2023年吉林高考考前模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知直线/:"-y-3k+l=0与椭圆£：三+白=/。〉/,〉。）交于A、B两点，与圆g：（X—3）2+（y—1）2=1

交于C、。两点.若存在左使得恁=丽，则椭圆G的离心率的取值范围为（）

A.B•卓1）C（0净口•母」）

2.已知A（4，）'A）是圆心为坐标原点。，半径为1的圆上的任意一点，将射线。4绕点。逆时针旋转斗到08交圆

于点8（/,力），贝的最大值为（）

A.3B.2C.eD.75

3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径

为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=；（S上+Js上S下+S下）•〃）.

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

4.在三棱锥S—ABC中，SB=S4=AB=BC=AC=4,SC=2后，则三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）

40%,80%404807r

B.------

亍3~9~

5.已知集合人=国|x>0},B={x|x2~x+b=0},若Ac5={3},贝（］。=（）

A.-6B.6C.5D.-5

6.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他

证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如&sin法的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是

基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=0.06sinl8000（k构成乐音的是（）

A.y-0.02sin360000,B.y=0.03sin180000rc.y=0.02sin181800r

D.y=0.05sin540000，

7.已知平面a和直线a,b,则下列命题正确的是（）

A.若a〃b,b//a,则a〃aB.若;bVa,则a〃a

C.若a〃。，bYa,则“_1_。D.若aJ_b，b"a，则

8.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（)

A.5>1B.5>2C.S>lg99D.S>lg98

9.若函数,V=2s山（2x+e）（|同＜引的图象经过点修,0则函数/（x）=s加（2x-0）+cos（2x-°）图象的一条

对称轴的方程可以为（）

7137乃\7兀13)

A.X----B.x—C.x—D.x—

24242424

一3,(兀71］的部分图象如图所示，则（砺+砺）•丽=（）

10.函数y=tan|—x——

142

A.6B.5C.4D.3

11.已知函数/（%）=sin3x+a），其中啰＞0,6e（0,3其图象关于直线x对称，对满足|/（王）一/«）|=2

的士,x2,有|玉-々1汨=1,将函数/(X)的图象向左平移弓个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单

调递减区间是()

A.k7i-%,k兀+%(Z:eZ)B.左左，后万+]•(ZeZ)

.71.51,7t.71

K7t-\——，左乃d-----（丘z）K7r-\------,K7r-\--------伏eZ）

361212

x-\

12.已知,*“)=e-_匚是定义在R上的奇函数，则不等式/(x・3)勺(9.2)的解集为()

/+Q

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,b均为正数，且4+8=1,£11一1的最小值为.

2ab

14.命题“会<0,Y-2x-l>0”的否定是.

15.角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(1,2),则s加(…)的值是

16.在△ABC中，a=3,b=2«，B=2A,则cosA=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=ln——«^2+x(a>0).

2x

(1)讨论函数Ax)的极值点的个数；

(2)若大x)有两个极值点玉,X2,证明」।「->]一访2.

18.(12分)如图1,四边形A3CD是边长为2的菱形，ZS4D=60°,E为CD的中点，以5E为折痕将43CE折起

到AP6E的位置，使得平面尸6E_L平面A8CD,如图2.

(1)证明：平面P43,平面PBE；

(2)求点。到平面Q43的距离.

19.(12分)等差数列｛4｝中，4=1,4=2%.

(1)求｛《,｝的通项公式;

（2）设2=2%,记S”为数列也｝前"项的和，若S,“=62,求

20.（12分）已知函数/（x）=|x+l|-|x+a|.

（1）若。=一1,求不等式/（x）…一1的解集；

（2）若“X/xeR,〃x）<|2a+l|"为假命题，求。的取值范围.

21.（12分）己知等差数列｛4｝的公差dwO,4=25,且％,%,%成等比数列.

（1）求使不等式420成立的最大自然数〃；

1］1312

（2）记数列-----的前"项和为，，求证：一丁。4「

4%+iJ2525

22.（10分）某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A8两种，且这两种的个

体数量大致相等，记A种蜻蜓和3种蜻蜓的翼长（单位：〃?〃?）分别为随机变量X,y,其中X服从正态分布N（45,25）,

y服从正态分布N（55,25）.

（I）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间［45,55］的概率；

（H）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布'（40：）来近似描述Z的分布，请你根据（I）中的结果,

求参数〃o和。。的值（精确到0.D;

（山）在（II）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间［42.2,57.8］的个数为卬，求W的

分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.

注:若X~N1出吟,贝！JP（〃-0.64b4X4〃+0.64cr）Q0.4773,P（//-cr<X<//+cr）»0.6827,

P（〃-X<〃+2b）k0.9546.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A5坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率攵与A3坐标的关系，由

此化简并求解出离心率的取值范围.

【详解】

设Aa，y）,6（w，%），且线/：依一丁一3%+1=0过定点（3,1）即为G的圆心,

x+x=x+x=2x3=6

因为^月，所以，}2cD

,+>2=汽+%=2x1=2

又因为仁%士:‘所以），

所以匕春，所以『豹一刊,

x}-x2a

所以JwH'所以4:E'所以(1一/)£

aL33Ja|_33」'7\_33

山|、］下）在

所以ee-.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而

不求”的目的，大大简化运算.

2.C

【解析】

24

设射线。4与x轴正向所成的角为£，由三角函数的定义得以=sina,yB=sin（«+y）,

2yA+%=-sina+^cosa，利用辅助角公式计算即可.

22

【详解】

设射线0A与x轴正向所成的角为a，由已知，4=cosa,〉A=sina,

/2万、•/27r、27r

xB=cos(a+—yB=sm(a+—),所以2y.+>B=2sina+sin(6z+—)

」且。且。

2sinasina+sa=%na+sa=V3sin(a+—)<5/3,

22226

jr

当a=§时，取得等号.

故选：c.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.

3.B

【解析】

试题分析：根据题意可得平地降雨量gx9x（102%+J*x62»+62〃）故选B.

=-----------高-----------=3

考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.

4.B

【解析】

取A3的中点。，连接S。、CD,推导出NSOC=9（X，设设球心为。，AABC和ASAB的中心分别为£、F,

可得出平面ABC,。尸，平面&3,利用勾股定理计算出球。的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.

【详解】

取AB的中点O,连接S。、CD,

由八%8和AABC都是正三角形，得SO_LAB,CD1AB,则SO=CD=4xY2=2百，则

2

SD2+CD2=（2XA）?+（2^）2=（276）2=SC2,由勾股定理的逆定理，得/SOC=9（T.

设球心为0,AABC和ASAB的中心分别为£、F.

由球的性质可知：QEJ_平面ABC,0尸，平面SAB,

又0E=DF=0E=0F=4x叵义＞二士叵，由勾股定理得0D=y/OE2+DE2=皂5

2333

所以外接球半径为R=yJOD2+BD2

373

/I—、2

所以外接球的表面积为S=4»R2=4%迎=—.

I3）3

故选：B.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

5.A

【解析】

由AcB={3},得3eB,代入集合B即可得b.

【详解】

•.■AnB={3},,-.3G5,:.9-3+h^0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

6.C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得力=*5WN"）,利用/=工=，可得囚=〃叱（〃eN*）,即可判断选项.

T2%

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/=1=R，可知若工=初（〃eN*）,则必有例=〃处（〃eN*）,

T2万

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

7.C

【解析】

根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.

【详解】

A：当aua时，也可以满足a〃。，b//a,故本命题不正确；

B：当aua时，也可以满足bVa,故本命题不正确;

C：根据平行线的性质可知：当。〃8，bVa,时，能得到故本命题是正确的;

D：当aua时，也可以满足b//a,故本命题不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.

8.C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg-=lg3;

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

第九十九次，i=99,S=lg99+lg詈=lgl00=2,

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

9.B

【解析】

由点求得。的值，化简/（X）解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得/（X）的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

由题可知2s山（2*3+夕］=（）,刨<g.e=_£

）.兀兀

所以/(力sin]2x+—+cos2x+?=V2sin2x-\-----1——=yjlsin2x+—

I6J64【12

令2x+—=—+k兀,keZ,

122

xg7ikji.—

得x=-----1-------、kGZ

242

..〜337万

令攵=3,得兀=----

24

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

10.A

【解析】

根据正切函数的图象求出A、8两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

/4JI

由图象得，令y=tan—x--=0,即一x----=kn,k&Z

[4242

A=0时解得x=2,

.，（万万、nr,万口7t

4-y=tan—x——|=1,即一》——=一解得

（42）424x=3,

.•.4(2,0),5(3,1),

.•.砺=(2,0),砺=(3,1),通=(1,1),

.•.(厉+网•通=(5,1>(1,1)=5+I=6.

故选：A.

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

11.B

【解析】

根据已知得到函数/(X)两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得力的值，结合其对称轴，求得。的值，进而求得

“X)解析式.根据图像变换的知识求得g(x)的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得g(x)的单调递减区

间.

【详解】

解：已知函数/(x)=sin(5+e),其中口〉0,0£(呜)’其图像关于直线x=?对称，

对满足|/(玉)_/(%2)|=2的X],X2,有ki—/Lin=，'啰=2.

TTTTTT

再根据其图像关于直线x=±对称，可得2x丁+6=%%+1，ZeZ.

662

,6=7，/(x)=sin(2x+2).

将函数.f(x)的图像向左平移y个单位长度得到函数g(x)=sin[2尤+£+g]=cos2x的图像.

6I36J

JI

令2人"42%<2女"+万，求得<攵〃+一,

2

7t

则函数g(x)的单调递减区间是k7r,k7T+-,kwZ,

故选B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中

档题.

12.C

【解析】

由奇函数的性质可得4=1,进而可知/(x)在R上为增函数，转化条件得x-3<9-f,解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为/G)=是定义在K上的奇函数，所以〃1)+/(T)=O，

1-1

P—\—\9

即——+T—=0,解得4=1,即/(x)=—i=l--—,

e+al+a''e'+le'+l

e

易知/(x)在R上为增函数.

又〃九一3)</(9-d),所以x_3<9—f,解得T<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.72

【解析】

本题首先可以根据a+8=1将史士-1化简为7+—>然后根据基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【详解】

因为Q+Z?=l,

―/+11/+（。+。）21ab.[a~b~大

2ab2ahh2a\b2a

Z7b

当且仅当丁=丁，即a=0—1、b=2-夜时取等号，

b2a

故答案为：0.

【点睛】

本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为a+。？2J茄（a。力>0）,在使用基本不等式的时候要注意“=”

成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.

14.Vx<0,X2-2X-1<0

【解析】

根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.

【详解】

解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题lv<0,x2-2x-l>0,

则该命题的否定是：Vx<0,X2-2X-1<0

故答案为：Vx<0,X2-2X-1<0.

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题.

15.述

5

【解析】

计算Sina=y=拽，再利用诱导公式计算得到答案.

r5

【详解】

由题意可得x=Ly=2,r=非，sina=—=,/.sin(.n-a)=sina=.

r55

故答案为：拽

5

【点睛】

本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.

V6

lfio.--

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.

【详解】

==

解：a3fb-2-\/6,B2Af

a_b_b

，由正弦定理可得:

sinAsinB2sinAcosA

.…八亚』

2a2x33

故答案为逅.

3

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)求得函数“X)的定义域和导函数/'(x),对。分成a=0,aN),0<a<：三种情况进行分类讨论，判断出/(%)

88

的极值点个数.

]/(X,)+/(X,)a1

(2)由(1)知ae(0,-),结合韦达定理求得不々的关系式，由此化简为~小一的表达式为2alnt+-+2a,

8X+%222

a13)+/(%)3..

通过构造函数法，结合导数证得2aln土+L+2a>'—ln2,由此证得‘"八一>:一殖2成立.

224%+94

【详解】

(1)函数f(%)=In———ax?+x=-In2*-双2+x的定义域为xe(0,+oo)

2x

得/(x)=-2ax+1=2ax+'--,xG(0,4-oo),

xx

(i)当q=0时；f(x)=-~~-,

x

因为X£(0,l)时，/'(x)<o,X£(l,+8)时，f(x)>0,

所以X=1是函数/(X)的一个极小值点；

(«)若a〉0时，

若A=l-8aW0,即aN」时，f'(x)<Q,

8

/(x)在(0,+8)是减函数，无极值点.

若A=l—8a>0,即0<4<1时，

8

f(x)=2ax2-x+1=0有两根X]%]+x=—>0,xx=—>0,

-22at2-2a

%>0,x2>0不妨设0<%<々

当X€(0,X])和X€*2，+°°)时，f\x)<0,

当时，/'(x)>o,

・••西,公是函数/(x)的两个极值点，

综上所述a=0时，/(X)仅有一个极值点；

a之。时，f(x)无极值点；0<。<：时，.f(x)有两个极值点.

OO

(2)由(1)知，当且仅当aw(0,：)时，Ax)有极小值点%和极大值点超,且％,々是方程2以2-1+1=0的两

O

根，

11e

.,.%)+%2=—,xx=—,贝！J

2a(22a

/(再)+/(々)“1.12、c、

所以----------=——(In--------cix^2+玉4~In--------CLX2+)•(2Q)

玉+々2%j2X2

=[-(In2x,+In2%2)-a(尤:+x；)+(%+/)]・2a

2

=[-ln(4xIx2)-6f(x1+x；)++x2)]-2a

一2z1111小

=[-In—Q(------)H------J,2a

a46ra2a

-Cl1y1.__.6?1.

=(zIn---------Fid----)•2。=2。In—H----F2。

24a2a22

设g(。)=2aln@+，+2。,贝!jg(a)=21n@+4,又。£(0-)，即。

2228216

所以.(0)=214+4<21J+4=-41n4+4<0

216

113

所以g(a)是(0,-)上的单调减函数，g(a)>g(-)=:-In2

884

/(%.)+/(x)3._

・•・/(x)有两个极值点内，%,则j9

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与

转化的数学思想方法，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)B

2

【解析】

(1)由题意可证得PELAB，AB±BE,所以AB,平面PBE,则平面平面P3E可证；

(2)解法一：利用等体积法由%一仞8=%-猫8可求出点。到平面Q钻的距离；解法二：由条件知点。到平面R钻的

距离等于点E到平面E钻的距离，过点E作P3的垂线，垂足尸，证明斯，平面2钻，计算出所即可.

【详解】

解法一：(1)依题意知，因为CEL8E,所以PE上BE.

又平面平面ABC。，平面PBEc平面A8CD=BE,PEu平面PBE,

所以PEL平面A8CO.

又ABi平面ABC。，

所以PE_LA3.

由已知，ABCD是等边三角形，且E为C。的中点，所以BELCD.

因为AB//CD,所以AB,8E.

又PEcBE=E,所以平面P3E.

又ABi平面Q45,所以平面R48,平面P3E.

p

（2）在A8£>中，AB=AD=2,440=60。，所以％加=6.

由（1）知，PEJ_平面43£>,且PE=1，

所以三棱锥P—45。的体积V=」xgxl=且.

33

在RfAPBE中,PE=LBE=日得PB=2,

由（1）知，ABL平面P8E,所以

所以%肝=2，

设点。到平面Q46的距离4，

则三棱锥E—P4B的体积V'='x2xd=@,得［=立.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因为DE//AB,ABI平面Q4B,。£二平面Q4B,

所以DE〃平面Q46.

所以点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

过点E作月？的垂线，垂足/，即EFLPB.

由（1）知，平面B4B_L平面P3E,平面加8c平面EFu平面PBE,

所以所，平面B46,即所为点。到平面4钻的距离.

由（1）知，PELBE,

在RrAPBE中，PE=1，BE=4?>.得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=也.

2

所以点。到平面的距离为也.

2

【点睛】

本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点

到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.

19.(1)an=〃(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差△后可得通项公式；

(2)由等差数列前〃项和公式求得S“，可求得〃?.

【详解】

解：(1)设｛a,,｝的公差为4,由题设得

an=1+-l)d

因为4=2%，

所以1+(6-l)d=2口+(3-1)”]

解得d=l,

故a“=n.

(2)由(1)得，=2".

所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以S.=£—=2"+I_2,

由£=62得2，用_2=62,

解得m-5.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前〃项和公式，解题方法是基本量法.

20.(1)一；，+°0]

(2)[-2,0]

【解析】

(D)当a=T时，将函数/(x)写成分段函数，即可求得不等式的解集.

(2)根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“HxwR,/(x).12a+l卜为真命题，只需满足

〃力皿.」2。+1|即可.

【详解】

—2,x<—1,

解：(1)当a=-l时，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

由1,得.

「1、

故不等式/(X)…—1的解集为-弓，+8.

(2)因为“VxeR,/(x)<|2a+l|"为假命题，

所以“HxeR,/(x)..|2a+l卜为真命题，

所以/(力“」2。+11・

因为J(x)=|x+l|-|x+a|”|(x+l)—(％+a)Ha—II，

所以/(x),皿=1。一1|，则|。一1|…|2a+l|,所以(a—l)2..(2a+l『，

即/+2。40,解得一2领b0,即。的取值范围为[—2,0].

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.

21.(1)〃=13;(2)证明见解析

【解析】

(D根据为,如，心成等比数列，有*=。「如，结合公差dHO,4=25,求得通项，再解不等式a,,20.

111(11、

(2)根据(1)——=1—一