线弹性断裂力学基本的理论

线弹性断裂力学基本的理论第1页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.1应力强度因子概念和能量释放观点的统一前面已了解G和K。如果不考虑塑性变形能、热能和动能等其他能量的损耗。则可通过能量原理来建立G和K之间的联系。

第2页，共26页，2023年，2月20日，星期二由前面的分析可知：设裂纹向前扩展长度，裂纹长度变为原坐标系下r处在新坐标下为(s-r)处，极坐标为(s-r)。该点的y方向的位移为(s-r,π)作用力对裂纹上表面所做的功为：按能量释放理论：第3页，共26页，2023年，2月20日，星期二当s→0，有

∴∴E1=E平面应力平面应变就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。该式基于裂纹沿原方向扩展的假设上。对于Ⅱ型裂纹或Ⅲ型裂纹，若裂纹扩展方向也是正前方。则：

仅为近似估计第4页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.2柔度法Griffith提出能量释放率G是对断裂力学的一大贡献，但在提出以前，要计算含裂纹平板受载时的G是很不容易的。另一方面，计算出的K值不通过与G的联系，也很难验证其可靠性和适用范围。柔度法：①通过柔度随裂纹长度而改变的特点，用测量的方法得到G。②通过G和K的关系求得K。∵对I型裂纹，是精确的，且I型裂纹加载容易。∴柔度法一般只用在I型裂纹。第5页，共26页，2023年，2月20日，星期二设A为裂纹的面积，则当边界条件是给定位移时，dW=0——恒位移时能量释放率的表达式若边界条件是给定载荷。P=常数作用点的位移：

——恒载荷时能量释放率的表达式∵∴柔度法通常用来做“应力强度因子的标定”。单边裂纹应用方便，而板内部裂纹，应用条件是两个裂端能量释放率相等。第6页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.2.1恒载荷柔度法P恒为某值，P的作用下，当Δa→0，Δ→柔度C随a的变化而变化。第7页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.2.2恒位移柔度法

由能量图可见，P与δ的关系必须符合线弹性假设。第8页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.2.3柔度法的标定过程如下（1）预制裂纹a1，记录下拉伸曲线；预制裂纹a2，记录下拉伸曲线；

……

预制裂纹an，记录下拉伸曲线；

P与δ的关系保持为直线。第9页，共26页，2023年，2月20日，星期二（2）由P-δ图求出斜率，，…，和，，…，用最小二乘法对C-a图上的数据进行拟合（3）P-δ保持为线性时，上式与P值有关第10页，共26页，2023年，2月20日，星期二K随a的变化而变化。K与E有关系。对于平面应变问题：

=0（平面应力问题）与=0.33（平面应变问题）结果仅相差6%，从工程角度看，标定时取E代替E1是可取的。第11页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.3断裂判据断裂进行区(fractureprocesszone)——断裂开始的极小区域，该区域的损伤达到了临界程度，区域内的力学性质由材料的微结构起决定影响。K场区——该区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量。应力强度因子断裂判据成立的条件是：塑性区尺寸比K场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。（高强度合金，工程材料发生脆断时，K场区强度是决定应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂评判。）第12页，共26页，2023年，2月20日，星期二如果满足：①脆性材料②裂断塑性区的尺寸又相对较小则只需一个力学参量就已足够。“K”K与G有关。根据G的定义和Irwin能量平衡理论失稳时：或推论：对于某一型裂纹：如I型裂纹：随构件大和厚而降低，但当降到某一值后厚度再增加保持不变。这时的称为断裂判据：第13页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.4阻力曲线G(能量释放率)——裂纹扩展的倾向力，以称为裂纹扩展力。裂纹扩展力——能量释放率。亚临界裂纹扩展——当扩展力稍稍稍稍启裂点时，往往有一段稳定扩展。裂纹扩展阻力常数（平面应变脆性断裂）非常数（厚度小于平面应变所需厚度时）第14页，共26页，2023年，2月20日，星期二以Griffith裂纹为例：裂纹扩展力当σ一定时，G随a增加而增加。裂纹扩展阻力(厚度满足平面应变条件)∴当裂纹尺寸为a1时，当原始裂纹尺寸为a2时，只有当，才能产生裂纹扩展Δa，由此可求出当板厚较薄不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力随Δa的增加而增加。第15页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.5应变能密度因子考虑二维裂纹问题，受到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种载荷中的多种载荷作用。裂纹前缘是平直的——整个前缘各点的应力强度因子值相同。第16页，共26页，2023年，2月20日，星期二=0平面应力

平面应变第17页，共26页，2023年，2月20日，星期二应变能密度将上述表达式代入得：

应变能密度是个单参量，但能代替两个以上的应力强度因子。

应变能密度因子：(1)裂纹扩展方向为S的一个局部极小值的方向。(2)当这个极小值达到或超过一临界值时，就会发生失稳断裂。第18页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.6复合型裂纹裂纹可能不再是单独型裂纹，而是复合型裂纹。例如：压力容器内壁表面裂纹与轴向成交角，在内压作用下是Ⅰ、Ⅱ型复合型裂纹。如果用应力强度因子进行判断：不方便，且不知开裂角为多少。∴需要寻找一个物理意义清楚，且与实验结果符合的判据。第19页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.6.1S因子判据

用于脆性断裂，复合型裂纹（Ⅰ、Ⅱ型）

断裂判据：第20页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.6.2最大周向应力理论假设：裂纹是沿着裂端区圆形损伤核周界的最大周向应力所处的位置的方向开裂。求出：第21页，共26页，2023年，2月20日，星期二令(或)可确定开裂角。，正好是裂纹面，不是开裂角。

∴代入（都与β有关）

对于不同β角的开裂角可见下表，结果与S因子理论相差不多。

304050607080-60.2-55.7-50.2-43.2-33.2-19.3S因子-63.5-56.7-49.5-41.5-31.8-18.3第22页，共26页，2023年，2月20日，星期二失稳断裂判据可采用损伤核周界的最大周向应力大于或等于临界值，即：（在损伤核周界）或实验证明：临界值=∴断裂判据为：第23页，共26页，2023年，2月20日，星期二4.6.3最大能量释放理论复合型裂纹设为真正的能量释放率，G只是个参数。恒载荷时单边裂纹

对称中心裂纹指原裂纹向真正扩展方向延长的扩展量G=第24页，共26页，2023年，2月20日，星期二

释放方向失稳断裂判据：

——断裂发生时的临界值

求