自考线性代数教案第一章行列式

自考线性代数教案第一章行列式第1页，共47页，2023年，2月20日，星期二试题类型：单项选择题2分×10=20分填空题2分×10=20分计算题9分×6=54分证明题6分×1=6分各部分内容试题分数的大致分布：第一章行列式13分左右第二章矩阵26分左右第三章向量空间21分左右第四章线性方程组19分左右第五章特征值与特征向量16分左右第六章实二次型5分左右第2页，共47页，2023年，2月20日，星期二昆山市科高人才技术培训中心

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预备知识一、连加号与连乘号1、连加号例如：第4页，共47页，2023年，2月20日，星期二2、双重连加号两个连加号可交换第5页，共47页，2023年，2月20日，星期二3、连乘号这说明，公因数从连乘号中提出来后要乘n次。第6页，共47页，2023年，2月20日，星期二二、充分必要条件第7页，共47页，2023年，2月20日，星期二三、数学归纳法第8页，共47页，2023年，2月20日，星期二第一章行列式行列式行列式的定义行列式按行按列展开行列式的性质与计算克拉默法则二阶行列式与三阶行列式n阶行列式行列式的性质行列式的计算知识结构第9页，共47页，2023年，2月20日，星期二1.1行列式的定义首先看一个线性方程组：如何求解？得到得到如何记忆呢？第10页，共47页，2023年，2月20日，星期二一、二阶行列式与三阶行列式1、二阶行列式定义二阶行列式等于它的左上角到右下角的两个元素的乘积减去从左下角到右上角的两个元素的乘积。前面方程的求解公式可以改写为第11页，共47页，2023年，2月20日，星期二2、三阶行列式记忆方法：用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、负号。第12页，共47页，2023年，2月20日，星期二因此，当a=0且b=0时，上式为零.第13页，共47页，2023年，2月20日，星期二二、二阶行列式与三阶行列式的关系先来观察三阶行列式的定义：说明要计算一个三阶行列式，可以拆成三个二阶行列式来计算，但是要注意在第二个二阶行列式前面的系数的前面必须取“—”号！能否推广？这就涉及到余子式和代数余子式的问题了。第14页，共47页，2023年，2月20日，星期二三、n阶行列式第15页，共47页，2023年，2月20日，星期二四、余子式、代数余子式第16页，共47页，2023年，2月20日，星期二第17页，共47页，2023年，2月20日，星期二前面的等式可改写为：可以推广为能否进一步推广呢？第18页，共47页，2023年，2月20日，星期二1.2行列式按行（列）展开

实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求它的值。或(1)(2)

根据定理可知：凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。第19页，共47页，2023年，2月20日，星期二例1：分别按第二行与第三列展开行列式解：按第二行展开按第三列展开第20页，共47页，2023年，2月20日，星期二例2、求四阶行列式的值。解：行列式的第二列及第四行中均有两个元素为零，按第二列及第四行计算要简单一些。第21页，共47页，2023年，2月20日，星期二特例：1、对角行列式例如第22页，共47页，2023年，2月20日，星期二2、上三角行列式3、下三角行列式第23页，共47页，2023年，2月20日，星期二1.3行列式的性质与计算一、行列式的性质行列式的转置：行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为如果则第24页，共47页，2023年，2月20日，星期二性质1行列式和它的转置行列式相等，即

根据性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的，凡是对“行”成立的性质，对“列”也是成立的；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是成立的。性质2第25页，共47页，2023年，2月20日，星期二第26页，共47页，2023年，2月20日，星期二例2说明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，即对于如下两个行列式第27页，共47页，2023年，2月20日，星期二推论如果行列式中某两行（列）相同，则此行列式的值等于零。性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。例如：性质5行列式可以按行（列）拆开，即第28页，共47页，2023年，2月20日，星期二例如：注意：利用性质5拆分行列式时，应当逐行逐列拆开。例如：第29页，共47页，2023年，2月20日，星期二性质6利用性质6，可以将行列式简化，从而求出行列式的值。例：证明证：第30页，共47页，2023年，2月20日，星期二定理1.3.1根据行列式的展开定理和行列式的性质，有如下结论：第31页，共47页，2023年，2月20日，星期二二、行列式的计算基本方法1、利用行列式的性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。注意：转化的过程，必须是恒等变换。2、利用性质6使原行列式中的某一行或某一列产生很多个“0”，再按这一行或这一列展开，把行列式的阶数降低，再求值。事实上在计算行列式值时，两种方法结合起来使用，能使解题更加简单。第32页，共47页，2023年，2月20日，星期二例1：计算行列式解：第33页，共47页，2023年，2月20日，星期二例2计算行列式解：第34页，共47页，2023年，2月20日，星期二例3计算行列式解：第35页，共47页，2023年，2月20日，星期二例4计算行列式解：第36页，共47页，2023年，2月20日，星期二例5计算n阶行列式（n>1)解：将行列式按第一列展开第37页，共47页，2023年，2月20日，星期二第38页，共47页，2023年，2月20日，星期二第39页，共47页，2023年，2月20日，星期二例8:范德蒙德行列式（要求掌握低阶的）第40页，共47页，2023年，2月20日，星期二例9:计算行列式解：第41页，共47页，2023年，2月20日，星期二第42页，共47页，2023年，2月20日，星期二1.4克拉默法则第一节中已知道，二元线性方程组第43页，共47页，2023年，2月20日，星期二