华中科技大学复变函数课件

引在十六世纪中叶，G.

Cardano

(1501-1576)

在研究一元二次言时引进了复数。他发现这个方程没有根，并。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于

L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel

(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss

(德国1777-1855)与W.R.Hamilton

(爱尔兰1805-定18义65复)

数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展

。第一章

复数与复变函数自变量为复数的函数就是复变函数,

它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;

然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,

为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.一对有序实数（

）构成一个复数，记为x,y分别称为

Z的实部和虚部,

记作x=Re(Z),y=Im(Z),称为

Z的共轭复数。与实数不同,

一般说来

任意两个复数不能比较大小.x实轴0

x----复数z的模x与

轴正向的夹角q----复数z的辐角(argument)记作Argz=q.

任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p<q

p

的q

称为Argz的主值,记作q

=argz.则000Argz=q

+2kp=argz+2kp

(k为任意整数)0当

z=0时,|z|=0,而幅角不确定.

argz与x和y的关系:说明：当z在第二象限时，利用直角坐标与极坐标的关系:

x=rcosq,y=rsinq,1

2

2

11

2

3

1

2

31

2

2

11

2

312

31

231

2

1

3

.定理1

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,

两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.1

2211定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商,

两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2

.

乘方与开方运算1）乘方2

）开方:

若满足，则称w为z的n次方根，几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,

r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。所以1+iw0x1/8的圆的正方形的四个顶点.练习

求复数的模与辐角主值。很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;

也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3

将通过两点z

=x

+iy

与z

=x

+iy

的直线用复数形式的1

112

22方程来表示.[解]

通过点(x

,y

)与(x

,y

)的直线可用参数方程表示为1

12

2z=z

+t(z

-z

).

(-<t<+)12

112z=z

+t(z

-z

).

(0t1)x几何上,

该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,

所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,

方程为y=-x,

也可用代数的方法求出。x设

z=

x+

iy,那末y=-3可得所求曲线的方程为y=-3.除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,

记作.x2复球面.xxz(x,y)1扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:

无穷远点

∞.约定:1.区域的概念平面上以z

为中心,

d(任意的正数)为半径的圆:|z-z

|<d00内部的点的集合称为z

的邻域,

而称由不等式0<|z-z

|<d00所确定的点集为z

的去心邻域.0|z|>Myx设G为一平面点集,z

为G中任意一点.如果存在z

的一00个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z

为G的内点.0如果G内的每个点都是它的内点,

则称G为开集.平面点集D称为一个区域,

如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于设D为复平面内的一个区域,

如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,

这样的点P称为D的边界点.

D的所有边界点组成D的边界.

区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,

记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,

使区域D的每个点z都满足|z|<M,

则称D为有界的,

否则称为无界的.没有重点的连续曲线C,

称为简单曲线.

如果简单曲线

C的起点与终点闭合,

则曲线C称为简单闭曲线.z(b)z(a)z(b)z(a)z(a)=z(b)z(a)=z(b)不简单,不闭简单,闭不简单,闭任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,

其中除去C外,

一个是有界区域,称为C的内部,

另一个是无界区域,

称为C的外部,

C为它们的公共边界.

简单闭曲线的这一性质,

其几何直观意义是很清楚的.定义

复平面上的一个区域D,

如果在其中任作一条简单闭曲线,

而曲线的内部总属于D,

就称为单连通域,

一个区域如果不是单连通域,

就称为多连通域.§1.5

复变函数定义设

D

是复平面中的一个点集,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u

,v

.例如,

考察函数w=z

z=x+iy,w=u+iv22

2因而函数w=z

对应于两个二元函数:2u=x2-y

,

v=2xy2在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,

称之为定义域

.

如无特别声明,

所讨论的函数均为单值函数.函数w=f(z)

在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)

映射成

G中的点w,

则

w称为z的象(映象),而

z称为w的原象.xu222

2z1u13§1.6

复变函数的极限和连续性定义

设函数w=

f(z)定义在z

的去心邻域0<|z-z

|<内,00如果有定数A存在,

对于任意给定的e>0,

相应地必有正数d(e)

(0

<d),

使得当0