2022-2023学年安徽省合肥市、淮南市部分学校高二年级上册学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省合肥市、淮南市部分学校高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得，或，则，故选:．2．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义及诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.所以.故选：B.3．已知幂函数在上单调递增，则（

）A． B．2 C． D．32【答案】D【分析】根据幂函数的定义及单调性，求出函数的解析式，再求函数值即可.【详解】因为是幂函数，所以，即，解得，或，当时，在上单调递减，不满足题意；当时，在上单调递增，满足题意，所以幂函数的解析式为.所以.故选：D.4．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过指数函数和对数函数的单调性，得到，，，即得到答案.【详解】根据对数函数单调性知，，即，根据指数函数单调性知，即，．故选：C．5．甲、乙两名志愿者均打算高考期间去A，B，C三个考点中的一个考点做服务，甲去A，B考点做服务的概率分别为0.4，0.3，乙去B，C考点做服务的概率分别为0.5，0.2，则甲、乙不去同一考点做服务的概率为（

）A．0.26 B．0.33 C．0.67 D．0.74【答案】C【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可.【详解】甲去A考点，乙不去A考点的概率为：；甲去B考点，乙不去B考点的概率为：；甲去C考点，乙不去C考点的概率为：；则甲、乙不去同一考点做服务的概率为：故选：C.6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】在中，利用两角和的正弦公式和正弦定理求，在Rt中求.【详解】在中，，则，∴，由正弦定理可得，则，在Rt中，，∵，则.故选：A．7．如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由三点共线，求出的值.【详解】是的中点，，，，三点共线，，即，解得，故选：B．8．如图，在几何体中，底面是正方形，平面，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知直线在底面上的射影即为的中点的连线所在直线,连接交于点，取的中点，计算求得，说明几何体的外接球的球心为，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体中，底面是正方形，平面，其余棱长都为2，可知直线在底面上的射影即为的中点的连线所在直线,,连接交于点，则为的中点，取的中点，四边形为全等的等腰梯形，则，故,平面,则平面平面,故,则,取的中点，连接，作，垂足为，如图所示．由题意得，，，，同理,又，即这个几何体的外接球的球心为，半径为2，这个几何体的外接球的体积为,故选:D．二、多选题9．“”为真命题的充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据函数的单调性得到得到，对比选项得到答案.【详解】为真命题，且在上单调递增，，故，ABC满足于条件.故选：ABC．10．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．a的值为0.015B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75C．估计总体中成绩落在内的学生人数为105D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87【答案】ABD【分析】对于A,根据频率之和为1计算即可；对于B,根据众数的定义判断即可；对于C,根据频数和频率的关系计算即可；对于D,根据百位分数的计算公式求解即可.【详解】根据频率和等于1得：，，A正确；由频率分布直方图可知，众数为75，B正确；总体中成绩落在内的学生人数为：，C错误；上面各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，故第80百分位数在内，设第80百分位数约为，则：，，D正确；故选：ABD.11．已知，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为4 D．的最小值为【答案】BD【分析】对A利用已知条件构造二次函数求最值，B，C利用基本不等式，结合已知条件，即可解决，D项，利用已知条件化“1”，然后构造基本不等式解决问题.【详解】对A，由，所以，从而，所以当时，有最小值，故A错误；对B，因为，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，因为，所以当且仅当时取等号，故C错误；对D，当且仅当，即时取等号，故D正确．故选：BD．12．如图，正方体的中心为分别为的中点，分别为线段上的动点（包含端点），则（

）A．对于任意点平面B．存在点，使得平面平面C．三棱锥的体积为定值D．存在点，使得平面【答案】BC【分析】选项A，当与重合时，可判断；选项B，当为的中点时，可证明平面（平面），即可判断；选项C，先证明平面，再由点到平面的距离为定值，而的面积是定值，可判断；选项D，先证明平面平面，即可判断.【详解】选项A，连接，当与重合时，平面平面，此时直线与平面相交，A错误；选项B，四边形为正方形，，当为的中点时，，平面平面，平面（平面），平面平面平面B正确；选项C，在正方体中，四边形为平行四边形，平面平面平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值，则三棱锥的体积为定值，正确；选项D，平面，同理平面，且平面平面平面，又平面平面，D错误．故选：BC．三、填空题13．已知复数满足，则__________．【答案】【分析】由复数的四则运算与模的概念求解，【详解】由题意得，．故答案为：14．已知向量，若，则__________．【答案】【分析】由平面向量的坐标运算求解，【详解】由题意得，，解得．故答案为：15．设函数，若在上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】【分析】通过换元将转化为余弦函数，然后在给定区间有且仅有4个零点，列不等式求解即可.【详解】，设，则，在上有且仅有4个零点即：方程在有且仅有4个零点；所以；故答案为：四、双空题16．为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为．设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第次改良后所排放的废气中含有的污染物量（单位：满足函数模型．（1）__________．（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行__________次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标．（参考数据：）【答案】

6【分析】（1）根据题意将代入求解即可；（2）解不等式，结合对数运算求解.【详解】（1）由题意得，当时，，即，解得．（2）由（1）得，，整理得，，即，故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标．故答案为：；6.五、解答题17．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)或.【分析】（1）利用绝对值不等式的解法及并集的定义即可求解.（2）根据已知条件得出，利用子集的定义即可求解；【详解】（1）由，得或，解得或.所以或.当时，.所以或或.（2）由（1）知，或，因为，所以.当时，，解得,此时成立.当时，要使，则有或，解得或，综上所述，实数a的取值范围为或.18．已知函数．(1)将函数的图象的横坐标缩短为原来的一半后，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间；(2)若关于x的方程在上恰有2个实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)和.(2).【分析】（1）根据平移得得解析式，然后利用余弦函数的单调性求解；（2）方程恰有2个实数根，转化为函数图像恰有两个交点即可.【详解】（1）由题意可知：令得：；当时，；当时，；在上的单调递增区间为：和.（2）,设，则在上恰有2个实数根；即，在恰有2个实数根；即和的函数图像恰有两个交点，所以实数a的取值范围是.19．2022年8月1日是中国人民解放军建军第95周年纪念日，某党支部为了了解党员对八一建军节的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“八一建军节”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．现从各组中按照分层随机抽样的方法抽取20人，担任“八一建军节”的宣传使者．(1)若甲（年龄37）､乙（年龄38）两人已确定担任宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取3人作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选为组长的概率；(2)若第三组党员的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组党员的年龄的平均数与方差分别为38和3，据此估计这200人中岁所有人的年龄的方差．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据频率分布直方图和分层抽样的性质可得第四组、第五组应抽取的人数，分别记为,根据题意求出对应的样本空间，再利用古典概型的概率公式即可求解；(2)先分别计算第三组､第四组的党员的年龄的平均数，再利用方差公式即可求解.【详解】（1）由题意得，按照分层随机抽样的方法抽取20人，第四组应抽取4人，记为，甲，乙，第五组抽取2人，记为．对应的样本空间为，甲，乙），（，甲，乙），（，甲，，甲，，乙，，乙，，，甲，乙），（，甲，，甲，，乙，，乙，，（甲，乙，），（甲，乙，），（甲，），（乙，，共20个样本点．设事件“甲､乙两人至少有一人被选为组长”，则事件“甲､乙两人都没选为组长”，则，共4个样本点．．（2）设第三组､第四组的党员的年龄的平均数分别为，方差分别为，则．设这200人中岁所有人的年龄的平均数为，方差为，则，因此，估计这200人中岁所有人的年龄的方差为．20．如图1是半圆（以为直径）与Rt组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与Rt所在平面垂直，点是的中点．(1)求证：；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，然后根据线面垂直的判定定理及性质定理即得；（2）过点作，且，结合条件可得异面直线与所成的角为或其补角，然后根据条件及余弦定理即得.【详解】（1）是半圆的直径，，，即，又平面平面，且平面平面平面，平面，又平面，，又，平面，平面，平面，又平面，所以；（2）在平面内，过点作，且，连接，则，，可得四边形是矩形，四边形是平行四边形，，异面直线与所成的角为或其补角，由（1）得，平面平面，平面，，在Rt中，，，在中，，，即异面直线与所成角的余弦值为．21．在①；②；③设△ABC的面积为S，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，，求钝角△ABC的周长的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）选①利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式后可求解，选②切化弦后再由两角和的正弦公式求解即可，选③由三角形的面积公式及余弦定理化简即可得解；（2）由正弦定理以及三角恒等变换得出，再由正弦型函数的性质求解即可.【详解】（1）选①，利用正弦定理化简得，整理得，即，．选②，，，.或．选③，，，根据余弦定理可得，．．（2），.，，的周长.钝角△ABC为钝角三角形，设为钝角.则，又，.，.