拉氏变换与模拟滤波器设计

拉氏变换与模拟滤波器设计第一页，共64页。背景介绍信号处理：将信号做必要的变换以获得所需信息的过程信号分析：研究信号的构成与特征时域频域傅里叶变换提取关心的频率成分滤波处理第二页，共64页。背景介绍为什么要滤波？在传感器获得的信号中，常混有许多其他频率的干扰有用的信号被淹没在干扰噪声中为突出有用信号，抑制噪声干扰，要对传感器获得的信号进行滤波频率成分多，噪声干扰第三页，共64页。背景介绍滤波的实质：对信号进行频率选择，完成滤波功能的装置称为滤波器当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过，其他频率成分的信号受到衰减或抑制信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。滤波后滤波后第四页，共64页。背景介绍滤波器的分类：分析对象具体实现应用场合①模拟滤波器连续信号由模拟器件组成电子电路②数字滤波器离散信号算法编程工程信号处理Questions：模拟滤波器与数字滤波器的关系？如何进行滤波器的设计？如何评价滤波器的性能？第五页，共64页。背景介绍简单的模拟滤波器→RC滤波器：

电路简单抗干扰性强有较好的低频性能选用标准的阻容元件设滤波器的输入电压为ex，输出电压为ey，电路的微分方程为：(克希荷夫电压定律)求微分方程的时域解，可获得系统的运动规律。第六页，共64页。背景介绍一阶微分方程的求解方法：常规数学积分法：对复杂的方程不易求解，参数设定困难拉普拉斯变换：将时域的微分运算，简化为代数运算改进核心思想求系统的传递函数H(s)来分析系统的幅频、相频特性第七页，共64页。主要内容123拉氏变换Z变换模拟滤波器4数字滤波器第八页，共64页。信号f(t）傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件，但像阶跃函数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足绝对可积条件，经典意义上的傅里叶变换不存在。绝对可积：为了克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制，引出了拉普拉斯变换，简称拉氏变换。拉氏变换的引入能量有限阶跃函数不收敛，能量无限第九页，共64页。拉氏变换对傅里叶变换进行改造：将函数f(t)乘以一个衰减指数函数，使得函数函数收敛，满足绝对可积条件，则可以进行傅里叶变换:满足条件的信号傅里叶因子双边拉氏变换对第十页，共64页。拉氏变换基本性质线性定理：延迟定理：f(t)ttf(t-t0)t0衰减定理：该定理说明了f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。第十一页，共64页。拉氏变换基本性质时域导数性质：频域导数性质：初值定理：且f(∞)存在，则即时域函数的终值，也可以由变换域求得。第十二页，共64页。拉氏变换傅里叶变换拉氏变换分析对象

计算公式基本信号元域时域变量t为实数频域变量为实数时域变量t为实数频域变量s为复数拉氏变换S平面傅里叶变换F变换是L变换的特例L变换是F变换的扩展第十三页，共64页。拉氏变换的应用---系统函数分析拉氏变换作为傅氏变换的推广，将信号的频域分析扩展为复频域分析，扩大了信号变换的范围。连续信号的复频域分析方法也从频域分析方法扩展而来。频域对于线性时不变系统：输入信号为f(t),系统的冲激响应为h(t)，则输出信号为：系统函数复频域系统函数第十四页，共64页。简单的模拟滤波器→RC滤波器：令

=RC，称为时间常数，对上式取拉氏变换，有：其幅频、相频特性公式为:

分析可知:当f很小时，A(f)=1，信号不受衰减地通过；当f很大时，A(f)=0，信号完全被阻挡，不能通过。

拉氏变换的应用---系统函数分析第十五页，共64页。拉氏变换连续系统拉氏变换获得系统函数离散系统如何获得系统函数？第十六页，共64页。主要内容123拉氏变换Z变换模拟滤波器4数字滤波器第十七页，共64页。Z变换的引入Z变换的作用：z变换是离散信号分析和处理，离散系统设计和实现中一种重要的数学工具,它在离散系统中的地位与作用，相当于连续系统中的拉氏变换。应用z变换可以把离散系统的数学模型即差分方程转换为简单的代数方程，使求解过程简化。

Z变换两种定义：定义1:对模拟信号进行冲激抽样经拉氏变换引出,常用于自动控制采样系统的分析。定义2:直接给出数学定义；常用于数字信号处理中。第十八页，共64页。Z变换Step1:若对一模拟信号x(t)作冲激抽样，得到其冲激抽样信号:Step2：对上式两边进行（双边）拉氏变换：Step3：将积分与求和的运算次序对调，利用冲激函数抽样性，得：令第十九页，共64页。Z变换Step4：对上式引入复变量,得到一个z的函数X(z)Z变换:

离散时间域n→

复数域z的映射，是复变量Z-1的幂级数，即罗朗级数上式为双边z变换，单边z变换则可定义为：考虑起始条件，更易收敛，实际中应用较多第二十页，共64页。Z变换收敛域由Z变换的定义式可以看出，Z变换实际上是复函数X(z)在Z平面上，以序列x(n)为系数展开的罗朗级数。由级数的理论可知，收敛的充要条件是满足条件：可以证明，收敛域是z平面上的一个环状区域:第二十一页，共64页。Z变换性质线性时移性若：则：若：则：第二十二页，共64页。Z变换性质序列指数加权(z域尺度变换)若：那么序列x(n)乘以指数序列aⁿ（a是常实数或常复数）后，就有序列线性加权（z域微分）若：则：第二十三页，共64页。Z变换与拉氏变换在Z变换过程中，因此，有Z平面用极坐标表示s平面用直角坐标表示得到：Z平面S平面S平面Z平面S平面？第二十四页，共64页。变换Z拉氏变换三种变换的关系---按计算流程连续信号

傅氏变换绝对可积信号抽样信号拉氏变换离散信号第二十五页，共64页。三种变换的关系---按变量关系第二十六页，共64页。主要内容123拉氏变换Z变换模拟滤波器4数字滤波器第二十七页，共64页。基本概念滤波：提取所需要的信号,抑制不需要的信号。所用装置称为滤波器。信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。传统滤波：信号和噪声各占不同频带。对信号进行频率选择。当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过，其他频率成分的信号受到衰减或抑制。现代滤波：信号和噪声的频谱相互重叠.在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计；Wiener滤波、kalman滤波、线性预测、自适应滤波等。

第二十八页，共64页。巴特沃斯切比雪夫椭圆滤波FIRIIR按信号类型分连续模拟信号离散数字信号（不可实现）维纳滤波卡尔曼滤波线性预测自适应滤波（信噪频带分离）（信噪频带重叠）现代滤波器在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计总体框架第二十九页，共64页。理想滤波器要求：

通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。

理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值；在通带外的幅频特性应为零。

理想滤波器相频特性：幅频特性：第三十页，共64页。物理上不可实现！理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。时域上讲，没有器件能够在一瞬间完成开关过程，都会存在时延和振荡；频域上讲，矩形脉冲需要无穷带宽，实际中也没有条件提供这么大带宽。理想滤波器第三十一页，共64页。理想滤波器要物理可实现：应从一个到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和止带内也不应严格要求为1或0，应给以较小容限。过渡带越窄越好，即对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。

实际滤波器频域特性实际滤波器因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。第三十二页，共64页。通带内允许误差：阻带衰减：通带截止频率：衰减：阻带截止频率：性能指标

实际滤波器第三十三页，共64页。描述实际滤波器的主要参数：纹波幅度：越小越好截止频率带宽：决定滤波器分离信号相邻频率成分的能力品质因数：Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高倍频程选择性：W值越大，衰减越快，则滤波器的选择性越好滤波器因数：越接近于1，滤波器选择性越好实际滤波器第三十四页，共64页。纹波幅度d在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化，其波动幅度d与幅频特性的平均值A0相比，越小越好，一般应远小于-3dB。截止频率幅频特性值等于

所对应的频率称为滤波器的截止频率。对应于-3dB点，即相对衰减3dB。若以信号的幅值平方表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。实际滤波器的参数第三十五页，共64页。带宽B上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽，或-3dB带宽，单位为Hz。带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力—频率分辨力。B实际滤波器的参数品质因数Q对于带通滤波器，通常把中心频率

和带宽B之比称为滤波器的品质因数Q。例如一个中心频率为500Hz的滤波器，带宽为10Hz，则称其Q值为50。Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高。第三十六页，共64页。倍频程选择性W所谓倍频程选择性，是指在上截止频率fc2与2fc2之间，或者在下截止频率fc1与fc1/2之间幅频特性的衰减值，即频率变化一个倍频程时的衰减量。过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它决定着滤波器对带宽外频率成分的衰阻能力。通常用倍频程选择性来表征。W值越大，即衰减越快，则滤波器的选择性越好。或

实际滤波器的参数第三十七页，共64页。滤波器因数（或矩形系数）滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式，它是利用滤波器幅频特性的-60dB带宽与-3dB带宽的比值来衡量滤波器选择性，即理想滤波器=1，常用滤波器=1~5，显然，越接近于1，滤波器选择性越好。实际滤波器的参数第三十八页，共64页。巴特沃斯切比雪夫椭圆滤波FIRIIR按信号类型分连续模拟信号离散数字信号（不可实现）维纳滤波卡尔曼滤波线性预测自适应滤波（信噪频带分离）（信噪频带不分离）现代滤波器在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计总体框架第三十九页，共64页。传输特性时域上用单位脉冲响应表示；频域上用系统函数或频率响应表示。系统框图因此，由即可得出滤波器的系统函数模拟滤波器模拟滤波器表示方法：第四十页，共64页。巴特沃斯(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(Cauer)滤波器……模拟滤波器常用类型第四十一页，共64页。幅度平方函数：N—滤波器的阶数—滤波器截止频率巴特沃斯滤波：通频带的频率响应曲线最平滑。最先由英国工程师StephenButterworth在1930年提出。Butterworth-最平响应特性滤波器第四十二页，共64页。阶数N越大，越接近理想特性幅度平方函数：

过渡带及阻带内，快速单调减小；

通带内幅度特性平坦，单调减小；单调性：Butterworth-最平响应特性滤波器第四十三页，共64页。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率Ωc处，幅度下降3dB。为了使通带内的衰减足够小，需要的巴特沃兹滤波器阶次N很高，采用切比雪夫多项式逼近|Ha(jΩ)|2,可以降低滤波器阶次。切比雪夫滤波器的提出Chebychev-通带等波纹滤波器右图中N=8，在靠近Ωc处同阶次的巴特沃兹滤波器

衰减大于切比雪夫

滤波器第四十四页，共64页。切比雪夫滤波：N为奇数：N为偶数：Chebychev-通带等波纹滤波器Ωc—滤波器截止频率N—阶数

—与通带波纹有关的参量，越大，波纹越大第四十五页，共64页。阶数N越大，越接近理想特性。

过渡带及阻带内，快速单调减小；

通带内具有等波纹，即误差分布均匀；切比雪夫滤波：Chebychev-通带等波纹滤波器第四十六页，共64页。切比雪夫滤波器在通带内有起伏，但通带衰减小于3dB，

值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小。故与巴特沃斯滤波器进行比较，切比雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带较陡直，更接近理想情况。如右图（N=8）缺点：进入阻带后

衰减特性变化缓慢。椭圆滤波器幅值响应在通带

和阻带内都等波纹Chebychev-通带等波纹滤波器第四十七页，共64页。椭圆滤波器：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。

对于给定的阶数和波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。幅度平方函数：RN（Ω，L）为雅可比椭圆函数；L是一个表示波纹性质的参量。椭圆滤波器RN（Ω，L）为雅可比椭圆函数；实际设计中该函数需要查表计算。L：表示波纹性质的参量。第四十八页，共64页。同等滤波效果要求椭圆滤波器的阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。幅度平方函数特点幅频图巴特沃斯通带阻带内单调下降，衰减约3dB切比雪夫通带有波纹，过渡带较陡直，衰减小椭圆通带阻带都有波纹，过渡带最陡直对比第四十九页，共64页。对比对同样阶数的滤波器，从ButterworthChebyshevElliptic，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大。5阶Butterworth滤波器与5阶Elliptic滤波器的比较第五十页，共64页。确定技术指标（即滤波器的频率特性要求）选择滤波器类型：巴特沃斯、切比雪夫、椭圆……确定性能参数：得滤波器频率特性模拟滤波器的设计步骤第五十一页，共64页。模拟滤波器的设计步骤例：给定模拟滤波器技术指标，如下图

通带允许起伏：-1dB，0≤Ω≤2π×104rad/s阻带衰减：≤-15dB，Ω≥2π×2×104rad/s求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率Ωc和Ha(s)表示式。解：(1)求阶数N和截止频率Ωc，写出|Ha(jΩ)|在Ωp和Ωs两点的方程取整得N=4，代入式（1）求得Ωc由式（1）解得式（1）第五十二页，共64页。模拟滤波器的设计步骤解：(2)求滤波器系统函数Ha(s)，由巴特沃斯多项式表查得N=4的BN(s’)即

Ha(s’)的分母多项式，令代入Ha(s’)得到滤波器系统函数Ha(s)。例：给定模拟滤波器技术指标

通带允许起伏：-1dB，0≤Ω≤2π×104rad/s阻带衰减：≤-15dB，Ω≥2π×2×104rad/s求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率Ωc和Ha(s)表示式。第五十三页，共64页。模拟滤波器按功能分：低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器，带阻滤波器低通滤波器从0～f2频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f2的频率成分受到极大地衰减。高通滤波器与低通滤波相反，从频率f1～∞，其幅频特性平直。它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。第五十四页，共64页。模拟滤波器带通滤波器它的通频带在f1～f2之间。它使信号中高于f1而低于f2的频率成分可以不受衰减地通过，而其它