向．目前，后焦面上三个衍射斑的出现，说明通过余弦光栅其后场存在三列平面衍射波．兹运用波前相因子分析法，对此作出理论说明如下．

平面波正入射，其入射波前为U1?A1，经余弦光栅后的透射波前为

即

其中

~

鉴于它们均具有线性因子，故可以判定它们各自均代表一列平面波。波前U0代表一列正出射的平面衍射波，称其为0级波；波前U?1代表一列向上斜出射衍射波，称其为+1级波，其倾角??1，满足sin??1?f?。波前U?1代表一列向下斜出射衍射波，称其为-1级波，其倾角??1，满足sin??1??f?。这三列平面衍射波交叠十后场而形成一个较为繁杂的波场，可是经透镜分开它即凝聚于三个显明的衍射斑。这三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有持征．其中，最至要的一个联系是，土1级衍射波(斑)的角方位与余弦光栅的空间频率一一对应，

考虑到实际光栅的宽度D有限，这透射的三列平面衍射波的波前是受限的，故它们均有一定的发散角，反映在后焦面那三个衍射斑均有一个半角宽度，分别为

~~~

假使余弦光栅取向任意，以空间频率(fx,fy)标定之，其产生的那一对斜出射的土1级平面衍射波的角方位（sin?1,sin?2），与(fx,fy)的对应关系为

最终说明一点，余弦光栅屏函数中的那个原(点)相位?0，其数值是要反映到?1级衍射级中的。余弦光栅的平移，将导致衍射班的相移，即?0有不同的取值．不过，这一点目前并不重要，以后在研究空间滤波和光信息处理时，将要注意到?0值的影响．

◆余弦光栅的组合

利用上面的对应关系表，可以十分简捷地分析出，由几个不同频率或不同取向的余弦信息的组合所产生的衍射场．

(1)平行密接．如下图，两张余弦光栅G1和G2，其栅纹平行地叠在一起．

它们的屏函数分别为

则其组合光栅G1?G2的屏函数为

t12(x)?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?t1t2cos2?f1xcos2?f2x?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?12t1t2cos2?(f1?f2)x?12t1t2cos2?(f1?f2)x由此可见，它含4个余弦光栅。再加1个直流成分．故其衍射场共含9列平面衍射波，在后焦面上将出现9个衍射班，分布于x?轴上，如下图。其方向角分别为

定性上看．入射的平面波经光栅G1衍射，生成3列平面衍射波，其中每列波再经G2衍射又生成3列平面衍射波。这样一来，在G1?G2后场就交叠着9列平面波。

(2)正交密接．如下图，两张余弦光栅G1和G2叠在一起，其栅纹正交．G1和G2的屏函数分别为

则其组合光栅G1?G2的屏函数及屏函数个各项对应的衍射班为

这时共产生9个衍射班，其中4个斑在轴上，4个斑在轴外，还有1个斑在原点，它们方向角(sin?1,sin?2)的数值由(sin?1,sin?2)??(?fx,?fy)式确定。

(3)复合光栅．一光栅其屏函数含两种频率成分，

这复合栅的衍射场含5列平面衍射波，显示于后焦面上是5个离散的衍射斑．基濒f1成分产生的那一对斑的方向角为??1，三倍频f2成分产生的那一对班的方向角为??2，它们由下式决定，

这类复合光栅，理论上来自周期屏函数的傅里叫级数展开，其中每个傅里叶成分便是一个余弦光栅；试验上可采取“二次曝光〞程序以获得一张复合光栅，譬如，在图6．11示意的装置中，先曝光一次，记录下某一频率的干扰条纹，然后变动反射镜倾角，再曝光一次，又在底片上记录下另一频率的干扰条纹．这种情形下，总曝光强度是两者之和，经线性冲洗后的透过率函数就包含了两种频率成分。运用这种试验方法可以获得两个相近的频率成分，即差额?f?f2?f1??f1,f2)．譬如，f1为50／mm，f2为52／mm．这种显示出空间拍频的复合光栅，可用作空间滤波器．以实现图像微分运算．

5.5傅里叶光学与傅里叶变换

◆傅里叶光学的基本思想

数学上可以将一个繁杂的周期函数作傅里叶级数展开，这一点在光学中表达为，一个繁杂的图像可以被分解为一系列单频信息的合成，简言之，一个繁杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和．假使事情仅限于此，那图像的傅里叶分解只停留在纯数学的纸面上．为了将这种博里叶分解在物理上付诸实现，必需找到相应的物理途径——物理效应、物理元件或物理装置．

上一节余弦光栅的衍射待征已经说明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅禾费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分开，从而达到分频的目的．常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面的不同位置上，形成—个个衍射斑；衍射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息．

总之，在一夫琅禾费衍射系统中，输入图像的博里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上．换言之，这后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因而那些夫琅禾费衍射斑，也常被称作谱斑，如下图。从这个意义上看，夫琅禾费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器．这就是现代光学对经典光学中夫琅禾费衍射的一个重新评价——夫琅禾费衍射实现了屏函数的傅里叶变换．这种新认识或新联系，给光学和数学这两方面都带来了新进展；它为夫琅禾费衍射场的分析，提供了一种强有力的傅里叶数学手段，同时开创了光学空间滤

波与光学信息处理这一新技术．

综上所述，振兴于20世纪60年