第四节行列式的秩_第1页
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文档简介

第四节行列式的秩第1页，共15页，2023年，2月20日，星期二显然，n阶方阵只有一个n阶子式，即为该方阵的行列式。

一般地，矩阵A的k阶子式共有个。下面给出矩阵A的秩的概念。定义8

矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作R(A),并归定R(O)=0.如果n阶方阵A的秩等于n，则称A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵。如果矩阵A的秩R(A)=n,则称矩阵A为列满秩矩阵；如果矩阵的秩为m，则称矩阵A为行满秩矩阵。第2页，共15页，2023年，2月20日，星期二例如对于矩阵所以矩阵A的秩R(A)=3第3页，共15页，2023年，2月20日，星期二

由矩阵的秩概念可得

定理3第4页，共15页，2023年，2月20日，星期二由定义8知:第5页，共15页，2023年，2月20日，星期二例第6页，共15页，2023年，2月20日，星期二解第7页，共15页，2023年，2月20日，星期二定理4证第8页，共15页，2023年，2月20日，星期二第9页，共15页，2023年，2月20日，星期二经过一次初等行变换,矩阵的秩不变,经若干次初等行变换,矩阵的秩当然还不会变第10页，共15页，2023年，2月20日，星期二推论

初等列变换也不改变矩阵的秩证

设A经初等列变换化成了矩阵B,则有例解

可把A化成阶梯型,也可作如下初等变换第11页，共15页，2023年，2月20日，星期二推论定理5推论同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).推论第12页，共15页，2023年，2月20日，星期二例设求A的标准形.R(A)=2.解第13页，共15页，2023年，2月20日，星期二例设A为n阶矩阵(n≥2),证明证①若R(A)=n:②R(A)<n-1:

detA≠0，

A中所有n-1阶子式均为零，

第14页，共15页，2023年，2月20日，星期二例证明证存在可逆矩阵P1,

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