自动控制原理

自动控制原理2第七章、线性离散系统的分析与校正

本章主要内容：一、离散系统的基本概念二、信号的采样与保持三、Z变换理论四、离散系统的数学模型五、离散系统的稳定性与稳态误差六、离散系统的动态性能分析七、离散系统的数字校正3本章要求:一、了解离散系统的基本概念二、掌握采样系统信号采样与保持的基本概念三、重点掌握Z变换与Z反变换的方法四、了解离散系统的数学模型五、重点掌握采样系统脉冲传递函数的求法六、了解离散系统的稳定性与稳态误差七、了解离散系统的动态性能分析第七章、线性离散系统的分析与校正

4

离散系统与连续系统相比，既有本质上的相同，又有分析研究方面的相似性。利用Z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推应用于线性离散系统。第七章、线性离散系统的分析与校正

5一、离散系统的基本概念本节主要内容：1、采样控制系统2、数字控制系统3、离散控制系统的特点4、离散系统的研究方法6

如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，换句话说，这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。1、采样控制系统（1）采样控制系统举例一般说来，采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值。如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这种采样称为周期采样；反之，则称为非周期采样。本章仅讨论等周期采样。下面举例说明。一、离散系统的基本概念（1）7炉温采样控制系统

一、离散系统的基本概念（2）8（2）信号的采样与复现

I、信号的采样

在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。为了简化系统的分析，可认为趋于零，即把采样器的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，如图（b）所示。一、离散系统的基本概念（3）9II、信号的复现在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。一、离散系统的基本概念（4）10III、采样系统的典型结构图根据采样器在系统中所外的位置不同，可以构成各种系统，如果采样器位于系统闭合回路之外，或者系统本身不存在闭合回路，则称为开环采样系统；如果采样器们于系统闭合回路之内，则称为闭环采样系统。在各种采样控制系统中，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统，其典型结构图如下图所示。

一、离散系统的基本概念（5）11采样系统的典型结构图一、离散系统的基本概念（6）122、数字控制系统

（1）数字控制系统举例数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象现两大部分。下图是小口径高炮精度数字伺服系统一、离散系统的基本概念（7）13一、离散系统的基本概念（8）14计算机控制系统典型原理图（2）A/D转换器、D/A转换器

1）A/D转换

A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。

2）D/A转换

D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。一、离散系统的基本概念（9）15A/D转换

D/A转换一、离散系统的基本概念（10）16(3)数字控制系统的典型结构图

一、离散系统的基本概念（11）173、离散控制系统的特点

1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。3）允许采用高灵敏的控制元件，以提高系统的控制精度。4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。

一、离散系统的基本概念（12）184、离散系统的研究方法为了克服运算过程中出现复变量的超越函数这个障碍，需要采用Z变换法建立离散系统的数学模型。即采用Z变换法分析离散系统。一、离散系统的基本概念（13）19二、信号的采样与保持本节主要内容：1、采样过程2、采样过程的数学描述3、香农采样定理4、采样周期的选取5、信号保持201、采样过程

把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样器的采样过程，可以用一个周期性闭合的采样开关来表示，如图所示。二、信号的采样与保持（1）21采样过程可以看成是一个幅值调制过程。二、信号的采样与保持（2）222、采样过程的数学描述⑴采样信号的拉氏变换对采样信号进行拉氏变换，可得从上可知只描述了在采样瞬时的数值，所以不能给出连续函数在采样间隔之间的信息。二、信号的采样与保持（3）23⑵采样信号的频谱由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。式中二、信号的采样与保持（4）24频谱图连续信号频谱采样信号频谱二、信号的采样与保持（5）253、香农采样定理

香农采样定理：如果采样器的输入信号具有有限带宽，并且有直到的频率分量，则使信号完满地从采样信号中恢复过来的采样周期，满足下列条件：二、信号的采样与保持（6）264、采样周期的选取

从频域性能指标来看，工程实践表明，随动系统的采样角频率可近似取为从时域性能指标来看，采样周期按下列经验公式选取：或二、信号的采样与保持（7）275、信号保持

从数学上说，保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。⑴保持器的数学描述保持器的外推公式这样保持器称为m阶保持器。若取m＝0，则称零阶保持器；m＝1，称一阶保持器。二、信号的采样与保持（8）28⑵零阶保持器零阶保持器的外推公式为时，上式也成立。所以零阶保持器的数学表达式为见下张图二、信号的采样与保持（9）29零阶保持器的输出特性二、信号的采样与保持（10）30零阶保持器具有如下特性：1）低通特性。2）相角滞后特性。3）时间滞后特性二、信号的采样与保持（11）31⑶一阶保持器一价保持器外推公式将和代入上式，有得于是，一阶保持器的数学表达式为二、信号的采样与保持（12）32一阶保持器的输出特性二、信号的采样与保持（13）33三、Z变换理论本节主要内容：

1、Z变换定义

2、Z变换方法341、Z变化定义连续函数的拉氏变换为对于采样信号，其表达为故采样信号拉氏变换三、Z变换理论（1）35由广义脉冲数的筛选性质可得令变量则采样信号的Z变换定义为记作三、Z变换理论（2）362、Z变换方法

⑴级数求和法级数求和法是直接根据Z变换的定义例7－6试求单位阶跃函数的Z变换解由于在所有采样时刻上的采样值均为1，即故由上式有三、Z变换理论（3）37例7－7设试求理想脉冲序列的Z变换。解因为为T采样周期，故又故三、Z变换理论（4）38⑵部分分式法举例说明例7－8已知连续函数的拉氏变换为试求相应的Z变换。解将展成如下部分分式：取拉氏反变换，可得三、Z变换理论（5）39

又所以三、Z变换理论（6）403、Z变换性质⑴线性定理⑵实数位移定理⑶复数位移定理⑷终值定理⑸卷积定理三、Z变换理论（7）414、Z反变换⑴幂级数法⑵反演积分法⑶部分分式法设已知的Z变换函数无重极点，先求出的极点，再将展开成如下部分分式之和：然后逐项查Z变换表，得到最后写出已知的采样函数三、Z变换理论（8）42例7－13设Z变换函数为

试求其Z反变换。解因为所以三、Z变换理论（9）435、关于Z变换的说明

⑴Z变换的非惟一性

⑵Z变换的收敛区间三、Z变换理论（10）44本节主要内容：1、离散系统的数学定义2、线性常系数差分方程及其解法3、脉冲传递函数4、开环系统脉冲传递函数5、闭环系统脉冲传递函数6、Z变换法的局限性及修正Z变换

四、离散系统的数学模型451、离散系统的数学定义

将输入序列，变换为输出序列的一种变换关系，称为离散系统。记作如果上式所示的变换关系是线性的，则称为线性离散系统；如果这种变换关系是非线性的，则称为非线性离散系统。四、离散系统的数学模型（1）46⑴线性离散系统如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，即有如下关系式⑵线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。四、离散系统的数学模型（2）472、线性常系数差分方程及其解法线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述即四、离散系统的数学模型（3）48线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述：或表示为常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和Z变换法,这里仅介绍工程上常用的后两种解法。四、离散系统的数学模型（4）49⑴迭代法若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。例7－16已知差分方程输入序列，初始条件为，试用迭代法求输出序列。解根据初始条件及递推关系，得四、离散系统的数学模型（5）50四、离散系统的数学模型（6）51⑵Z变换法

利用Z变换的实数位移定理，得到以Z为变量的代数方程，然后对代数方程的解取Z反变换，求得输出序列。例7－17试用变换法解下列二阶差分方程或设初始条件。解对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：四、离散系统的数学模型（7）52得Z代数方程

四、离散系统的数学模型（8）533、脉冲传递函数

⑴脉冲传递函数定义设开环离散系统如下图所示，线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，记作四、离散系统的数学模型（9）54在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号，而不是采样信号，则在系统输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出函数在采样时刻上的离散值。四、离散系统的数学模型（10）55⑵脉冲传递函数意义输入单位序列：单位脉冲响应序列:

即脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数，就等于系统加权序列的Z变换。四、离散系统的数学模型（11）56⑶脉冲传递函数求法

连续系统或元件的脉冲传递函数，可以通过其传递函数来求取。脉冲过渡函数的采样拉氏变换记作习惯表示为

四、离散系统的数学模型（12）57例7－18设某环节的差分方程为试求其脉冲传递函数。

解对差分方程取Z变换，并由实数位移定理得当时，，在离散系统中其物理意义是代表一个延迟环节。它把其输入序列右移一个采样周期后再输出。四、离散系统的数学模型（13）58例7－19设图7－23所示开环系统中的试求相应的脉冲传递函数。解将展成部分分式查Z变换表得四、离散系统的数学模型（14）594、开环系统脉冲传递函数

⑴采样拉氏变换的两个重要性质1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即其中，为采样角频率。2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化，则可以从离散符号中提出来，即四、离散系统的数学模型（15）60⑵有串联环节时的开环系统脉冲传递函数1）串联环节之间有采样开关设开环离散系统如图(a)所示，由图可得于是有四、离散系统的数学模型（16）612）串联环节之间无采样开关设开环离散系统如图(b)所示，显然这里为的拉氏变换

四、离散系统的数学模型（17）62上式中通常对输出取Z变换，得于是开环系统脉冲传递函数

四、离散系统的数学模型（18）63显然，在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不相同的。但是，不同之处仅表现在其零点不同，极点仍然一样。这也是离散系统特有的现象。四、离散系统的数学模型（19）64⑶有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图(a)所示。四、离散系统的数学模型（20）65由图(b)可得根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得四、离散系统的数学模型（21）66例7－21设离散系统如前图所示，已知试求系统的脉冲传递函数。解因为因此，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数

四、离散系统的数学模型（22）675、闭环系统脉冲传递函数

下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。

四、离散系统的数学模型（23）68由上图可见，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为因此有所以四、离散系统的数学模型（24）69

定义为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数。定义为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数。

闭环离散系统的特征方程：四、离散系统的数学模型（25）70需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能从和求变换得来，即这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。

四、离散系统的数学模型（26）71例7－22设闭环离散系统结构图所示，试证其闭环脉冲传递函数为四、离散系统的数学模型（27）726、变换法的局限性及修正变换

⑴变换法的局限性⑵修正变换法四、离散系统的数学模型（28）73本节主要内容：1、s域到z域的映射2、离散系统稳定的充分必要条件3、离散系统的稳定性判据4、采样周期与开环增益对稳定性的影响5、离散系统的稳态误差6、离散系统的型别与静态误差系数五、离散系统的稳定性与稳态误差741、s域到z域的映射

s域到z域的基本映射关系式为五、离散系统的稳定性与稳态误差（1）75⑴等线映射五、离散系统的稳定性与稳态误差（2）76⑵等线映射五、离散系统的稳定性与稳态误差（3）77⑶等线映射五、离散系统的稳定性与稳态误差（4）782、离散系统稳定的充分必要条件定义若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。⑴时域中离散系统稳定的充分必要条件设线性定常差分方程差分方程的特征方程如下五、离散系统的稳定性与稳态误差（5）79设特征方程有各不相同的特征根当特征方程的根时，必有，故系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模，则相应的线性定常离散系统是稳定的。五、离散系统的稳定性与稳态误差（6）80⑵z域中离散系统稳定的充分必要条件

设典型离散系统结构图如图所示，其特征方程为

五、离散系统的稳定性与稳态误差（7）81在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征的模均小于1，即，相应的线性定常离散系统是稳定的。五、离散系统的稳定性与稳态误差（8）82例7－27设离散系统如图所示，其中试分析该系统的稳定性。解所以该离散系统不稳定。五、离散系统的稳定性与稳态误差（9）833、离散系统的稳定性判据

⑴w变换与劳思稳定判据双线性变换显然五、离散系统的稳定性与稳态误差（10）84例7－28设闭环离散系统如图所示，其中采样周期，试求系统稳定时K的临界值。

解：五、离散系统的稳定性与稳态误差（11）85闭环特征方程令，得得W域特征方程五、离散系统的稳定性与稳态误差（12）86列出劳思表为了保证系统稳定，必须使和，即。故系统稳定的临界增益。五、离散系统的稳定性与稳态误差（13）

87⑵朱利稳定判据朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。设离散系统n阶闭环特征方程可以写为利用特征方程的系数，按照下述方法构造行、列朱利阵列，见下表。五、离散系统的稳定性与稳态误差（14）88朱利判据表五、离散系统的稳定性与稳态误差（15）89这里

………..五、离散系统的稳定性与稳态误差（16）90朱利稳定判据特征方程的根，全部位于Z平面上单位圆内的充分必要条件是以及下列个约束条件成立五、离散系统的稳定性与稳态误差（17）914、采样周期与开环增益对稳定性的影响

举例说明例7－30设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求：1)当采样周期分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益2)当，，分别为时，系统的输出响应。五、离散系统的稳定性与稳态误差（18）92解:开环脉冲传递函数闭环特征方程为当时，有五、离散系统的稳定性与稳态误差（19）93W域特征方程根据劳思判据易得。当时，W域特征方程为根据劳思判据得。令，分别为可由的反变换求出，分别画于下张图之中。五、离散系统的稳定性与稳态误差（20）94图：阶跃响应五、离散系统的稳定性与稳态误差（21）95由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响：1)采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；2)当开环增益一定是，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性。五、离散系统的稳定性与稳态误差（22）965、离散系统的稳态误差介绍利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差。设单位单馈误差采样系统如下图所示，

五、离散系统的稳定性与稳态误差（23）97其中为系统误差脉冲传递函数。若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差五、离散系统的稳定性与稳态误差（24）98例7-31设离散系统如下图所示，其中，输入连续信号分别为和，试求离散系统相应的稳态误差。五、离散系统的稳定性与稳态误差（25）99解:系统的误差脉冲传递函数因为所以系统稳定，应用终值定理方法求稳态误差。当，求得五、离散系统的稳定性与稳态误差（26）100当，相应时，，求得

五、离散系统的稳定性与稳态误差（27）1016、离散系统的型别与静态误差系数

⑴单位阶跃输入时的稳态误差当系统输入为单位阶跃函数时，其Z变换函数稳态误差为定义静态位置误差系数：五、离散系统的稳定性与稳态误差（28）102⑵单位斜坡输入时的稳态误差当系统输入为单位斜坡函数时，其Z变换函数稳态误差为

定义静态速度误差系数

五、离散系统的稳定性与稳态误差（29）103⑶单位加速度输入时的稳态误差当系统输入为单位加速度函数时，其Z变换函数稳态误差为定义静态加速度误差系数五、离散系统的稳定性与稳态误差（30）104

表：单位反馈离散系统的稳态误差五、离散系统的稳定性与稳态误差（31）105本节主要内容：1、离散系统的时间响应2、采样器和保持器对动态性能的影响3、闭环极点与动态响应的关系六、离散系统的动态性能分析1061、离散系统的时间响应通常假定外作用为单位阶跃函数，如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数，则系统输出量的Z变换函数将上式展成幂级数，通过Z反变换，可以求出输出信号的脉冲序列。代表线性定常离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程，根据单位阶跃响应曲线可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能。六、离散系统的动态性能分析（1）107例7－32设有零阶保持器的离散系统如下图所示，其中。试分析该系统的动态性能。解：

六、离散系统的动态性能分析（2）108闭环脉冲传递函数单位阶跃序列响应的Z变换：六、离散系统的动态性能分析（3）109输出序列为根据上述数值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应，如下张图所示。六、离散系统的动态性能分析（4）110

图：离散系统输出脉冲序列六、离散系统的动态性能分析（5）1112、采样器和保持器对动态性能的影响

举例说明在例7－32中，如果没有采样器和零阶器，则成为连续系统，其闭环传递函数该系统的阻尼比，自然频率，其单位阶跃响应为六、离散系统的动态性能分析（6）112如果在例7－32中，只有采样器而没有零阶保持器，则系统的开环脉冲传递函数为相应的闭环脉冲传递函数代入，得系统输出Z变换六、离散系统的动态性能分析（7）113在例7－32中，既有采样器又有零阶保持器的单位阶跃响应曲线，见曲线3。六、离散系统的动态性能分析（8）114根据上张图，可以求得各类系统的性能指标如下表所示。

六、离散系统的动态性能分析（9）115采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下