23412：处理23届双变量导数模拟题的八个视角

公众号：凌晨讲数学2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）双变量导数1.构造偏差函数注：1.构造偏差函数的基本应用①.函数的极值点为；②.函数，然后证明：或.2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：①.构造一元差函数或是；②.对差函数求导，判断单调性；③.结合或，判断的符号，从而确定与的大小关系；④.由的大小关系，得到，（横线上为不等号）；⑤.结合单调性得到，进而得到.例1．（23届福建七市联考）已知函数．（1）讨论的极值点个数；（2）若有两个极值点，且，当时，证明：．解析：（1）当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点．（2）由（1）中知，则是方程的两根，不妨令，则，令解得，所以在单调递减，在单调递增，大致图像如图所示，由图像可知当时，，，下先证（*）由，两边取对数得，作差得，（*）等价于证明，令，，故在上单调递增，从而，即证得，所以，再证明，令，故在上单调递减，则，所以，再令，，则在上单调递增，故，即证得．2.整体划归，统一变量法例2（23届泉州一诊）．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在有两个极值点，求证：．解析：（1）综上所述，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.（2）在上由两个极值点，或，且为方程的两个根，即，，，，即，将，代入上式，可得：，由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.注2背景分析：若，设的两个极值点为，下面我们来计算的表达式.，则是方程的两个根（不妨设）.由，得，同理，由求根公式得：，，则，.于是本题中，，最后考虑两个极值点的范围，即，可得证.例3．（23届温州二模）已知函数．（1）若，求方程的解；（2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．解析：（1）方程的解为.（2）令，得，设，故在单调递增，在单调递减，，当时，当时，若有两个零点，则，故，，令，得，设，则，故在单调递增，在单调递减，，当时，当时，若有两个极值点，则，综上，.不妨令，因为且，由与图象得，由为的两根得，两式分别乘并整理得，所以，要证，即证，即证：，由于，所以，只需证，即证，（），令，（），当时，所以在上单调递减，所以，故，得证.3.比（差）值代换消元例4．（23届武汉二月调考）已知关于的方程有两个不相等的正实根，且.（1）求实数的取值范围；（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.解析：（2）因为，由（1）得，则，设，则，即，由有最小值，即有最小值.设，那么.记，由于，若，则，可得单调递增，此时，即单调递增，此时在没有最小值，不符合题意.若，时，，则在单调递减，时，，则在单调递增.又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.此时时，，即，此时在上单调递减；时，，即，在上单调递增.所以时，有最小值，而，即，整理得，故.由题意知.设设.设，故递增，.此时递增，有，令且，则，即在上递增，故，此时，故在递增，而知，的唯一解是.故的唯一解是，即.综上所述，.例5．（23届南通二模）已知函数．（1）若，，求实数a的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，证明：．解析：（1）实数a的取值范围是.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点.由（1）知，，，则.综上，要证，只需证，因为，设，.

所以，所以在上单调递增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.4.同构型双变量例6．已知函数和有相同的最大值.（1）求a；（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.解析：（1）；（2）由（1）知，由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，记，且，由（1）得在上单调递增，在单调递减，且，所以存在，使得，设，则，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以，是增函数，时，，，又，所以存在，使得，即此时与有两个交点，其中一个交点在内，另一个交点在内，同理与也有两个交点，其中一个交点在内，另一个交点在内，若与和共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，令，则，记与的三个交点的横坐标从左到右依次为，且满足，且，即，又，且，且在和上分别单调，所以，即，所以为的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.注3.多变量同构型零点的基本规律1.，图象如下，左端为，右端为.性质：（1）；（2）同构特性：（公众号：凌晨讲数学）（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有：（公众号：凌晨讲数学）2.，图象如下：，左端为，右端为.性质：（1）；（公众号：凌晨讲数学）（2）同构特性：（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有：（公众号：凌晨讲数学）5.切线估计与“剪刀差模型”注4.“剪刀模型”基本原理函数凸凹性：若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数.反之，称为区间上的凹函数.切线不等式：在上为凸函数，，有.反之，若为区间上的凹函数，则，有.注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3.剪刀模型已知函数为定义域上的凸函数，且图象与交于两点，其横坐标为，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与的交点将的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计.例7.（2023届皖南八校联考）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（2）若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.解析：（1）证明：由题意可得：，，可得曲线在点处的切线为.令，，当时，，当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，曲线上的点都不在直线的上方.（2）证明：由（1）可得，解得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，，曲线在点处的切线为，由（1）得，令，，，∴由零点的存在性定理知，同理可得曲线在点处的切线为，设与的交点的横坐标分别为，则，.下面证明：.，，且，.6.不等式放缩例8（2023届湖北七市州联考T22）．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若有3个零点，，，其中．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．解析：（1）当时，，，则在恒成立，所以在单调递增，故的单调递增区间为，无单调递减区间．（2）（ⅰ），，，则除1外还有两个零点，，令，当时，在恒成立，则，所以在单调递减，不满足，舍去；当时，除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点，所以，解得，当时，设的两个零点为，则，，所以．当时，，，则单调递增；当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3个零点，，．综上，实数a的取值范围为．证明：因为，所以若，则，所以．欲证，代入可得只需证明：时，，构造函数证明.（区别于标准答案的直接构造，那谁想得到，消掉参数是解题方向）当时，先证明不等式恒成立，设，则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立．由，可得，因为，所以，即，两边同除以，得，即，所以．注5.一些重要的不等式放缩7.主元法例9.（2022北京卷）已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）设，讨论函数在，上的单调性；（3）证明：对任意的，，有．解析：（1）（2）由（1）有：，，令，令，设，恒成立，故在，单调递增，又因为，故在，恒成立，故，故在，单调递增；（3）设,其中，，由（2）有在,单调递增，又因为,