对数函数及其性质学案

TheponywasrevisedinJanuary2021TheponywasrevisedinJanuary2021对数函数及其性质学案《对数函数及其性质》明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3.了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照．知识回顾——复习指数函数图象及性质：y=ax0<a<1时图象a>1时图象图象性质（1）定义域，值域(，)（2）a0=，即x=0时，y=，图象都经过(，)点（3）ax=a，即x=1时，y等于底数（4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数（5）x<0时，ax>x>0时，<ax<（5）x<0时，<ax<x>0时，ax>（6）既不是奇函数，也不是偶函数要点一：对数函数的概念1．函数叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是．2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为；（2）底数为的常数；（3）对数的真数仅有．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意．要点二：对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：值域：过定点，即x=1时，y=0在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，＜0，当x≥1时，≥0当0＜x＜1时，＞0，当x≥1时，≤0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.要点三：底数对对数函数图象的影响1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而轴.(见下图)要点四：反函数1．反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的；函数的值域B正好是它的反函数的．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．典型例题典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．类型一：对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）；（2）（3）；（4）；（5）．【总结升华】类型二：对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2.求下列函数的定义域：(1)；(2).【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.(1)(2)【总结升华】举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1)y=(2).类型三：对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3.比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4)与．(5)（）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【总结升华】例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．【总结升华】举一反三：【变式1】已知则（）A． B． C． D．例5．求函数的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．【总结升华】举一反三：【变式1】求函数的值域和单调区间．类型四：函数的奇偶性例6.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.（1）（2）【总结升华】类型五：利用函数图象解不等式例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。【总结升华】举一反三：【变式1】当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．类型六：对数函数性质的综合应用例8．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；（3）的定义域为，求实数的取值范围．【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍