正交变换的等价条件及其应用

WordWord资料TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1引言 一\o"CurrentDocument"2正交变换的定义及其等价条件 二\o"CurrentDocument"定义 二\o"CurrentDocument"等价条件 三\o"CurrentDocument"3正交变换的应用 五\o"CurrentDocument"化二次型为标准形 五\o"CurrentDocument"解不变子空间相关问题 八\o"CurrentDocument"求解矩阵问题 九\o"CurrentDocument"求解欧氏空间中其它相关问题 九在积分中的应用 十二4结束语 十三参考文献 十四致谢语 十五正交变换的等价条件及其应用数学系2013级1班许鹏指导教师：陈金梅摘要：正交变换在大学学习中是一个重要的概念例如在代数中,它涉及到了线性代数中一大部分的基本概念如矩阵、向量、线性变换、标准正交基等，深入探讨研究这个课题对学好高等代数和线性代数十分有帮助.不仅如此,它在其他的领域也有着大范围的普及如在积分的应用中，在多重积分的方面。本文首先叙述了正交变换的最基础的概念从它的定义开始探究它在代数书中的一些特点和求解过程,主要就正交变换进行探索研究得出它的几种等价条件为了体现它的重要作用,我们将做一些例证,举例说明它的价值。关键词:正交变换标准正交基;内积;正交矩阵。EquivalentConditionsofOrthogonalTransformationandTheir

ApplicationsXupengClass1,MathematicsDepartmentTutor:ChenJinMeiAbstract:Orthogonaltransformationisanimportantconceptinuniversitylearning.Forexample,inalgebra,itinvolvesabasicconceptofalargepartoflinearalgebra,suchasmatrix,vector,lineartransformation,standardorthogonalbasis,andsoon.Itisveryhelpfultolearnhigheralgebraandlinearalgebra,anditisalsopopularinotherfields,suchasinWord资料WordWord资料theapplicationofintegralpoints,inthecaseofmultiplepoints.Thispaperfirstdescribesthemostbasicconceptoforthogonaltransformation,fromitsdefinition,toexploreitscharacteristicsinthealgebraofthebookandtheprocessofsolvingthemainorthogonaltransformationtoexplorethestudy,toobtainseveralofitsequivalentconditions,Inordertoreflectitsimportantrole,wewilldosomeexamples,exemplifyitsvalue.Keywords:Orthogonaltransformation;standardorthogonalbasis;innerproduct;orthogonalmatrix.1引言我们熟知的正交变换在某些领域有着巨大作用，例如，近代数学，尤其是对科学技术。一些分析问题的出现，使得它应该对其做出数学的研究和探讨，其中代数方法有其显著意义。该方法应用一些问题之后，使其求解过程化繁为简，容易理解，易于解决。该变换在求解中时常用到，尤其在近代数学中应用广泛。在我们认识的欧几里得空间中，一提到正交变换，大家都会想到它是线性变换，特点是向量长度不变，换句话说也就是向量内积是恒定的。在几何中，它有自己独特的定义，即每个点与每个点的长度固定，当然了，它还是变换的一种。除此之外，由于内积可以采用其他的方法得出结果，比如长度和夹角，所以，正交变换的描述途径也多种多样。数字中的联系十分紧密，比如正交基与矩阵，还有二次型，正是由于它们之间不可分离的联系，才有了等价条件，甚至于在高等代数的一些方面，打下坚实的基础，为研究提供了方便。在卢联联，朱世平的论文中阐述了正交变换的定、性质及它的等价刻画。对该变换在中学数学中的应用也有简单介绍。在《正交变换的几个等价条件》中高伟探讨并详细叙述该变换的等价刻画。谢蜀忠在《正交变换的若干应用》中作以例证，对其应用进行深入的探究总结。该变换是中学数学学习过程中的一个关键结点，而代数与几何形象而紧密的联系，让学生理解更加深刻。因此，本文在众多学者对其讨论与研究的基础上，深层次的思考、探索该变换的等价条件，较为详细的介绍归纳了其在数学物理等领域的应用。2正交变换的定义及其等价条件2.1定义定义1线性变换：设V是数域尸上的线性空间。A是V上的一个变换。如果对任意的a,PeV,keP都有aQ+P）=A（a）+A（P）

A（ka）=kA（a）贝1J称上为空间'.的一个线性变换。定义2正交矩阵：如果n阶实矩阵A满足AAt=£或肌人=E则称为正交矩阵定义3标准正交基：设V为〃维欧式空间，若基是炉的一个基，如1 2n果£ 两两正交且都是单位向量，则称£ 是Y的一个标准正交基。1 2n 1 2n定义4在代数书中若一个变换每个点与每个点的长度固定则称它是正交变换。在欧氏空间中，假定欧式空间V的线性变换a为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的a,PeV，都有（Aa,AP）=（a,P）.定义5不变子空间：假定a是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的一个子空间.如果W中的向量在a下的像仍属于W中，对于W中任一向量自，有A&eW，则称W是a的不变子空间。定义6正交补：设V,V是欧式空间V的两个子空间，若满足下面的条件1 2V+V=V,V1V1 2 1 2则称V为V的正交补。2 12.2等价条件定理1口设A是n维欧式空间中的线性变换，于是下面的四个命题相互等价:A是正交变换；A保正向量的长度不发生变化，则对于awV,|Aa|=|a|；(3)若£...,£是标准正交基，则As...,As也是标准正交基；1n 1 n(4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证明如果A是正交变换，那么(Aa,Aa)=(a,a)两边开方即得|Aa|=|a|反过来，如果a保持向量的长度不变，那么(Aa,Aa)=(a,a)，(A优AB)=(B,p)，(A(a+p),A(a+p))=(a+p,a+0)把最后的等式展开即得(Aa,Aa)+2(Aa,aP)+(A0,AP)=(a,a)+2(a,p)+(p,p)再利用前两个等式，就有(Aa,aP)=(a,0)这就是说，A是正交变换.设£,£，…,£是一组标准正交基，即1 2n如果A是正交变换，那么).(As,AsiJi,J=1,2,...,n).这就是说，As,As，…,As是标准正交基.反过来，如果As,As，…,As是标1 2 n 1 2 n准正交基，那么由a=xs+xs+...+xs,11 22 nnB=ys+ys+...+ys,11 22 nnAa=xAs+xAs +...+xAs,11 2 2 nnA0=yAs+yAs+...+yAs,11 2 2 nn即得(a,0)+...+xynn=(Aa,A0)因而A是正交变换.设A在标准正交基s,s，…,s下的矩阵为A，即1 2n（As,As，…,As）=（s,s，…,s）A

1 2 n 1 2n如果As,As,...,As是标准正交基，那么a可以看作由标准正交基1 2 ns,s，…,s到As,As,...,As的过渡矩阵，因而是正交矩阵.反过来，如果A是正1 2n 1 2 n交矩阵，那么As,As,...,As就是标准正交基.1 2 n这样，我们就证明了（1），（2），（3），（4）的等价性.3正交变换的应用3.1化二次型为标准形定理2任意一个实二次型ZZaxx,a-a都可以经过正交的线性替换变

ijijj力i=1j=1成平方和入y2+入y2+...+入y2.

11 22 nn例1设二次型f(x,y,z)=2x2+2y2+3z2+2xy，试这把它转变为标准形，并写出所做的正交变换.解设此二次型的矩阵为A，则一210一A=120003计算可得|XE-A|=(九-3M九-1)，所以a的特征值为九二九=3,九=1

1 2 3当九=3时，得线性无关的特征向量a=(1,1,0),a=(0,0,1)

1 2当入=1时，得线性无关的特征向量a=(1,-1,0)3将它们单位化，得㈡

、12P2=P3=于是作正交变换于是作正交变换令T=(P,P,P)，则t为正交矩阵,1 2 3x1x2x342

1

正

0■<2102J1

;Vy7

、3,所求标准形为f(x,x,x)=3y2+3y2+y2.1 2 3 1 2 3例2用正交变换化二次型为标准型f-5x2+5x2+2x2—8xx—4xx+4xx解：二次型矩阵|XE—a|XE—a-九-5424九-5-22-2九一24入-4入-5-22-2九一26-1：4

6-1：4

九一9-4九一2二一欢.2)G-9)-8]=6-142-11九+10)=6-1)如-io)・，.入=1（二重）九=10当九二1时，解方程（E-A）X=0对（E-A）做初等变换(-4-1、-1、

021=x+—x22:x1Xx1X2X32x2x3属于特征值1的无关特征向量为a将a1,a2正交化P二a1 1当近二10时,将外P2单位化a=n=——33网f1]101V7f1]1[0Jf112I'12_122令T二31n2n)贝X=TY3正交变换在于转化二次型方面有着特殊的作用和意义比配方法要简单、准确。3.2解不变子空间相关问题例3证明:设A是欧式空间中的一个正交变换，那么A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间.证明设W是A的任意一个不变子空间，取£,...,£为卬的一组标准正交基，把它扩充成V的一组标准正交基它扩充成V的一组标准正交基£，…,£,£，…,£1mm+1 nW=L（£，…,£）,W^二（£1m ,那么m+1，…,£)n因为A为正交变换，所以As,As,...,As也是标准正交基，又由于W是A的不变1 2 n子空间，所以As,...,As是卬的一组标准正交基,而As ,...,AsgW±，任取1 m m+1 na=as+...+asgW1，那么m+1m+1 nnAa=aAs+...+aAsgW±

m+1 m+1 nn故W1是A的不变子空间.求解矩阵问题例4对于Rn的线性变换A(x)=Ax(VxgRn,AgRnXn取定).证明:若A是正交矩阵，则A是正交变换.证对任意x,yGRn，当A时正交矩阵时，有(A(x),A(y))=(Ax,Ay)=(Ax)(Ay)可见A是正交变换.求解欧氏空间中其它相关问题例5设”是欧式空间中的一单位向量，定义Aa=a-2(q*a)].证明：(1)A是正交变换，这样的正交变换成为镜面反射；⑵A是第二类的.证:(1)对欧式空间中任意元素a,P和实数修勺有A(ka+kP)TOC\o"1-5"\h\z1 2=ka+kP-2(q,ka+k°}1 2 1 2=kAa+kAP1 2所以A是线性的，又有(Aa,Ap)=Q_2(q,ab,P-2(q,端)=(a,P)-2(q,P)(],a)-2。,a)6,P)+4。,a)(I,P)(],“)因为■,n)=1,所以(Aa,AP)=Q,P),故A为正交变换.⑵由于n是单位向量，将它扩充成空间的一组标准正交基”,8,A,61 n由于an=n-2。，“方=-nA8=8-2(],8R=8ii i i于是因为|A=-1，所以A是第二类的.例6求证:欧式空间中保持内积不变的变换是正交变换证明设A是欧氏空间V的一个变换，满足(Aa,AP)=(a,P),Va,PeV只要证明:a是V的线性变换，那么由正交变换的等价条件即证.Va,PeV，有(A(a+P)-Aa-AP,A(a+P)-Aa-AP)=(A(a+P),A(a+P))-2(A(a+P),Aa)-2(A(a+P),AP)+2(Aa,AP)+(Aa,Aa)+(AP,AP)=(a+P,a+P)-2(a+P,a)-2(a+P,P)+2(a,P)+(a,a)+(P,P)=(a,a)+2(a,P)+(P,P)-2(a,a)-2(a,P)-2(a,P)-2(P,P)+2(a,P)+(a,a)+(p,0)所以A(a+0)—Aa—A0=0.即有TOC\o"1-5"\h\zA(a+0)=Aa+A0 ①同理，由(A(ka)—kAa,A(ka)—kAa)=0,可证A(ka)=kAa,VkeR,VaeV ②由①，②即证A是V的线性变化，又保持内积不变，从而A是V的正交变换.例7设“是n维欧氏空间V中一个单位向量，定义oa=a—2(q,a)q.VaeV ③1证明R是第二类(行列式等于—1)的正交变换.证先证a是V的线性变换.Va,0eV,VaeR,由③有a(a+0)=(a+0)—2(q,a+0)q1=(a—2(q,a)q)+(0—2(q,0)q)1=aa+a0.a(ka)=ka—2(q,ka)=k(a—2(q,a)q)=ka(a).1于是a是线性变换.由q是单位向量，从q出发扩大为V的一组标准正交基q,8，…,8，则由③知2naq=q—2(q,q)q=—q.a8=8—2(q,8)q=8 (i=2,3...,n)ii i i

o(q,e,...,£5)=。,e,...,eon)A

2n 2n--1 -1其中A= 为正交矩阵，故a是正交变换.1再由|A|=-1知a是第二类正交变换.3.5在积分中的应用在我们熟知的多元函数积分中在某些数学领域也有着重大的影响，它的换元法在一些计算中作用巨大，例如在积分的计算里。而换元的意义是为了把被积分的函数变得易于计算，或者是使积分这一部分变得简单、容易理解和转化，但换元具有不确定性，并对于使用者会有一定的挑战，所以在把新的积分变量带入到式子中时，我们一定要同一时间照顾到被积函数和积分区域的变化和性质例8：对于(-8,+到上连续函数f(t)有JJJf(ax+by+cz)dxdydz/f(1-u2)f(ku)dux2+y2+z2<1 -1证明：若a=b=c=0，原式=f(0)fffdxdydz=3f(0)等式显然成x2+y2+z2<1立，因此可设k中0把单位向量।a,b,c］扩充成一正交矩阵IkkkI而j而j='(x,y,z)=detA/=±1S(u,v,w)，Q变为Q/，u2+v2+w2<1(abc、一kk—kA=aaa212223aaa313233l7作正交变换v由上式得ax+by+cz=ku于是由三重积分变数替换公式得:所以JJJf所以JJJf(ax+by+cz)dxdydz=Ifff(ku)dudvdw=f1dufff(ku)dvdw=f1duf2Kdof1"u2pf(ku)dp—1 —100w2+v2<1—u2=兀f1(1一u2)f(ku)du—i4结束语本文主要介绍正交变换这个大方向下的等价条件，其中融入了许多知名学者的丰富经验与结