2023年山东省阳谷县高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线/—21=1的渐近线方程为()

2

B.y=±xC.y=±y/2xD.y=±y/3x

2.已知椭圆C:=•+与=1的短轴长为2,焦距为26，耳、凡分别是椭圆的左、右焦点，若点P为。上的任意一点,

a"b~

11

则西+际的取值范围为()

A.[1,2]B.[五,6]C.[V2,4]D.[1,4]

3.已知函数“X)在R上都存在导函数7'(x),对于任意的实数都有茉3=62*,当x<0时，/(x)+r(x)>0,

若e“fQa+1)>f(a+1),则实数a的取值范围是()

21「2一

A.0,-B.一不°C.[0,4-oo)D.(-co,01

4.设i为虚数单位，复数z=(a+i)(l-则实数。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

5.抛物线方程为丁=4%,一直线与抛物线交于48两点，其弦A3的中点坐标为(L1),则直线的方程为()

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x-y+l=0D.-2x-y-1=0

6.设等差数列｛%｝的前"项和为S“，若4=2,4+%=5,则$6=()

A.10B.9C.8D.7

7.己知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,准线为l,氤M,N分别在抛物线。上，且MF+3NF=。，直线MN

交/于点P,NN'±l,垂足为N',若AMNP的面积为246，则/到/的距离为()

A.12B.10C.8D.6

8.要得到函数y=sin(2x+(1的图象，只需将函数y=sin2x的图象()

A.向右平移?个单位B.向右平移1个单位

o3

C.向左平移g个单位D.向左平移?个单位

36

9.集合A={X|X2-3X<。},B={x[y=lg(2-x)},则Ac6=()

A.{x|0<x<2}B.{x|lWx<3}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<2]

10.函数〃X)=XCOS2N的图象可能为(

11.若不等式aln(x+l)-》3+2%2>()在区间(o,+8)内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是()

A，|_21n2'启B.121n2,启J

(9321(9

C.-------,——D.-------,+oo

121n2ln5j121n2

12.已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为旦,区,员…,乩,”eN*.记白为集合B,中的最大元素,

则々+。2+&+・.・+勿=()

A.45B.105C.150D.210

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4={1,4},6={a—5,7}.若Ac3={4},则实数a的值是.

14.等腰直角三角形ABC内有一点P,/%=1,PB=&PC=2,ZA=90%则AABC面积为.

15.如果复数二满足i-z=l+i,那么忖=（i为虚数单位）.

xV

16.已知正实数X,）'满足尤y=l,贝！J（-+y）（上+x）的最小值为____.

yx

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为。=1-sin。（0«6<2肛。>0）,

M为该曲线上的任意一点.

（2）将射线OM绕原点。逆时针旋转/与该曲线相交于点N,求的最大值.

18.（12分）已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列5eN*）,4=2,且2%,%，3%成等差数列.

（I）求数列伍“｝的通项公式；

（II）设勿=log,a“，S,,为数列｛4｝的前〃项和，记]=[+=+[+……+],证明：t,T„<2.

19.（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若其l/^sinA=〃+c?-

3

（I）求角A；

（II）若c=5,cosB=~,求。.

7

20.（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖

活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，V表示第X

天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

X1234567

y58810141517

(i)经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于*的线

性回归方程$=+4；

(2)该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则

没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖’'的概率为1，获得“二等奖”的概率为2.现有张、王两位先生参与了本

次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X的分布列及数学期望.

〃__

、〃石.77,

参考公式：b=R----------,a=y-bx,。/=364,=140.

十2-2/=1i=\

2^xi-nx

/=i

21.(12分)已知函数/(x)=j3x+6,g(x)=J14-X,若存在实数x使/(x)+g(x)＞。成立，求实数〃的取值范

围.

,、1x=J^COS。

22.(10分)过点P(-l,0)作倾斜角为a的直线与曲线C：＜广(。为参数)相交于M、N两点.

y=v2sin0

(1)写出曲线C的一般方程；

(2)求的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

•••双曲线f-21=1,

2

二双曲线的渐近线方程为y=土6x,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

2.D

【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到|P£|+|Pg|=4,利用二次函数的性质可求闫P3<4,从而可得

11

网+网的取值范围.

【详解】

2

由题设有b=l,c=JL故。=2,故椭圆C:土+尸=1,

4.

因为点尸为C上的任意一点，故|P用+|「周=4.

1।1=|P4|+|%|4一4

附|\PF2\\PF{\\PF2\电忸闾附|(4一附『

因为2_64处用〈2+6，故14|P娟(4-怛用)W4,

所以1"4阿1----F附+1----|-744,

故选：D.

【点睛】

22

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆。：0+£=1(">人>0)的左、右焦点分别是耳、F2,点尸为C上的

任意一点，则有|产用+归入|=2。，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.

3.B

【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【详解】

令g(x)=e"(x),则当尤<0时，g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,

又g(-x)=e-xf\-x)=e"(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

从而e"f(2a+l)>/(a+l)等价于e2a+,f(2a+1)>ea+,f(a+1),g(2a+i)>g(a+l),

2

因此g(-12a+11)>g(-1a+11),-12a+11>—|tz+11,3ci~+2a<0—4aW0.选B.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

4.A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得。的值.

【详解】

复数z=(a+i)(l-

由复数乘法运算化简可得z=a+l+(l-a)z,

所以由复数定义可知1—a=0,

解得a-\,

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

5.A

【解析】

设A(x”y),8(/,必)，利用点差法得到表资=g=2,所以直线AB的斜率为2,又过点(1,1),再利用点斜式

即可得到直线AB的方程.

【详解】

解：设4(%,凹),3(W,％)，•,.%+%=2,

又”,='，两式相减得：寸一货=4(天-w),

%=4X2

+(乂-%)=4(西-%2)，

)=2

x}-x22

，直线A3的斜率为2,又，过点(1/)，

，直线A5的方程为：y-l=2(x-l),即2x-y-l=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可

把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.

6.B

【解析】

根据题意外=4+2d=2,q+%=2q+3d=5,解得％=4,d=-\,得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,%+%=2q+3d=5,解得卬=4,d=-\,故§6=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

7.D

【解析】

作垂足为AT,过点N作NGLW,垂足为G,设|N/|=m（加＞0）,贝！卜3加，结合图形可

得|MG卜2m，|A7N|=4，〃，从而可求出NMWG=60°,进而可求得|次|=6帆，|"外=6m，由AMN'P的面

积S4MNT=Y\MM'\-\N'P\=246即可求出〃？，再结合F为线段MP的中点，即可求出F到I的距离•

【详解】

如图所示，

作垂足为“，设|版|=砥m>0),由而+3标=0，#|MF\=3m,则=3帆，|MV[=〃].

过点N作垂足为G,则=|MG|=2〃z,

所以在&AMZVG中，|MG|=2m,\MN\^4m,所以cosNGMN=黑黑=1,

所以NNMG=60°,在用APW中，|MM'l=3/〃，所以=-=6m,

11cos60

所以|NP|=2m，|N'P|=®2,

zf

所以S^MN，P=1-|MM|-17VP|=1.3m•=24>/3.解得m=4,

因为|FP\=\FN\+\NP\=3m=\FM\,所以尸为线段“尸的中点，

”,、，一，辽”-、，IMM'I3m.

所以/到/的距离为p----=—=6.

故选：D

【点睛】

本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题.

8.D

【解析】

直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；

【详解】

解：函数y=sin2x+?)=sin2(x+^],

二要得到函数.y=sin(2x+?)的图象，

只需将函数y=Sin2x的图象向左平移B个单位.

6

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题.

9.A

【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.

【详解】

由公一3%40可得0WxW3,所以A={x|04x<3},由2-x>0可得x<2,所以B={x|x<2},所以

Ac5={X04尤＜2},故选A.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.

10.C

【解析】

先根据/(%)是奇函数，排除A,B,再取特殊值验证求解.

【详解】

因为/'(-x)=—xcos2M=-xcos2'^=-f(x),

所以是奇函数，故排除A,B,

又/⑴=cos2<0,

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

11.C

【解析】

由题可知，设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3_2/,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调性，根据

«ln(x+l)-x3+>0在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，转化为f(x)>g(x)在区间(0,+00)内的解集

中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值范围.

【详解】

设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因为g'(x)=3j?-4x,

所以g'(x)=0,

-4

..x=0或x——9

3

4

因为时，g'(x)<0,

4

或x<0时，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,其图象如下：

当60时，/(X)>g(X)至多一个整数根;

/(3)>g(3)

当。>0时，/(x)>g(x)在(0,+8)内的解集中仅有三个整数，只需

,/(4)„g(4)

«ln4>33-2x32

"aln5„43-2X42'

932

所以-------<------•

21n2In5

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

12.B

【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.

【详解】

集合”含有3个元素的子集共有废=20,所以％=20.

在集合片(i=l,2,3,…,女)中：

最大元素为3的集合有个;

最大元素为4的集合有仁=3；

最大元素为5的集合有C：=6；

最大元素为6的集合有C；=10；

所以4+%+&+4+4=3xl+4x3+5x6+6xl0=105.

故选：B.

【点睛】

此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.9

【解析】

根据集合交集的定义即得.

【详解】

••・集合A={1,4},B={a-5,7},AnB={4},

a-5=4,则a的值是9.

故答案为：9

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

5

14.

2

【解析】

利用余弦定理计算cosNPA8,cos(90°-NPA8),然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.

【详解】

设AB=AC=x

由题可知：

PA2+AB2-PB2

cosZPAB=

2PAAB

zoZ\PA~+AC'—PC'.„

cos19o0n-NPDABD=-----------------=smNPAB

{72PAAC

由sin2NPAB+cos2NPAB=b

PA^l,PB=6,PC=2

F+Y-22T

----------=1

2x

化简可得：X4-6X2+5=0

则=5或*2=],即X=6或X=1

由A3>Q4,所以x=J5

所以必：

故答案为：一

2

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.

15.V2

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.

【详解】

'：i-z=i+i,

••z-丁

|z|=V2,

故答案为：72.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.

16.4

【解析】

由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】

/\z\2233

~+y-+X=1+工+匕+孙=2+'+•'=2+V+y322+2&3y3=4.

㈠八k1yx初

当且仅当x=y=i时等号成立.

X

据此可知:q+x的最小值为4.

【点睛】

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数

的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/3q兀、，3]\JLA

17.（1）点M的极坐标为匕,管或匕（2）V2+1

【解析】

（1）令2=1—sine,由此求得。的值，进而求得点M的极坐标.

2

（2）设出M,N两点的极坐标，利用勾股定理求得|MV|的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】

（1）设点M在极坐标系中的坐标[日,

31

由夕=1-sin，，得一=1一sin。，sin6=——

22

八77T八1\TC

：.6=——或。=——,

66

所以点M的极坐标为或工）

（2）由题意可设〃（外。），%（々弓+8

由夕二1-sin。，得自=1-sin。,p2=l-sin|/+e)=l-cos6.

\MN\=y/p；+=^(1-sin^)24-(1-cos/9)2

=J3-2(sin6+cos6)

=『一2瓜in[e+?

57r

故。=亍时，I跖v|的最大值为近+1.

【点睛】

本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.

18.(I)4=2",nwN*；(II)见解析

【解析】

(I)由q=2,且2%,4,34成等差数列，可求得g,从而可得本题答案；

(II)化简求得"，然后求得』再用裂项相消法求T,，即可得到本题答案.

【详解】

(I)因为数列｛q｝是各项均为正数的等比数列(〃eN*),q=2,可设公比为g,q>0,

又2%,%,3&成等差数列，

所以2q=冽+3%,即2x2q2=4+3x2q,

解得4=2或q=(舍去)，则4,=4/1=2",〃6”:

(II)证明：2=log2an=log22"=n,

112J111

S“=­+—=~；-=2-----------,

2Sn+n+\)

+=21+

贝!IZ,=•+/+[+……^-(-1T-1+-+-一一^)=2(1—一—),

5、S2s3Sn223nn+\n+l

因为0<」一4L,所以1K2(1-一]]<2

n+\2In+1J

即147；<2.

【点睛】

本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明

能力.

7t

19.(I)A=—(II)8

3

【解析】

(I)由余弦定理可得a2=02+c2—»ccosA,即可求出A,

(II)根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.

【详解】

(I)由余弦定理“2=82+。2-2Z>ccosA,

所以〃+c?—a2=2机•cosA,

所以士Gx^bcsinA=20ccosA,

32

即tanA二百，

因为0<A<〃，

71

所以A二一；

3

(D)因为cos3=工，所以sin8=上叵，

77

因为sinC=sin(A+3),

=sinAcosB+cosAsinB

_£j_4>/3_5>/3

hcC

由正弦定理得i-=-^—,所以。=1J-sin8=8.

smBsinCsinC

【点睛】

本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.

20.(1)g=2x+3；(2)见解析

【解析】

试题分析:

(I)由题意可得亍=4,歹=11,则g=2，4=3,>关于％的线性回归方程为g=2x+3.

(ID由题意可知二人所获购物券总金额X的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为:

尸(X=0)=4，P(X=300)=：,尸(X=600)=盘，尸(X=900)=j据此可得分布列，计算相应的数学期

431836

望为七X=400元.

试题解析：

(I)依题意：元=3(1+2+3+4+5+6+7)=4,

177

y=-(5+8+8+10+14+15+17)=11,»；=140,>/.=364,

7i=if=i

6_Z；/y-7._364-7x4x11

4一位=11—2x4=3,

?=£子=140-7x16

则)'关于x的线性回归方程为£=2x+3.

(ID二人所获购物券总金额X的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为:

p（X=0）=|xi=l,P（X=300）=2x|x1=l,P（X=600）

P（X=900）=2X』XLLp（X=1200）」x』J.

,）369v76636

所以，总金额X的分布列如下表：

X03006009001200

\_]_51

P

43