建筑力学讲义之平面任意力系

PAGEPAGE353、平面任意力系3．1力的投影、力对点的矩3.1.1力在坐标轴上的投影已知合力求分力公式：已知分力求合力公式：力投影的要点：力平移力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。3.1.2力对点的矩力F与距离d两者的乘积来量度力F对物体的转动效应。转动中心O称为力矩中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积。喊（舰2钳）力使物体绕研O呈点的转动方向胁。至M悔O党(趴F呢)=吼±榜通常规定：逆变为正，反之为您负。形在平面问题中跳，力矩为代数左量。壁力矩的单位：度（蝴）或宵（谱）。蹄M潮O贪(农F什)=洋±兼2洲△膊AOB破力矩在下列两首种情况下等于度零：摘（荷1慌）力等于零；跟（橡2可）力的作用线搅通过矩心，即德力臂等于零。浸3籍．园2利平面任意力系土的简化里颂为力的平移定理佣平面雕任意术力系洗：伸指各力的作用睡线位于同一平爽面内但不全汇惧交于一点，也妖不全平行的力燕系。翅力的平移定理合：作用在刚体呆上的力德F香，可以平移到且同一刚体上的帽任一点，但必农须附加一个力徒偶，其力偶矩掏等于力脑F仔对新作用点之企矩坛。宏陶平面糖任意站力系向作用面小内任一点简化谣设在物体上作谊用有平面一般闪力系钻F勤1把，猪F烫2何，托…挣，追F电n凯，如图搞3子－皱1醉（峰a声）所示。为将命这力系简化，其首先在该力系辜的作用面内任蒸选一点这o克作为萍简化中心任，根据力的平死移定理，将各领力全部平移到序o匠点（图镜3鼓－锄1臭（捎b例）），得到一棚个平面汇交力植系献F狠1瞧′遍，分F壶2停′羡，提…冤，籍F毕n珠′螺和一个附加的错平面力偶系烛。洒其中平面汇交角力系中各力的蒙大小和方向分艰别与原力系中夕对应的各力相厅同，即驶F哗1鸦′伏=黄F显1援，赵F趁2娇′粗=渣F庄2座，再…涌，劝F江n诊′矩=达F铁n果各附加的力偶贴矩分别等于原司力系中各力对婚简化中陷心侄O皆点之矩，即朵由平面汇交力飘系合成的理论姓可知，舰F纠1谈′壮，风F锄2虚′断，恼…乱，券F塞n说′碌可合成为一个扎作用乏于斥O类点的力哨R允ˊ但，并称为原力纪系的套主矢芹（图困3贱－呼1他（多c拒）），即谅R惕′练=记F港1恶′昨+绑F左2春′姨+狗…贯+陪F务n兄′麦=坛F锄1轮+详F丧2踢+碍…外+线F谷n次=抄∑疮F世i所粒土（弦3散－１）浆求主矢蛮R软′栽的大小和方向惊，可应用解析桑法。叹过渐O折点取直角坐标奥系博ox员y慌，如图用3蜜－啊1纵所示。主矢龟R轧′污在贫x虾轴钢和灿y介轴上的投影为贵R磁x布′厕=图x透1绿′距+纳x束2事′称+雁…扫+炒x扎n源′脾=痕x担1示+佩x恳2驰+奏…糟+眠x据n悬=涌∑挖X白R息y霜′锻=魔y转1坏′证+找y给2拾′转+消…宇+嗽y炭n俘′眼=歇y舟1腰+剑y笔2圈+桃…佳+烂y滴n属=宾∑熔Y裙式中恐x镜i宝′隆、怪y蹦i脖′宴和例x闭i脖、陡y某i佩分别是力瓦F捏i隶′迁和指F臣i伴在坐标工轴帮x去和茧y训轴上的投影。负由于怕F储i浴′刮和简F遥i悟大小相等、方朽向相同，所以滤它们在同一轴寇上的投影相等压。烂主矢魔R御′水的大小和方向顿为宾耀境劣（裙3穴－朋2巨）优枕违窑碎产（崖3漆－刘3搬）糟为工R化′屈与析x泡轴所夹的锐角济，肃R降′威的指向浴由梦∑械X闭和据∑休Y弃的正负号确定池。草由力偶系合成看的理论知，吸m泽1纪，厕m使2做，饿…蛾，秀m饿n鲁可合成为一个讯力偶（如图更3乏－虾1筒（睬c露）），并称为的原力系对简化肚中桐心蛇O码的主矩，即轨沃晕（插3抽－连4起）剥综上所述，得距到如下结论：匙平面一般力系洒向作用面内任疗一点简化的结雁果，是一个力哭和一个力偶。虎这个力作用在话简化中心，它兼的矢量称为原贡力系的主矢，乖并等于原力系傅中各力的矢量伍和；这个力偶殿的力偶矩称为歌原力系对简化挽中心的主矩，脑并等于原力系碎各力对简化中款心的力矩的代概数和。绪应当注意，作锅用于简化中心御的力乎R骄′膏一般并不是原棵力系的合力，害力偶矩为慌M炼O扯′等也不是原力系第的合力偶，只张有拿R超′队与呀M乐O骑′蛾两者相结合才斤与原力系等险效。舅由于主矢等于述原力系各力的拉矢量和，因此伴主矢净R处的大小和方向册与简化中心的哈位置无关。而术主矩等于原力旗系各力对简化激中心的力矩的约代数和，取不临同的点作为简荷化中心，各力漠的力臂都要发歼生变化，则各什力对简化中心荒的力矩也会改懂变，因而，主鸟矩一般随着简术化中心的位置侵不同而改变异。劳涂平面王任意窃力系简化讨的抵结果帅（仆1爱）若决R糖′销=狠0驱，慨M停O天′引≠章0播，说明原力系再与一个力偶等柄效，而这个力粮偶的力偶矩就穗是主矩。冈（龙2广）若掠R截′个≠股0细，孤M鹰O惜′债=鹊0贸，则作用于简近化中心的力牌R梨′倡就是原力系的御合力，作用线怒通过简化中心湿。迎（赵3嗓）若经R碑′资≠充0牧，泳M外O兴′耍≠未0梯，这时根据力野的平移定理的忠逆过程，可以疤进一步合成为寄合力代R作，如图迫3树－亡2奸所示。捏将力偶矩为者M晕O远′版的力偶用两个律反向平行力冠R鸭、忧R县〞稼表示，并使膜R勾′截和侮R翻〞饶等值、共线，脚使它们构成一故平衡力图吴3呼－突2桨（仍b遵），为保透持便M去O喇′扩不变，只要取遣力臂怕d脱为薪将驴R挡〞隐和盯R镰′叛这一平衡力系异去掉，这样就渡只剩下桨R荡力与原力系等蛙效（图护3洪－彼2赵（虏c暮））。合力够R扬在欠O贺点的哪一侧，娇由隶R外对电O违点的矩的转向宋应与主悉矩翁M批O絮′递的转向相一致州来确定。视（昼4康）著R恰′道=薯0雀，进M含O舅′怨=钳0殊，此时力系处多于平衡状态。伐3.3蒜合力投影定理柱、散合力矩定理炼合力投影定理晴：荷合力在任一坐京标轴上的投影魂等于各分力在僻同一坐标轴上片投影的代数和翠。滨由上面分析可椒知，当赤R写′料≠饥0趣，蔑M慰O别′普≠朵0负时，还可进一轻步简化为一合卷力考R洞，见跳图校4时－糕6卧，合力窗对抓O塔点的矩是而所以屿由于简化中拼心绒O矩是任意选取的过，故上式有普峡遍的意义。于挡是可得到平面粒力系的合力矩斥定理。瘦平面一般力系拒的合力对作用淋面内任一点之扰矩等于力系中馒各力对同一点佳之矩的代数和闲。揪例蹈3-兔1认、浮2鼠、通3虽3.锦4崇平面任意力系坏的平衡条件干宽平面锯任意菠力系的平衡条高件与平衡方程睡平面副任意项力系平衡方程引的基本形式∑FX=0∑FY=0驼∑侧M临o璃（暂F朗）润=0托奋平衡方程的其猫它形式侮1国．二力矩形式蚂的平衡方程想在力系作用面乌内任取两左点哪A椒、蓝B闸及君X痒轴，如楚图泉3偶－晕5诊所示，可以证狱明平面一般力脚系的平衡方程绞可改写成两个坟力矩方程和一颠个投影方程的醋形式，即逗液匆(夕3重－换6)项式截中兽X灰轴不扩与单A配、碗B片两点的连线垂院直子。亿证明：首先将匪平面一般力系临向吹A兄点简化，一般崭可得到烫过驻A寻点的一个力和臭一个力偶。若现成立，则力系飘只能简化为通灶过拒A胶点的合力赠R恼或成平衡状态万。如果丛又成立，说明雕R币必通房过载B合。可见合力骗R垒的作用线必附为歪A圾B粒连线。又因反成立，则厕，即合力撤R悦在份X氧轴上的投影为栏零，摘因摸A骄B混连线不垂复直夹X焦轴，合力圾R黎亦不垂直查于锹X重轴，由姓可推得风。可见满足方楚程撞（换3器－肌6壮）的平面一般膊力系，若将其华向漆A肠点简化，其主闹矩和主矢都等貌于零，从而力英系必为平衡力项系。唤2脂．三力矩形式责的平衡方程凭在力系作用面蔬内任意取三个辩不在一直线上罚的侄点隙A殃、趁B荒、得C吵，如踢图司3滥－俱6切所示，则力系阻的平衡方程可驳写为三个力矩集方程形式，即袭晓哑轿销菌（误3届－区7壤）监式中剥，芦A宇、牲B到、脱C泊三点不在同一士直线上。镜同上面讨论一衬样，若彩和环成立，则力系吨合成结果只能秀是通狱过降A艺、苍B秘两点的一个力琴（京图逝3皱－谱6办）或者平衡。栗如果藏也成立，则合遣力必然通否过园C腥点，而一个力澡不可能同时通眨过不在一直线侦上的三点，除鸣非合力为零，遍才能成立。因肤此，力系必然轿是平衡力系。肝综上所述，平哄面一般力系共秃有三种不同形伏式的平衡方程芝，即式汇（苦3稻－载5和）、式户（残3量－歌6敏）、式厨（转3怜－笼7船），在解题时束可以根据具体非情况选取某一模种形式。无论崖采用哪种形式龙，都只能写出勿三个独立的平冤衡方程，求解竹三个未知数。燥任何第四个方昆程都不是独立斧的，但可以利傲用这个方程来早校核计算的结悄果。胡【榜例蜻3泰－然7车】厨么婶某屋架如球图概3巴－辆7漏（毅a渣）所示，设左宫屋架及盖瓦共殖重军，右屋架受到能风力及荷载作纽用，其合力谨，勒与奋B嫁C虾夹角为醋，试悬求寿A众、麻B获支座的反力。裁【拔解农】初统取整个屋架为宫研究对象，画堤其受力图，并韵选取坐标心轴网X葬轴巷和勺Y歼轴，如渡图旅3形－神7翼（润b叶）所示，列出挺三个平衡方程火做坛校核那说明计算无误沸。士【闷例你3痰－踏8钱】滩怕月梁砖A汇C拘用三根支座链般杆连接，受一爆力遗作用，如图洲3毙－龄8巷（握a刷）所示。不计雨梁及链杆的自海重，试求每根嗽支座链杆的反酸力。肉【陈解仰】驳扯取雹A展C匪梁为研究对象淹，画其受力图材，如图即3池－匙8寸（厅b冤）所示。列平根衡方程时，为慕避免解联立方欲程组，最好所门列的方程中只夸有一个未知力漆，因此，取滴和输的交剧点达O盒１拿为矩心列平衡方程风取践与卧的交秆点害O五2还为矩心列平衡铺方程取校核奸玩晒说明计算无误脖。眠敌蒸平面任意力系想的特殊形式朋（所1跪）平面汇交力安系劳对于平面汇交择力系，可取力折系的汇交点作我为坐标的原点聋，图欺3苹－棚9浆(a啄)呢所示，因各力蜘的作用线均通搬过坐标原点踢o贯，各力对室o车点的矩必为零顾，即恒有博。因此，只剩谨下两个投影方源程辫即为平面汇交昏力系的平衡方瞒程。锤（桨2捐）平面力偶系膛平面力偶系如马图慨3狐－导9裤(b障)羡所示，因构成胸力偶的两个力织在任何轴竖上的投影必为滚零，则恒有针和歌，只剩下第三椅个力矩方程，经但因为力偶对元某点的矩等于肚力偶矩，则力办矩方程可改写距为烂即平面力偶系旧的平衡方程。害（熄3溪）平面平行力愤系居平面平行力系胁是指其各力作途用线在同一平余面上并相互平妙行的力系，如线图洪3袋－锻9鼻（Ｃ）所示，滔选格O煎Y象轴与力系中的家各力平行，则底各力王在棋X饼轴上的投影恒趣为零，则平衡休方程只剩下两勾个独立的方程季扭庆黑谊娃（帆3灌－隐8股）勒若采用二力矩胀式纱（颈4猛－联6失），可得邮印誓选敌播（亦3企－杏9波）揪式胶中肚A驳、桨B洒两点的连线不鸟与各力作用线诱平行。脱平面平行力系战只有两个独立逢的平衡方程，奖只能求解两个汤未知量。怀【粱例绪3堵－底9岛】脆纽剑图骡3心－睛1扣0燥所示为塔式起包重机。已知轨叙距葡，机身重商，其作用线到菠右轨的距离帅，起重机平衡秀重居，其作用线到柏左轨的距离否，荷载胜P吊的作用线到右赴轨的距离呆，抛（饲1塘）试证明空载借时（斤时）起重机时护否会向左倾倒墨？那（则2筐）求出起重机抄不向右倾倒的陵最大荷载费P摊。结【旨解市】慰丛以起重机为研益究对象，作用少于起重机上的思力有主动糖力盼G晃、妙P凡、变Q乞及约束力什和其，它们组成一肢个平行力系（丹图遭3敬－模1订0垃）。全使起重机不向借左倒的条件是叠，当空载时，像取摔，列平衡方程善所以起重机不惨会向左倾倒膏使起重机不向百右倾倒的条件贺是蚁，列平衡方程欲使，则需镇当荷载董时，起重机是无稳定的。宵移南解题一般步骤献及注意点粉⑴酿评传选取研究对象甜。根据题意选她取与已知力和腐未知力有关的诸物体作为研究榆对象，并画出申简图。杂⑵药受力分析，榴画出受力图。产