“常青树”下话三角-论数形结合思想在一类三角问题中的应用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选“常青树”下话三角—论数形结合思想在一类三角问题中的应用摘要：历年高考中对数形结合思想的考察经久不衰，被誉为数学“常青树”。三角函数作为高中数学教材的基本初等函数之一，以其为载体的,取值或取值范围问题可以很好的考察学生对直观想象这一核心素养的掌握与运用，所以近年来全国各地的高考题及模拟试卷当中频繁出现此类问题。数形结合思想能使得这样一类问题简单化、具体化，有利于学生掌握核心知识，培养学生的核心素养。 关键词：数形结合,三角函数，直观想象,核心素养

引言：大数学家希尔伯特曾说：“算数符号是写出来的图形，几何图形是画出来的公式”。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件 下可以相互转化。历年高考中对数形结合思想的考察经久不衰，常考常新,被誉为、数学“常青树”。三角函数作为高中数学教材的基本初等函数之一，以其为载体的取值或取值范围问题可以很好的考察学生对数形结合思想的掌握与运用，所以近年来全国各地的高考题及模拟试卷当中频繁出现此类问题。下面由若干实例，浅谈如何利用数形结合思想求解此类问题及笔者对此类问题的反思。一、牛刀小试，题海拾贝引例：函数fx()=sin(wx+π)(w>0)在区间[0,π]上恰有两个最小值点，则w的取值范4围为（）A．é1321,êë4 4ö

÷

øxB．[2,6)C．é917,êë4 4ö

÷

øxD．é1119,êë4 4ö

÷

ø解析：由x,0知,，结合ysin的图像，如图1所示444图112022年安徽省中小学教育教学论文评选可知7x11，解得1321，故选择A。24244此题是2022年马鞍山市三模理数第9题，利用数形结合的思想可以轻松解决此问题。那我市高考命题的专家在最后一次模拟考试中命制此题意欲何为呢？下面请看近年全国各地的高考真题。二、长剑出鞘，高考擒龙例1：[2022全国卷乙卷理数15]记函数fx()=cos(wx+j)(w>0,0<<π)的最小正周期为T，若fT=3，x p=9为fx()的零点，则w的最小值为____________．2解析：因为f(x)cos()的最小正周期T22，0，所以f(T)cos(2)3，即cos3，22又0，所以，即f(x)cos()，66因为x为f(x)的零点，结合ycosx的图像，如图2所示，9图2可知k,kZ，解得9k,3kZ，962在区间()恰有三个因为0，所以当k0时min3。故答案为：3例2：[2022全国卷甲卷理数11]设函数f(x)sin()3极值点、两个零点，则的取值范围是（）22022年安徽省中小学教育教学论文评选A.[5,13)B.53,19

C.

136,8

D.

136,19

36636解析：依题意可得0，因为x()，所以x(,)，333函数在区间()恰有三个极值点、两个零点，由ysinx的图象，如图3所示，图3可知53，解得138，故选：C．在①③2363例3：[2019全国卷Ⅲ卷理数12]设函数fx()=sin（wx p+5）(w＞0)，已知fx()[0,2p]有且仅有5个零点，下述四个结论：fx()在（0,2p）有且仅有3个极大值点②fx()在（0,2p）有且仅有2个极小值点fx()在（p0,10）单调递增④w的取值范围是[1229 ，510)其中所有正确结论的编号是A.①④B．②③C．①②③D．①③④解析：依题意可得0，因为x(2,0)，所以x(2,)，555由f(x)在2,0有且仅有5个零点，结合ysinx的图象，如图4所示知①正确。图4而526，如图4绿色区域所示知其有2个或3个极小值点知②错误。532022年安徽省中小学教育教学论文评选因为526，解得1229，故④正确。5510当x(,0)时x，1055105因为1229所以49，故③正确。5101051002综上，正确选项为D.例4：[2016全国卷1卷理数12]已知函数fx()=sin(wx+j)(w>0，j£p),x=-p为24fx()的零点，x p=4为y=fx()图像的对称轴，且fx()在æçè1836p，5pö

÷单调，则øw的最大值为()（A）11（B）9（C）7（D）5图5解析：如图5所示，不妨设A点横坐标为-p，则xB、xC、x、x···等均有4DE可能为p。由函数示意图以及fx()在æçè1836p，5pö

÷上单调可知øìï

536

p-18

p£w

pï-í pwj+=mp(mÎï 4ïp pwj+=np+ (nïî4 2Z))4ÎZ解得w£12，j=(m+n) p+4,w=2(n-m)1,其中m、nÎZ。2因为j£p， pj=4或-p。24若 pj=4，则m=-n，此时w=4n+1，nÎZ，由0<w£12可得：w=1,5,9；若j=-p，则m+=-1，此时w=4n+3，nÎZ，由0<w£12可得：w=3,7,11。442022年安徽省中小学教育教学论文评选当j=-p，w=11时，fx()=sin(11x-p)，当xÎæçè1836p，5pö

÷时，ø11x-pÎ44413p(36,23p)，显然fx()在此区间不单调；当 pj=4，w=9时fx()=sin(9x p+)，当184xÎæçè1836p，5pö

÷时，ø9x p+4Î(3p,3p)，符合题意，故选择B。42例5：[2014年安徽卷]若将函数fx()=sin(2x p+4)的图像向右平移j个单位，所得图像关于y轴对称，则j的最小正值是________.图6解析：fx()=sin(2x p+4)大致草图如图6所示，其中A(-p,0)，B(-3p,1)。fx()88的图像向右平移j个单位之后关于y轴对称，由图6易知j的最小正值为3p8例6：[2013年上海卷]已知函数fx()=2sin(wx)，其中常数w>0；（1）若y=fx()在[-p,2p]上单调递增，求w的取值范围；43（2）令w=2，将函数y=fx()的图像向左平移p个单位，再向上平移1个单位，6得到函数y=gx()的图像，区间[,]（,abÎR且a<b）满足：y=gx()在[,]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]中，求b-a的最小值．解析：(1)因为w>0，故fx()图像如图7所，由题意得ì-ïïíïïîpw³-pÞ0<w£3422pw£p432图752022年安徽省中小学教育教学论文评选(2)当w=2时fx()=2sin(2)故gx=2sin[2(x p+6)]1=2sin(2x p+3)1,令gx=0得x=kp-p或x=kp-7p,kÎZ，如图8所示，作y=sin(2x p+3)与直线312y=-1的图像，因为gx()的零点个数就是y=sin(2x p+3)与直线y=-1的交点个数由图22像可知gx()的零点相离间隔依次为p和2p，故若y=gx()在[,]上至少含有30个零33点，则b-a的最小值为15p-2p=43p．33图8限于篇幅限制，笔者就w、j取值或取值范围问题的高考真题就不在一一列出，从笔者所举的例子中就可以看到此类问题的考察具有时间跨度长，地域跨度广的特点。那为什么这样长的时间跨度内全国各地的高考命题专家都喜欢命制这样的问题呢？这样的问题又该如何解决呢？三、溯本求源，返璞归真 通过以上的若干例子我们不难发现，数学结合思想使得这样一类问题简单化、具体化，在解决此类问题中有“杀手锏”的作用，正如我国著名数学家华罗庚所说：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。在具体解决此类问题时不难发现有四方面的方法技巧需要注意：

1、借助于图像，注意不等式思想的应用，特别是单调区间的长度小于等于半周期长，例2、例3、例4等均用到了此技巧；

2、借助于图像，注意方程思想的应用，如正弦或余弦曲线的对称轴、对称中心等信息帮助我们建立方程，例4、例5特别是例6等均使用了此思想方法；

3、借助于图像，注意整体思想的运用，以上例题均有整体思想的涉及；4、借助于图像，注意分类讨论思想的运用，如本文例4中关于的讨论。62022年安徽省中小学教育教学论文评选笔者发现，从总体而言，数形结合这棵“常青树”能使得这样一类求w、j取值或取值范围的问题的到快速有效的解决。(A那为什么高考频繁命制此类问题呢？那是因为yAsin(x)B，,00)的图像可由ysinx经过图像的平移变换和伸缩变换得出。无论是人教版还是沪科版，无论是人教版新教材还是老教材都专门花一节介绍此知识点，它是高中阶段“最有价值”的数学知识之一。任子朝先生说：“中国的高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变”。要实现核心素养的培育,就必须要将其与知识学习结合起来,既以核心知识为载体，考察学生的核心素养。数学的直观想象是数学的六大核心素养之一，直观想象的重点就是利用图形理解和解决问题，即数形结合解决问题，这就是高考频繁命制此类问题的本源。遥想先哲两千多年前杏坛讲学，而今我辈在“数形结合”这棵“常青树”下追溯这一类三角问题本源，作为一线教师的我深感责任重大。因为核心素养的培养绝不可能一蹴而就，这要求我们在平时的教学中要注重要课本核心知识的学习和总结，要更好的引导学生进行解题的总结与反思，教师更要提炼思想方法，揭示问题的本源。正所谓“大道行思，取则行远”