二次函数教案

二次函数知识点一、 二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如二/+bx+c〔a,,c是常数顼丰0〕的函数，叫做二次函数.【注意】和一元二次方程类似，二次项系数aw0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数y二ax+bx+c的构造特征：2⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2)a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.例」-…是关于X的二次函数，那么m=()二、 二次函数的根本形式a<0向下〔0,0〕y轴Q0时,y随尤的增大而减小；%<0时,y随*的增大而增大；*=0时，y有最大值0・由此可知：a的绝对值越大，抛物线的开口越小2.丿=ax2+c的性质：上加下减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性 质a>0向上(0,y轴x>0时,y随x的增大而增大；X<0时,y随x的增大而减小；X=0时,y有最小值ca<0向下（0,C）y轴X>0时,y随x的增大而减小；x<0时,y随x的增大而增大；x=0时,y有最大值c.3.y=a（xh丿2的性质：左加右减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,0)X二h>时，y随的增大而增大；X<h时,y随x的增大而减小；X=h时,y有最小值°•a<0向下(h,0)X二hx>h时,y随X的增大而减小；X<h时,y随x的增大而增大；X=h时,y有最大值0.4-y=a(x-h)2+k的性质：〃的开口方顶点坐对称性质

符号向标轴a>0向上(hk)JX二h%>时,？随％的增大而增大；h -X<h时,y随X的增大而减小；x二h时,y有最小值k.a<0向下(hk)JX二hx>h时,y随x的增大而减小；<时,y随的增大而增大；X h 丿 XX=h时,y有最大值k-专察二次函数的定乂、性质，有关试题'吊出如今选择题屮，例：以X为自变量的二次函数y=（m-2）x2+m2-m-2的图像经过原点，那么m的值是三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式尸。（％-h）2+心确定其顶点坐标仏上）；⑵保持抛物线产0%2的形状不变，将其顶点平移到（h,，处,详细平移方法如下：

y=aXy=ax-J;向上刈［或向下VO)】平楸个单位y=aj2+k向右hy=aXy=ax-J;向上刈［或向下VO)】平楸个单位y=aj2+k向右h>0)［或左VO)］平移kl个单位向右h>0)［或左V0)］平移阳个单向上>0)f或下V0)】平移用个单位VO)］平移U个单位Ay=ax-h)2+k向上>0)［或下V0)】平楸个单位2.平移规律方法二:—+y_。工2bx^y-ax2+bx+c沿/轴平移:c向上〔下)平移m方法二:—+y_。工2bx^y-ax2+bx+c沿/轴平移:c向上〔下)平移m个单位,变成bxc+m〔或y~ax2+bx+c2+bx+cbxc+m〔或y~ax2+bx+c2+bx+c沿X轴平移：向左〔右〕平移m个单位，y=ax2+bx变成y二a(x+m)2+b(x+m)+c［或y二a(x~m)?+b(x~m)+c)例:将一抛物线向下向右各平移2个单位得到抛物线的解析式为一1,那么原抛物线的解析式是()A.口2〃-2B・)・,•2)：I2C.\I2四、二次函数y=o(x-h?+k与y(x-人?+k与D.V.2; 2=ax2+bx+c的比较式,后者通过配方可以得到前者，即y=ax2+bx+c是两种不冋的表达形+4%一序，其中4a7b4 4ac~b2h— ,k.2a4a

五、二次函数y —ax+bx+C图象的画法2五点绘图法：利用配方法将二次函数y-ax+bx+c化为顶点式2y-a成一h〕2+如确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点〔0,疽、以及〔0,c）关于对称轴对称的点〔2h,c〕、与x轴的交点， ，八、、〔x,0）,〔x,0）〔假设与x轴没有交点,那么取两组关于对称轴对称的点〕・2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.例:二次函数I 『o'［的图像如图，那么以下说法：①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=-1;③当x=l时,y=2a④ \hm-.> /1〕・解；独物线与F解；独物线与F轴交于原点.〜，故①正醮E该抽㈱辅的对襁由是I二14厂-1,直箕A-L故②正确彳留产1时,j留产1时,jFm■升口丁对称抽杲直线4-L△-或・二-L丽面〃%、c=Ob-」j匚4a,故&纪层口厂#二对废的阴数匿内尸■口加时L，时应的函数值为尸科己，又,1时函数取得最小葩,2口，:;口公-虹广口>0〔出H-1）,故④正瑜应选rC..练习：⑴二次函数y-ax+bx+c的图像如图1，那么点,在〔）aA.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限〔2）二次函数y=ax2+bx+c〔aW0）的图象如图2所示，那么以下结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是〔丨C.A.1个B.2个3个D.4个1.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为亠上，顶点坐标为2ay随尤的增大而减小；当x〉_b时,y随尤的增大而2。厶时， 有最小值4ac—b2b y 22.当.<o时，抛物分开口向下，对称轴加_上，顶点坐标为2a•当x〈―8时,y随*的增大而增大；当工>丿时,y随*xVyx x>>, y%2a 2a的增大而减小；当户_b时，y有最大值4aC一b2例:假设二次函数v必〜心」的图像与x4444两个公共点，那么元二次方程s•二I0T.H有两个不相等的实数根,请根据你对这句话的理解，解决下面的问题:假设m,n(m<n)是关于x的方程1-・g[x切U的范根，且，:“A,那么a,b,m,n的大小关系是C.斛侬题意，画出国数尸1K-口)解丿的图象，如下图.国魏图象为抛㈱辅，开口向上，与M轴两个交点的相坐标分别为W<b).方翟i_im)=.转化为口-口)7...)或方程的两根是抛物统片<口”圮与直线厂［拍两■个；■:点 由eO,可知时称轴左侧交点橙坐标为也右侧为0,由遗物线开口向上，那么在时称轴左例，产随M增大而减少•那么有由之重在对熟轴右祖hv随邸增大而增大•那么有综上所述,可知mVY&Cm应选人七、二次函数解析乱旳衣小力法七、二次函数解析乱旳衣小力法.般式:)=ax2+bx+caa，b.顶点式： (小+厶〔八 y=a(x_h)〒k两根式： ( 、( )］丰oy=a(x-x)(x-x)1a 0横坐标).y( )( )c为常数，“0)；淡为常数,a丰0)；x，x是抛物线与x轴两交点的1 2注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与尤轴有交点即b2-4ac>0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化.考察用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解做题和选拔性的综合题，如：例:一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点，对称轴为X=5,求这条抛3物线的解析式.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数二次函数y=彼2+bx+c中,作为二次项系数，显然。丰0.⑴当0>0时,抛物线开口向上,a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越a a大，开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在a>0的前提下，当b>0时，.2a〈°，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b=0时,b=0,即抛物线的对称轴就是y轴； 当b<0时，2a即抛物线对称轴在y轴的右侧.⑵在a<0的前提下,结论刚好与上述相反，即当b>0时，.2a〉0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；当b=0时,一2a二0,即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，.2a<°，即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来,在：确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的断定：对称轴x=-2a在y轴左边那么ab>0,的右侧那么ab<0,概括的说就是“左同右异〃总结：.常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在,轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当c_0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为°；⑶当C<°时，抛物线与y轴的交点在,轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.所以,c决定了抛物线与y轴交点的位置.从而我们就知道，只要a，b，C都确定，那么这条抛物线就是唯一确定,的.例：如图，假设函数y二履+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y二履2+b,-1的图像大致是〔 〕练习：二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x,0),且2 1161〈2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.以下结论：①a〈b〈O；②2a+c〉O；③4a+c〈O；④2a-b+l〉O,其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；抛物线与％轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于％轴对称y=a%+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx—c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(xF»~k；.关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax^-bx+cy=a(x-h+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h»+k；.关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=_ax+bx-c2 ；y=a(x~h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=_a(x+h)2-k；.关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°)

y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c2 2a尸aQ一仆+k关于顶点对称后，得到的解析式是y__aG_h）2+k5.关于点（m/对称Jy二a仆+k关于点（m,/对称后，得到的解析式是/ ）2y=-a（x+h-2m+2n-k〔1抛用配方法求它的顶点坐2标和对称轴.〔2）假设该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.所以根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此laI永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以根据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数的特殊情况.图象与x轴的交点个数:y=ax2+bx+c当函数值的特殊情况.图象与x轴的交点个数:①当A二b2-4ac)0时，图象与％轴交于两点A1A1,0),昨,0)(yx)，其中的',乂是一元二次方程ax2+bx+c=0(顽)的两根•这两点间的间隔AB二x-xI二五三・2 1a当A：0时，图象与x轴只有一个交点；当A<0时，图象与x轴没有交点.1当a〉0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有axxy〉0；2,当。<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.抛物线y二ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；.二次函数常用解题方法总结：⑵求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数y二ax+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置,要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式bx+c(a丰0)本身就是所含字母%的二次函数；下面以.〉0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：

A>0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A=0抛物线与轴X只有一个交点八、、八、、二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A<0抛物线与轴X无交点二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.会用待正系数法求二次函数解析式例・：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=—2,且二次函2数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2,那么抛物线的顶点坐标为2A.(2,—3) B.(2,1) C.(2,3)D.(3,2)答案：C例：：二次函数y=ax—〔b+1)x—3a的图象经过点P〔4,10)，交x轴2于4x,0),B〔x,0)两点〔x<xJ,交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB.1 2 1⑴求二次函数的解析式；〔2)在二次函数的图象上是否存在点虬使锐角NMCO〉NACO?假设存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；假设不存在，请你说明理由.⑴解:如图:抛物线交x轴于点A〔x,0),B〔x2,1O),那么x-x=3<0,又<*TOC\o"1-5"\h\z1 2 ]6/・・・x〉O,x<O,V30A=OB,Ax=—3x.2 1 2 1.\