高中数学竞赛讲义第十一章圆锥曲线

的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨|PF| 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+a≠b。从原点出发x轴上，列标准方程为x2ya xaybsin 参数方程为

（为参数y2ya x2ya a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为a

xc

2x2的准线

ee

ac2+b2=a2x2y2 1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）P(x0,y0)的切线方程为x0xy0ya 2斜率为k的切线方程为ykx 2,la2c2cos2第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。7x轴上的双曲线方程为x2ya xay 参数方程为

（为参数y2xa x2ya (a,a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).

x2c2

,x

a e2 2

aa2+b2=c2e>1y

x2y

x2y

x a

a 双曲 x2y2212 a2 P(x,y)P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-aP（x,y）在左

。FlF叫焦lFlx轴，xlK，p(KFy轴，建立直角坐标系，设|KF|=pF坐标为x

2，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率x1）焦半径 2P2过焦点倾斜角为θ的弦长为1cos2OO出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就（ρ，θ）P的轨迹为椭圆；若e>1Pe=1P的轨迹为抛物线。这三

1ecos1x2y21例 （21F P

52ec x52[解 见图11-1，由题设a=5,b=4,

5.

4因为

3，0|PF|e 足为Q。由定义知|PQ 5x3|A|+5|PF| ((5x<0P

x2y例 已知P，P'为双曲线C：a

PP延长线交右准线于K，PF1Q（F1

|PK||[证明 记右准线为l，作PDl于D，P'

EPE//PD|

||PD

|e|P'F1|P'E

|

||PD |P'E

|PK为∠PF1PP

例 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程 x2ya2

OP 2方程 1所以|FP|+|PO|=2(|FA|+|AFca>|FO|=c1x2y21a 到中心在原点的椭圆： 4(xc)2

。由平 4y2a b2xx1 相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)， ，即x1=2x+c,y1=2y.又因 cx y

x2 y

4x 2

4y 111.

点Aac

上所以a2

代入得关于点P的方程 a

b2 它表示中心为

F和O例4 长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。 ]x 2a2xy+2),记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示 ，x2y

a2.4a=by=xy=-a>bx轴上的两条等轴双曲线；例5 在坐标平面内，∠AOB=3，AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方[解 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-3)),设32 2 知OB中点为M

tan

tantan y3tan x

3

PMOB 23x

3•tanθ=3

2

3= 3tantan33 3

31tantan3所以tanθ1(x4)2y21

x2y例

(a>0,b>0)FB1B2

B1，B2F1BB1BxH点。求证：H[证明 b2c0 )F1，HB2F，BB1xc 2asinb

,

abacsin asinb

a2b(bcsin2a2sin2absincosb2cos2a2b(bcsina2sin2absincosb2c2sin2 asin(asinbcoscsinb)(csinbasinbcosa(bc

a2sin

a,(csinax （定值例7 且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。yA1,

y

C

F

yOA(1,y2

2 [证明 设

，则

，焦点 ，所 OC

, 2,

FA(1

y 2FB2 1y 2y y

，所

y1 p

y 22y22

(

y2)2p2

12y y1 p y

p

=0。因为

，所 。2p2y1

12

以

， 。所以

ACx2ya

|OA例 椭 为[证明

r2cos2 r2cos2 1 1,2 2 1.a2 a 1cos2sin2rab rab sin2cos2rab rab2

②1|OA |OB

a b①+② （定值例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点求|AB|的最大值与最小解 解

，b=3，

r1记|OA|=r1,|OB|=r2,记

1 r1

2r22

r2r21(r2r2)(1 4 4,1r2r因为

cos2sin2a

a2

122

rb rb bt

a

bf(x)=x+x在t

22

a或b时，|AB|取最大 例

x2(y3)22

7 70,[解 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为

77|BC|最大值为3e3

y22因 2所以可设椭圆半长轴半焦距半短轴长分别为21tsin1

t 93913(tsinθ+2

2=3t2sin2θ-3tsinθ+4t 9 2，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+

t>2,

2t时，|BC|23+4t23+4t2=7

x2 2y1。y1例 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围1[解 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是111

x2

1

x2

),+ay2y11

14a(11)

a所以

例12 若直线y=2x+b与椭圆

x2 y4y

（1）（2）]Δ>0

|x11k 1k x2y椭圆

21 y 21双曲线方程|k| 5

，则k的取值范围 1x2y21椭圆

F1，F2P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2l

x2 y4y

所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程 A（2，8，点重合，则直线BC的斜率为 已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲 线的倾斜角为450，那么a= |PF1||P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点 的取值范围 x2y

x2y 与双曲 求∠F1PF2和ΔPF1F22r（ii）r|AT|=2a(2a<2；（iii）半圆上有相异两点MN，它们与直线l的距离|MP||NQ|满足|MP||NQ|

x 过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线P1P2的中点的轨迹方程。双曲线与椭圆x2+4y2=64x

过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1= x2y2212a e 此准线异侧的焦点F1的距离 x2y5．4a2+b2=1y=2x+1a

条件若参数方程y2m22t（t为参数）表示的抛物线焦点 x2y如果直线y=kx+1xx2y

总有公共点，则m的范围 过双曲线

1(x3)2y21过坐标原点的直线l与椭 相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好 以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点（0为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 x2ya

x2yF，Oa

的左焦点和中心，对于过点FABOAB为直径的圆内，求椭圆离心率ex2y

(a>0)C2的顶点在原点O，C2C1C2F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求ABSΔAOB的最值，若不存在，说明理由。 O为抛物线的顶点，FPQF的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ x2y2212 a ．给定椭 ，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且 OQ，则心率e的取值范围 x2y

F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹 2ΔABC一边的两顶点坐标为B（0， T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为 2

长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距 x2y

a2 界，若a,b∈R+,则a+b的最小值 x2y已知椭圆

的内接ΔABCAB，ACF1，F2顶点分别为D，E，直线DBCEPAPyx2 y

（a为正常数）C2：y2=2(x+m)xPm的取值范围（a表示1（2）OC1x轴的负半轴交于点A0<a2时，试求ΔOAP面积的最大值（表示8）lCl和抛物线的方程。ABCDAC平分∠BADCDE，BEACF，延长DFBCG，求证：∠GAC=∠EAC。B0B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1ABiCi(i=0,1)AB0的延长线上任取点P1B1B1P1C0为圆心，C0Q1

P0AB0P

（1）

P'0P0P0（2）P0Q，P1，Q1在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（x直角ΔABCABBC，CA，ABD，E，F点，ADP点。CPBP，求证：PD=AE+AP。BCCDABDQBC上，AC=CQBQR，使BR=2RQ，CQSQS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。AOAAAAABBAAPAPPAAy=±kx(k>0),P(x,y)|kxy| |kxy| k21

11k

k≠1k=188=124．-2<k<2k<5.由(|k|-2)(5-k)<0k>5或-6464m,n由余弦定理得mn

1mn

643)

3，PF1 x2 x2

(xx)(xx1y21,2y2

x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则 两式相减

x12

3,y12

y2x2

4(x-7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2)，则

y1y23

=0，所以y1+y2=-8，故直线BCy2y1

y2y1

x

y y

y 21 (y1)2(x

3x4y2 y

=13x4y100得中心为(y1)2(x

，知其实轴平行于y轴，设其方程 a

=1y1x1 a b(x-1).由题设 y2xa =1由平

x'xy'y

y92c2

a再结合 4

(y1)2(x9

=1y222(2y)a(2

ky1 a(y1y2) 1y2 1

=1，所以210（2，2

|

|||PO

|

，由2x2a122x2a1

x2

a2t 1,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所 ，

2t2

。因x1

，所以a2t 2t2

t 2t2 ，所2t2

(a2b2)

||

||||

|2a1|2a2解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-在ΔF1PF2|PF|2|

|2

(aa)2(aa)2 2(a1a2)(a1a2(a2c2)(c2a2 b2b2 2 2a2a b2b2 b2b2

arccos 2b2b2从

2b1b21cos2F1cos2F 又 1|PF||

|sinFPFbb所以F1

1解：以直线ABx轴，AT的中垂线为yM，N两点既在抛标分别为(x1,y1),(x2,y2)x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以（2，0l不垂直于xly-1=k(x-2)，即 y 这里k

x

2k(2k1)2k(2k1) 2k k2 由①，③ 4(2k1)

k2 设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点及③，④xx12

k(2k1),yk2

y12

2(2k1)k2k(x1)278

(y1274

2点（2，0）P的轨迹方程。2x2y

xy

yb b

由椭圆方程得焦点为(43,0a

渐近线

a2=3b2,又c43,c2=a2+b2.b2=12, (a-ex)，又|PF1|=-a-ex2(-a-ex)+a2(a-ex)=|MO|P(x,y)在3与F1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|M到直线x=-11距离d1之比为e

|

|3，所以

3充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1- xmyyy=2(x-1)。消去参数得(y-2m2=4(x-m)，焦点为

m≤1.x5>m,1≤m<5 596

l:y=kxA(x1,y1),B(x2,y2)y=kx代入椭圆方程得x1

x1

F（1，0，AF k21,k

5 3，所以倾斜角为6或2axa2k2CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0 ，于

2a

22a2k122a2k1 解 时，①无解；当a

解设焦点为F1，F2P(x0,y0),∠F1PF2=θ,xcos

000x2a

a2e2xb2a2e2x2a

2b2a2

cos由 ，

，所

2b2a2

aa

2b2>a2即a

2b2aa2

0

2b2a2

,[0,

2b2a2

2b2a a aθ取最大 解设A(x1,y1),B(x2,y2)AB0kABy=k(x+c)，代入椭圆方(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0. 则x1,x2为方程①的两根，由定理得x1x2

2a2②x1x2

a2(k2c2b2③b2a2k ③

b2ky1y2a2k2b2k2(a2c2b4)a所以OAOB

a2k2

,O点在以ABOAOBk2(a2c2-b4)-a2b2<0k∈R成立，等价于a2c2-b2≤0,ac-b2≤0,e2+e-1≤0.55eb2 e若斜率不存在，问题等价于

555

0e解（1）由双曲线方程得bp23a

2a,c

y24 C12x24 x1,x1代入①得y2=43ax1,y

x1≠0

y2,0)的直线AB为 a),由myx

3a得 3为Δ=48m2a2+48a2>0y1,y2A，By1+y2=3

1y2)2=48a2(m2+1).SΔAOB=2|y1-

2a•

6 m2m2Fx

使ΔAOBx2x2(y12x2y5m55 55为常 ，由椭圆定

sina

1

1cos(

absin2,所 所以abOPQ=2absinθ=

为(r1cosθ,r1sinθ),Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ)P，Qr2r a2b2上可 ≤|OF|=c.所以5

OM//O为圆心，aF1MPF2N

2F2N，而212t∈(0,1]时 ,t>1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB•kAC=-

设A(x,y)，则y 2y 2x x2

(x0)

x2y4

=1(x0|AT|2=(x-t)2+y2=(x-

2 。当t>1时2l x0 cos,y0 设点M(x0,y0)，直线AB倾斜角为θ，并设 ),cos,

12

y1sin

1cos)2 y1sin

1cos)2 由①，② y(x1cos)21sin1

l2cos2)1

1l2

4cos2 l2<1，所以函数f(x)=

y1(1l

)1 l22 22所 。当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小2

y

y

by2

M0,

b

2 0y

AMM1

y0 2y1,y2

y0

2

a,2pax=a,y=

时上式恒成立，即定点为 b3 3

1。由题设a b2b2b2b2t

ttttt所以 t66

33

tt

66

33

t

t≤29．解

sin), 3(sinsin)(xlAB2(cos

sin sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ- cos

2coscos

3cos

cos

sin

sin

tan ,

， 2

33

y

ta 。又

tantan

y 3。

2(cos1)(x-3(x 3tan2

(x-

2tan2263tan , 2两直线方程联立，得P点坐标为

tan22

tan22

1

2得点P(x,y)x2y4

y

yy2(x10.解（1） a2m

a2m≤a；当a≥1时，-

或-(2)ΔOAP

S1

a20<a2,故当-a<m≤a时，0<-a2+a2

,xp得xp=-a2+.当m=a时，xp取最小值。由于xp>0，从 时取值最大，此aaaa

S

a2m2

S11aa11aa1a

1a2a

1

a a1aa1a

a

1

1

1a

1a

，此

2时，有1a1a

Smax

aa2

1a1a

y211A，BlA1(x2,y2),B1(x1,y1)AA1中点所 lAA1,

A2

2 x k2x2k21y y

k2

x

16k

8y1

1k 8(k2y.2B y.2 同理，由BB1中 在l上，且lBB1,解得 1y2=2px，将A1，B1pk2-k-k1所

k12

p 5l的方程为

y12

5C

y25

DFxf

f

y

xcc直线BC的方程 1

[cf

(cf)]yxB DFBC的交点GAG的方程。AED 1D

(cf)]yxB 证明A0

c1

An b为 1 ，其 都是既约分数，并记An+1=A0.若p与a

c

a2d1

1

1d2cb

d

b2 k=1时，由1

1

反之亦然（b1d1整除b2d2a2c2.a,

b

a, a,

ab

c d

d是既约分数，因为每一段的长为1，所以

=1，与k=1amaam1abm1

bmbbm-1dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-因此(am+cm-am-1-cm-1)(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-所以am+cm≠am-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时， 证明（1）B0P0=B0Q0P0Q0Q0P0，Q0P1P1Q1，P1Q1Q1P1分Q0，P1，Q1C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1C0Q1=C0B0+P'0P'0P0Q1P0C0P0Q0B0P0在Q1P0P0Q0P0。和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-1Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-21同理得∠P0Q0P1=π2(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)P0，Q0，Q1，P1证明引理：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.引理的证明：设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入抛物线方程得