期末数学第1章

工程数学三授课教师：于广亮联系方式：教学内容概率与统计概率论(ProbabilityTheory)：研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.数理统计

(Mathematicalstatistics)：是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析离散数学离散数学(Discretemathematics)：是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。带有随机性的数据,以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。教材：《工程数学》（三）

王国英编著

清华大学出版社

参考书：1.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编高等教育出版社2.《概率论与数理统计》魏振军编中国统计出版社3.《离散数学》屈婉玲、耿素云、张立昂编高等教育出版社第一章概率论基础知识概率论历史生活中的概率概率论研究对象概率的应用概率论的历史概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者卡尔达诺（Cardano，1501—1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。Cardano的数学著作中有很多给赌徒的建议。例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》《为什么亚里斯多德谴责赌博？》《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》17世纪，帕斯卡首次提出系统研究概率，主要是为解决一位宫廷显要（一名狂热的赌徒）关于掷骰子的问题。概率论的历史掷骰子游戏。游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果至少出现一次6点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。概率论的历史按照第一种游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家。按照第二种游戏规则，大家普遍认为24次赢或输的概率与以前是相等的。（因为2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此用6倍于前一种规则的次数，概率应该相同）。但从长期来看，这回庄家处于输家的状态。于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。生活中的概率星座股票彩票赌博（玩扑克牌等）商场人流量（公交站牌等车人流量，网站访问量）必然现象，随机现象概率论研究对象概率论：研究随机现象统计规律的一门数学学科。统计规律：大量重复试验或观察中所呈现的固有规律。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用,均需要用到《假设检验》6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫

过程》

来描述;7.研究化学反应的时变率,要以《马尔序列分析》方法非常有用;4.电子系统的设计,火箭卫星的研制与发射都离不开《可靠性估计》;

3.寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》;5.处理通信问题,需要研究《信息论》;水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8.在生物学中研究群体的增长问题时了提出了生灭型《

随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》9.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是《排队论》领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题,其中绝大领域的趋势还在不断发展.在社会科学领多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为”.《得分问题》甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段.

每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分.反之，乙得1分，甲不得分.

谁先得到规定分数就赢得全部赌注.

当进行到甲还差2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去，问如何公平分配赌注？2.

随机现象1.1.1随机现象：自然界中有两类现象1.

确定性现象

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数;

某种型号电视机的寿命;§1.1

随机试验,样本空间，随机事件随机现象：具有多种可能的结果，而事先不能确定哪种结果会发生的现象。确定性现象：一定条件下必然发生的现象特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

统计规律性.试验：对自然现象的一次观察或进行一次科学试验。随机试验(E):(1)可在相同的条件下重复试验;(重复性

)(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(多样性

)(3)每次试验恰好出现这些可能结果中的一个，但试验前无法预知会出现哪个结果.(随机性

)举例:

E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.

E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.E4:记录某地120在单位时间内收到的呼叫次数。E6:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.1.样本空间——随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω.2.

样本点

——样本空间的元素称为样本点,记为x或e.（随机试验的每一个可能结果）。注E2和E3同是抛一枚硬币三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样.例子：写出E1～E6的样本空间（第6页）。1.1.2样本空间概率论中的几个术语：样本空间的分类有限样本空间无限可列样本空间无限不可列样本空间

3.

两类（三类）样本空间：

离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个.

连续样本空间

样本点的个数为无限不可列个.1.随机事件——样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,用A,B,C….来表示.在一次试验中,当且仅当某子集中的一个样本点出现时,称该事件发生.2.基本事件复合事件:3.必然事件4.不可能事件——由一个样本点组成的单点集.如:{H},{T}.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.——

样本空间Ω是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。——空集φ不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。1.1.3随机事件例1.

在E2中样本空间

Ω

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},样本点:事件A1----“第一次出现正面H”,A1={HHH,HHT,HTH,HTT},事件A2----“恰好出现一次正面H”,A2={HTT,THT,TTH},事件A3----“至少出现一次正面”，A3={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH}.共有23=8个（2×2×2是重复排列）.

ABΩ1.包含关系和相等关系:若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作AB.若AB且AB,即A=B,则称A与B相等.以后考虑事件间关系和运算时,参加比较或运算的事件都是同一样本空间的子集.1.1.4

事件间的关系与事件的运算BAΩ2.事件的并（和）

:3.事件的交（积）：设A与B是两个事件，事件“A与B同时发生”称为A和B的交（积），记为AB或AB.AB={x|xA且xB}，类似地,事件为可列个事件A1,A2,...的积事件.BAΩ4.差事件:事件A-B={x|xA且xB}称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时，事件A-B发生.即:显然:A-A=Φ,A-Φ

=A,A-Ω=ΦABΩAB5.事件的互不相容(互斥):基本事件是两两互不相容的,即样本点是互不相容的.ΩAB6.对立事件(逆事件)：(1)若A,B二事件互为对立事件,则A,B必互不相容,但反之不真.(3)必然事件与不可能事件互为对立事件

若A∪B=Ω，且A∩B=Φ，则称A与B互为对立事件，也称为逆事件，即在一次试验中，事件A与B中必然有一个发生，且仅有一个发生。7.完备事件组若

两两互斥，且则称为完备事件组或称为的一个划分8.事件的运算律:

吸收律

差化积

自反律对应事件运算集合运算

交换律

结合律

分配律

对偶律运算顺序：逆交并差，括号优先

记号

概率论

集合论

Ω

样本空间,必然事件空间

φ

不可能事件空集

样本点

元素

AB

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φ

A与B互不相容A与B无相同元素

AB

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

AB

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意点(1)注意点(2)例1.设A,B,C为任意三个事件,试用A,B,C表示下列各事件：(1)A发生但B与C不发生(H1);(2)A和B都发生,但C不发生(H2);(3)三个事件中恰有一个发生(H3);(4)三个事件中恰有两个发生(H4);(5)三个事件都发生(H5);(6)三个事件至少有一个发生(H6);(7)三个事件都不发生(H7);A

B

B红色区域黄色区域交例2

用图示法简化AA例3化简事件解原式教材P7：例1.7例1.8在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?

问题1.若A是B的子事件，则

AB=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；③

AB是

C的子事件；④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题.研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事率件概的§1.2.频率与概率(一)频率

定义1.1

在相同的条件下,共进行了n次试验,事件A发生的次数nA,称为A的频数,比值

fn(A)=nA/n称为A在n次试验中发生的频率。(2)fn(Ω)=1(规范性)频率的基本性质

频率的特性:1）随机波动性：2）稳定性：当n较小时，波动大；当n较大时，波动小。问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？设想当n－>∞时,fn(A)没有波动.?投一枚硬币观察正面向上的次数

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰(Buffon)投币

皮尔森(Pearson)投币例

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006注：频率的稳定性说明了隐藏在随机现象中的规律，也说明了随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的，不随人们意志改变的一种客观属性，因此可以对其度量。事实上，这也是概率存在的客观依据。

概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用§1.3.等可能概型(古典概型)等可能概型的定义:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.古典概型求概公式:对于古典概型,样本空间Ω＝{1,2,…,n},设事件A包含Ω的k个样本点，则事件A的概率定义为抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间Ω,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成Ω的某个子集.(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.(3)用下列公式计算:例1.将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况(1)事件A为“恰有一次正面”求P(A)(2)事件B为“至少有一次正面”求P(B)补充练习.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）古典方法确定概率的几种计算手段1.用排列组合直接计算2.用对立事件公式计算3.用加法公式计算4.利用对称性计算

特别注意掌握一些常见模型和问题引言—等公交车问题假设每隔10分钟有一辆汽车到达，且某人到达车站的是时间是随机的（即在某时间段的各个时刻是等可能的），问等车时间不超过5分钟的概率？§1.4.几何概型几何概型的定义:(1)样本空间中是一个有限的几何区域;(2)落入相同度量区域的结果出现的可能性相等.几何概型求概公式:在几何概型中，事件A发生的概率定义为例1.11例1.13Buffon投针问题补充例（约会问题）：两人相约于7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人10分钟，过时即离去，试求两人能会面的概率。§1.2：频率近似概率：理论上不够严密§1.3&§1.4

：古典概型和几何概型，只解决了这两类问题，其他情况并不适用。§1.5

引入概率公理化定义。§1.5.概率的公理化定义概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立的定义1.3

设E是随机试验,Ω是样本空间.对于E的每个事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应,其中集合函数P(.)满足下列公理:公理1

对任一事件A,有0≤

P(A)≤1;(非负性）公理2P(Ω)=1;（规范性)公理3

设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有

P(A1

∪A2

∪…)=P(A1)+P(A2)+…(可列可加性)则称P(A)为事件A的概率。概率的性质

有限可加性:设

两两互斥

加法公式：对任意两个事件A,B,有

推广一般地有:

P(B-A)=P(B)-P(AB).

对任意两个事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–A)

B-AAB例1小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率(2)(3)课后同学问：

例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？若是的话,则应有而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.例2设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得——最小值——最大值最大值在时取得

课上有同学提问最小值是否正确？

例2中回答当时,

取得这相当于问如下命题是否成立答：不成立！⊛⊛式是“羊肉包子打狗”——有去路,没回路例4.设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用p,q,r表示下列事件的概率:

作业.P171,3,4，5§1.6.计数基础加法原理：完成一件事情有n

类方法，第i

类方法中有mi

种具体的方法，任选一种此工作就完成,则完成这件事情共有种不同的方法。例1.16（1）假设教工程数学的男教师有8名，女教师有5名，又假设学生可以自己选择授课教师，那么学生有多少种选择方式？（2）假设事件E：“取一个小于10的素数”，事件F：“取一个小于10的偶数”；那么事件“E或F”有多少种方式发生？乘法原理：完成一件事情有n

个步骤，第i

个步骤中有mi

种具体的方法，依次完成这m步时这项工作才完成,则完成这件事情共有

种不同的方法。例1.17（1）假设汽车牌照由2个字母+3个数字组成，要求第一个数字不能为0，问：可以印制成多少个不同的牌照？（2）设有一个26人的组织，问有多少种方式选举产生一个主席，一个会计和一个秘书（假设没有人可以同时担任两个职务）？排列

设S中有n个元素，从S中有序选取r个元素，叫做S的一个r排列，不同排列的总数为全排列组合

设S中有n个元素，从S中无序选取r个元素，叫做S的一个r组合，不同组合的总数为环排列

从n个不同的元素中，选取r(r≤n)个元素，不分首尾地依次排成一个环（或一条封闭曲线），叫做从n个不同元素中取出r个元素的环排列。其个数叫r元环排列数：解释：

先将r个元素进行直线排列，然后把这个直线首尾相接，又因为是环状，所以排放在任何位置的可能性都是一样的（1/r）.5个小朋友排成一个圆圈做游戏，则共有几种排法？(5-1)!多重集

形如{n1·a1,

n2·a2,…,

nk·ak}的集合。其中ni表示元素ai(1≤i≤k)在S中出现的次数，称为ai的重复度。通常1≤

ni≤∞，若ni=∞时，表示S中含有足够多的ai供选取。多重集的排列

从多重集S中有序选取r个元素，叫做S的一个r排列，记为Np。当r=n1+n2+…+nk

时，称为S的全排列。多重集的组合

从多重集S中无序选取r个元素，叫做S的一个r组合，记为Cp。前面赌博中的问题解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6点”，则所求概率为

一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.前面赌博中的问题解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为

两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.例1.18用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的（1）五位数？（2）六位偶数？（3）能被25整除的四位数？（4）大于201345的自然数？例1.19用1,2,3,4,5,6这六个数字组成没有重复数字的四位数，其中1在2前面的有多少个？例1.20有3只篮球2只红球2只黄球排成一排，若要求黄球不相邻，问有多少种排法？例1

有一号码锁上有6个拨盘，每个拨盘有 十个数字，给定一个6位数字暗码，只有拨对号码时，才能将锁打开。问：“一次就能打开”的概率是多少？样本空间中样本点总数为解：设A=“一次就把锁打开”A所含样本点数三、举

例例2一口袋6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式：a)有放回b)无放回试就a)、b)两种情况求下列事件的概率：A={取到两只球都是白球}；B={取到两只球颜色相同};C={取到两只球至少有一只是白球}解：a)有放回1)2)

取到两只球颜色相同的概率等价于,3)={取到两只球都是红球}b)无放回1)2)3)例3：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。问:（1）共有多少种不同的结果?（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？

第二次抛掷后向上的点数123456第一次抛掷后向上的点数654321

解：（1）(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)由表可知，等可能基本事件总数为36种。(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)(5.6)(6.1)(6.2)(6.3)(6.4)(6.5)(6.6)123456第一次抛掷后向上的点数8910111267891011678910456789345678234567654321第二次抛掷后向上的点数（2）记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种。（3）两次向上点数之和是3的倍数的概率为：解：记“两次向上点数之和不低于10”为事件B，

则事件B的结果有6种，

因此所求概率为：123456第一次抛掷后向上的点数789101112678910